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偏微分方程数值解法的研究


第 28 卷 第 9 期 ) (下 2012 年 9 月 赤 峰 学 院 学 报( 自 然 科 学 版 ) Journal of Chifeng University(Natural Science Edition ) Vol. 28 No. 9 Sep. 2012 偏微分方程数值解法的研究 王海林,徐 ( 玉溪师范学院 珊,宋论兵,高全归 玉溪 653100 ) 物理系,云南 摘 要:本文将从两个方面来讨论偏微分方程的数值解法, 其一为网格比对数值解法的影响, 其二为不同差分格式对偏 微分方程数值解法的影响, 这两个方面都会影响偏微分方程数值解的结果. 关键词: 偏微分方程;数值解;稳定性 中图分类号: O175.2 文献标识码: A 文章编号: 1673- 260X (2012 09- 0001- 02 ) 随着科学技术和社会的发展,大量复杂的计算问题不 断出现在人们面前.在计算机没有问世之前, 为了解决某些 复杂的计算问题, 不少科学家献出了大半生, 甚至毕生的精 力, 1867 年法国天文学家达拉姆尼 (Dalamny 花了整整 20 ) 年的时间, 求解了一个天体运动的摄动级数展开式[1].但这并 不是解决复杂问题的好方法,于是人们开始研究解决复杂 计算问题的方法, 为了解决一些复杂的计算问题, 数值计算 方法便出现了.而偏微分方程的数值解是其中一个非常重要 的分支, 例如要准确预测天气的变化情况, 就要求解成千上 万个偏微分方程组[1], 人工求解是很不现实的, 因而, 偏微分 方程的数值解就显得相当重要了.偏微分方程的数值解法主 要有三种, 有限差分法, 变分法, 有限元方法, 使用最普遍的 是有限差分法.而有限差分法在求解偏微分方程的时候会存 在不稳定性, 所以, 需要分析有限差分法求解偏微分方程的 稳定性,差分方程的稳定性是指研究差分方程在右端自由 项无误差的情况下, 初值干扰对差分方程解的影响, 它反映 了差分解是否连续依赖于初值的情形[2], 有限差分法又存在 很多种差分格式.本文将从两个方面讨论偏微分方程的数值 解法.本文的第一部分将对有限差分法做个简单介绍, 第二 部分将给出网格比对稳定性的影响,第三部分将给出具体 的差分格式对数值解的影响,第四部分内容为本文的结论 与讨论. 1 有限差分法简介 区域离散化, 用平行直线族 xj=jh,=kτ, tk 把区域 D 划分成若 τ 干个小矩形, 其中 h, 称为空间步长和时间步长, 称为网 τ h 格比 (如果为二阶的网格比可表为 τ2 等) .接下来对微分方 h 程离散化, 由泰勒级数展开可知, 在接点(j,k)处微商和差商 存在如下关系[3]: u(xj,tk+1)-u(xj,tk) = 鄣u 鄣t τ u(xj+1,tk)-u(xj,tk) = 鄣u 鄣x h k k k +O(τ) 鄣 鄣 j (4 ) (5 ) +O(h) 鄣 鄣 j k u 这样就可以 在此记[u]j =u(xj,tk),j 表示 u(xj,tk)的近似值, 用差商代替 ) (1 式中的微商, 即可以得到相应的差分方程, 有时候也称为差分格式: uj -uj u -u +a j+1 j =0 τ h 算了. 2 网格比对偏微分方程数值解的稳定性影响 k+1 k k k (6 ) 最后将边界条件和初始条件离散化后就可以做数值计 为了计算方便, 取方程 ) (1 中的 a=1, 这样方程 ) (1 对应 的差分方程可以写为: uj -uj uj+1 -uj + =0 τ

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