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【导与练】2015届高三数学(人教,文)一轮大题冲关集训2


大题冲关集训(二)

1.已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. (1)求 f( )的值; (2)设α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= ,求 cos( α +β )的值. 解:(1)f( )=2sin( × - ) =2sin = . (2)由 f(3α + )= ,得 2sin[ ×(3α + )- ]=2sin

α = , ∴sin α = .由 f(3β +2π )= ,得 2sin[ ×(3β +2π )- ]=2sin(β + )=2cos β = , ∴cos β = , ∵α ,β ∈[0, ],

∴cos α =

=

= ,

sin β =

=

=,

故 cos( α +β )=cos α cos β -sin α sin β = ×- ×= . 2.(2013 珠海二模)已知函数 f(x)=Asin( ω x+ ? ){A>0,ω >0,|
? |<

}(x∈R)的部分图象如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)= f(x- )+f(x)且 tan α =3,求 g(α ). 解:(1) 由题中图象知 A=1, = -(- )= , ∴T=π ,∴ω = =2, 又 2×(- )+ ? =0 得 ? = , ∴f(x)=sin(2x+ ). (2)∵f(x)=sin(2x+ ), ∴g(x)= sin +sin(2x+ )

= sin(2x- )+sin(2x+ ) = (sin 2xcos -cos 2xsin )+sin 2xcos +cos 2xsin =2sin 2x. ∵tan α =3, ∴g(α )=2sin 2α = = = =.

3.(2013 肇庆一模)已知函数 f(x)=Asin(4x+ ? )(A>0,0< ? <π )在 x= 时取得最大值 2. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式; (3)若α ∈[- ,0],f( α + )= ,求 sin(2α - )的值. 解:(1)f(x) 的最小正周期为 T= = . (2)由 f(x)的最大值是 2 知,A=2, 又 f(x) max=f( )=2sin(4× + ? )=2, 即 sin( + ? )=1, ∵0< ? <π , ∴ < +?< , ∴ +? = ,

∴? = , ∴f(x)=2sin(4x+ ). (3)由(2)得 f( α + )=2sin[4( α + )+ ] =, 即 sin(α + )= , ∴cos α = , ∵α ∈[- ,0],

∴sin α =-

=-

=- ,

∴sin 2 α =2sin α cos α =2×(- )× =- , cos 2α =2cos 2 α -1=2×( )2-1=- , ∴sin(2α - )=sin 2 α cos -cos 2α sin =- × + × =.

4.(2013 年高考山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a+c=6,b=2,cos B= .

(1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解:(1) 由余弦定理得 cos B= 即 得 =. =cos B, ,

∴ac=9. 联立 得 a=3,c=3.

(2)由 a=3,b=2,c=3, ∴cos A= ∴sin A= =, = ,

又 cos B= 得 sin B= , ∴sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B = ×-× = .

5.(2013 重庆育才中学月考)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 m=(sin2 (1)求角 A 的大小; ,1),n=(-2,cos 2A+1), 且 m⊥n.

(2)当 a=2 ,且△ABC 的面积 S= 解:(1) 由于 m⊥n, 所以 m·n=-2sin 2 =1-2cos2 +2cos2A-1 =2cos2A-cos A-1 =(2cos A+1)(cos A-1) =0. 所以 cos A=- 或 cos A=1( 舍去), 又 A∈(0,π ), 故角 A 为 . (2)由 S= 及余弦定理得 +cos 2A+1

时,求边 c 的值和△ABC 的面积.

= absin C,整理得 tan C= .又 C∈(0,π ), 所以 C= . 由(1)知 A= ,故 B=C= . 又由正弦定理 = 得 c=2,

所以△ABC 的面积 S= acsin B= . 6.(2013 浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别 为 a、b、c,C= ,b=5, △ABC 的面积为 10 . (1)求 a、c 的值; (2)求 sin(A+ )的值. 解:(1) ∵S△ABC= absin C=10 , ∴a×5×sin =20 , 得 a=8. c2=a2+b2-2abcos C, c= = =7. (2)∵ = ∴sin A= cos A= , = = = , =,

sin(A+ )=sin Acos +cos Asin

= × +×= . 7.(2013 惠州市二调)设函数 f(x)=msin x+cos x(x ∈R)的图象经过 点( ,1) (1)求 f(x)的解析式,并求函数的最小正周期; (2)若 f(α + )= 且α ∈(0, ),求 f(2α - )的值. 解:(1) ∵函数 f(x)=msin x+cos x(x ∈R)的图象经过点( ,1), ∴msin +cos =1, ∴m=1, ∴f(x)=sin x+cos x= sin(x+ ), ∴函数的最小正周期 T=2π . (2)f(α + )= sin(α + + ) = sin(α + ) = cos α = , ∴cos α = .又因为α ∈(0, ), ∴sin α = =,

∴f(2α - )= sin(2α - + ) = sin 2α =2 sin α cos α = .


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