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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)专题讲座三知能训练轻松闯关


1 1.(2016· 辽宁省五校联考)抛物线 x2= y 在第一象限内图象上一点(ai,2a2 i )处的切线与 2 x 轴交点的横坐标记为 ai+1,其中 i∈N*,若 a2=32,则 a2+a4+a6 等于( ) A.64 B.42 C.32 D.21 2 解析:选 B.令 y=f(x)=2x ,则切线斜率 k=f′(ai)=4ai,切线方程为 y-2a2 i =4ai(x-ai), 1 令 y=0 得 x=ai+1= ai,由 a2=32 得:a4=8,a6=2,所以 a2+a4+a6=42. 2 2.(2014· 高考辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 解析:选 C.设 bn=2a1an,则 bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,则 bn>bn+1,即 2a1an>2a1an+1.因为 y=2x 是单调增函数, 所以 a1an>a1an+1, 所以 a1an-a1(an+d)>0, 所以 a1(an -an-d)>0,即 a1(-d)>0,所以 a1d<0. 3. 在等比数列{an}中, 若 an>0, 且 a1· a2· …· a7· a8=16, 则 a4+a5 的最小值为________. 4 解析:由等比数列性质得,a1a2…a7a8=(a4a5) =16,又 an>0,所以 a4a5=2.再由基本不 等式,得 a4+a5≥2 a4a5=2 2.所以 a4+a5 的最小值为 2 2. 答案:2 2 4.(2016· 南昌调研测试卷)一牧羊人赶着一群羊通过 6 个关口,每过 1 个关口,守关人 将拿走当时羊的一半,然后退还 1 只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下 2 只羊,则 牧羊人在过第 1 个关口前有________只羊. 解析:记此牧羊人通过第 1 个关口前、通过第 2 个关口前、…、通过第 6 个关口前,剩 1 1 下的羊的只数组成数列{an}(n=1,2,3,4,5,6),则由题意得 a2= a1+1,a3= a2+1,…, 2 2 1 1 a6= a5+1,而 a6+1=2,解得 a6=2,因此代入得 a5=2,a4=2,…,a1=2. 2 2 答案:2 5.(2016· 南昌调研测试卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,4Sn=a2 n+2an-3,且 a1,a2, a3,a4,a5 成等比数列,当 n≥5 时,an>0. (1)求证:当 n≥5 时,{an}成等差数列; (2)求{an}的前 n 项和 Sn. 2 解:(1)证明:由 4Sn=a2 n+2an-3,4Sn+1=an+1+2an+1-3, 2 得 4an+1=a2 n+1-an+2an+1-2an, 即(an+1+an)(an+1-an-2)=0. 因为当 n≥5 时,an>0,所以 an+1-an=2, 所以当 n≥5 时,{an}成等差数列. (2)由 4a1=a2 1+2a1-3,得 a1=3 或 a1=-1, 又 a1,a2,a3,a4,a5 成等比数列, 所以 an+1+an=0(n≤5),q=-1, 而 a5>0,所以 a1>0,从而 a1=3, n 1 ? ?3(-1) ,1≤n≤4, 所以 an=? ?2n-7,n≥5, ? - 3 ? ?2[1-(-1)n],1≤n≤4, 所以 Sn=? ? ?n2-6n+8,n≥5. 1 ? ? 6.(2015· 高考山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数

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