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2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题及参考答案


2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案
一、选择题: 1. 已知 a, b ∈ N , a
100

是一个 120 位数, 是一个 10 位数, b 的值是 a 则

b





( A) 7
解: B . 由题设:

( B) 8

(C ) 9

( D ) 10

119 ≤ lg a100 < 120 9 10 ,从而 ≤b< .∴ b = 8 . b 1.19 1.2 9 ≤ lg a < 10

2.将 4 个相同的红球和 4 个相同的蓝球排成一排,从左到右每个球依次对应序号为

1, 2, ,8 .若同色球之间不加区分,则 4 个红球对应序号之和小于 4 个蓝球对应序号之和
的排列方法的种数为 ( )

( A) 31
解: A .

( B ) 27

( C ) 54

( D ) 62

1 + 2 + 3 + + 8 = 36 .
1 到 8 中任取四个不同的数求和,可以得到 C8 = 70 种答案(可以相同) .
4

其中和为 18 的共有 8 种:( 8, 7, 2,1) ,( 8, 6,3,1) ,( 8,5, 4,1) ,( 8,5,3, 2 ) ,( 7, 6, 4,1) ,

( 7, 6,3, 2 ) , ( 7,5, 4, 2 ) , ( 6,5, 4,3) .
∴ 4 个红球对应序号之和小于 4 个蓝球序号之和的排列数为

70 8 = 31 . 2


3. 若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等, 则该圆柱的体积的最小可能是 (

( A) 48π
解: C .

( B ) 50π

( C ) 54π
2 2

( D ) 66π
2r ,r > 2. r2

设圆柱底面半径为 r ,高为 h .则 π r h = 2π r + 2π rh ,即 h = 从而 V = π r
2

2r r3 = 2π .令 t = r 2 > 0 ,则 r2 r2
3

( t + 2 ) = t 2 + 6t + 12 + 8 = t 1 2 + 8 t + 1 + 11 ≥ 27 . V = ( ) 2π t t t
∴ 当 t = 1 时, V 取最小值 54π .
1

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

4.已知 α , β 均为锐角,且满足 sin

2

α = cos (α β ) ,则 α 与 β 的关系





( A) α < β
解: C .

( B) α = β

(C ) α > β

(D) α + β =

π
2

由题设: sin 2 α = cos α cos β + sin α sin β . ∴ sin α = cot α cos β + sin β > sin β . ∴

α>β.

5.正四面体的 4 个面上分别写着 1,2,3,4.将 4 个这样的均匀正四面体投掷于桌面 上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 ( )

1 8 解: D .

( A)

( B)

9 64

(C )

1 16

(D)

13 16

4 4 ( 2 4 + 4 × 23 ) 4
4

=

13 . 16

6.甲、乙、丙,3 人用擂台赛形式进行训练,每局 2 人进行单打比赛,另 1 人当裁判, 每一局的输方当下一局的裁判,由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打 了 12 局,乙共打了 21 局,而丙共当裁判 8 局.那么整个比赛的第 10 局的输方 ( )

( A) 必是甲

( B ) 必是乙

( C ) 必是丙

( D ) 不能确定

解: A . 丙共当裁判 8 局,所以甲乙之间共有 8 局比赛. 又甲共打了 12 局,乙共打了 21 局,所以甲和丙打了 4 局,乙和丙打了 13 局. 三个人之间总共打了(8+4+13)=25 局. 考察甲,总共打了 12 局,当了 13 次裁判.所以他输了 12 次. 所以当 n 是偶数时,第 n 局比赛的输方为甲,从而整个比赛的第 10 局的输方必是甲. 二、填空题: 7 . 已 知 向 量 a = 1, 2 , b = 2,1 . 若 正 数 k 和 t 使 得 x = a + t 2 + 1 b 与

(

)

(

)

(

)

1 y = ka + b 垂直.则 k 的最小值是 t 解: 2 .



2 1 1 2 a = b = 3 , a b = 0 . 0 = x y = k a + t + b ,即 k = t + ≥ 2 . t t

8.在直角坐标系内,如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数,则称该点为整点.若凸
2

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

n 边形的顶点都是整点,并且多边形内部及其边上没有其他整点,则 n = 解: n = 3 或 4 . n = 3 或 4 显然满足题意.



当n ≥ 5, 考察其顶点 A1 ( x1 , y1 ) ,A2 ( x2 , y2 ) ,A3 ( x3 , y3 ) ,A4 ( x4 , y4 ) ,A5 ( x5 , y5 ) , 由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同,不妨设为 Ai ( xi , yi ) ,

A j ( x j , y j ) ,i ≠ j .则 Ai A j 的中点必然是一个整点.而由凸 n 边形的性质知道,线段 Ai A j
的中点必然在该多边形的内部或者边上. 9.若实数 x, y 满足 x ≥ 0 ,且 max {1 x, x 1} ≤ y ≤ x + 2 .则二元函数 u ( x, y )

= 2x + y 的最小值是
解:1. 由题意: x 1 ≤ y ≤ x + 2 ,且 x ≥ 0 . ∴ u ( x, y ) = 2x + y ≥ x 1 + 2 x =



3 x 1 ≥ 2, x + 1 ≥ 1,

x ≥1

0 ≤ x <1


n 1

10. 设方程 x = 1( n 为奇数) n 个根为 1, x1 , x2 , , xn 1 , 的 则
n

∑1+ x
k =1

1

=



k

解:

n 1 . 2 2kπ 2kπ xk = cos + i sin , k = 1, 2,3, , n 1 .注意到 n n

xk = cos

2kπ 2kπ 2kπ 2kπ + i sin = cos 2π + i sin 2π n n n n + i sin 2 ( n k )π n = xn k .

= cos

2 ( n k )π n



xk xk 1 1 1 1 1 + = + = + = 1. 1 + xk 1 + xn k 1 + xk 1 + xk 1 + xk xk xk + xk

而 n 为奇数,所以 n 1 为偶数,从而

∑ 1+ x
k =1

n 1

1

=

k

n 1 . 2

3

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

11.用 { x} 表示实数 x 的小数部分,若 a = 5 13 + 18 解: 1 . 记 b = 5 13 18 又a b =
1002 k =0 2005 r =0

(

)

2005

.则 a {a} =



(

)

2005

,则 0 < b < 1 ,且 ab = 1 .
2005 r r 18r ∑ C2005 5 3 r =0 2005

∑ C (5 3 )
r 2005

(

)

2005 r

( 18 )

r

2k + = ∑ 2 C20051 5 3

(

)

2004 2 k

182 k +1 ∈ Z .

而 a = ( a b ) + b ,其中 a b ∈ Z , 0 < b < 1 . ∴ b = {a} .∴ a {a} = ab = 1 . 12.已知 P 、 Q 、 R 、 S 是三棱锥 A BCD 内的四点,且 Q 、 R 、 S 、 P 分别是线 段 PA 、QB 、RC 、SD 的中点, 若用 VP ABC 表示三棱锥 P ABC 的体积, 其余的类推. 则

VP ABC : VP BCD : VP CDA : VP ABD =
解: 8 :1: 2 : 4 .


A

记 H P , BCD 为点 P 到平面 BCD 的距离.其余类推.设 VP BCD = 1 . ∵ H S , BCD : H P , BCD = SD : PD = 2 .∴ VS BCD = 2 . ∵ H R , BCD : H S , BCD = RC : SC = 2 :1 ,∴ VR BCD = 4 . B ∵ H Q , BCD : H R , BCD = QB : RB = 2 :1 ,∴ VQ BCD = 8 .
S Q R

P P'

D

设 AP 延长后交平面 BCD 于 P ' .则 QP ' : PP ' = VQ BCD : VP BCD = 8 :1 .

C

∴ QP : PP ' = 7 :1 ,又 AQ = QP ,∴ AP ' : PP ' = 15 :1 .∴ VA BCD = 15 . 同理 VQ ACD = 1 , VS ABC = 1 , VR ABD = 1 . ∴ VP ABC = 8VS ABC = 8 , VP CDA = 2VQ CDA = 2 , VP ABD = 2VQ ABD = 4VR ABD = 4 . ∴ VP ABC : VP BCD : VP CDA : VP ABD = 8 :1: 2 : 4 .
4

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

三、解答题: 13.设 P , P2 , , Pn ( n ≥ 2 ) 是 1, 2, , n 的任意一个排列.求证: 1

1 1 1 1 n 1 + ++ + > . P + P2 P2 + P3 Pn 2 + Pn 1 Pn 1 + Pn n + 2 1
证:记

1 1 1 1 A= + ++ + , Pn 2 + Pn 1 Pn 1 + Pn P + P2 P2 + P3 1 B = ( P + P2 ) + ( P2 + P3 ) + + ( Pn 1 + Pn ) . 1

( 1 则 A B > ( n 1) . P + P2 ≠ P2 + P3 ,故等号不成立)
2

而 B = 2 ( P + P2 + + Pn ) P Pn ≤ 2 (1 + 2 + + n ) 1 2 = n + n 3 1 1
2



( n 1) A>
B

2



( n 1)
2

2

n + n3

>

( n 1)
2

2

n +n2

=

n 1 . n+2

14.一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为 0.25 ,为实验一种新药是否有效,把它 给 10 个病人服用.他事先决定,若这 10 个病人中至少有 4 个治好,则认为这种药有效, 提高了痊愈率.否则认为无效.求 (1)虽然新药有效,并把痊愈率提高到了 0.35 ,但通过实验却被否定的概率; (2)新药完全无效,但通过实验却被判断为有效的概率. 参考数据:
p 0.2500 0.3500 0.6500 0.7500 2.0000 0.0625 0.1225 0.4225 0.5625 3.0000 0.0156 0.0429 0.2746 0.4219 4.0000 0.0039 0.0150 0.1785 0.3164 5.0000 0.0010 0.0053 0.1160 0.2373 6.0000 0.0002 0.0018 0.0754 0.1780 7.0000 0.0001 0.0006 0.0490 0.1335 8.0000 0.0000 0.0002 0.0319 0.1001 9.0000 0.0000 0.0001 0.0207 0.0751 10.0000 0.0000 0.0000 0.0135 0.0563

答案请保留四位有效数字. 解:设痊愈率为 p ,恰好有 k 个人痊愈的概率为 ak , k = 0,1, 2, ,10 .则
k ak = C10 p k (1 p )

10 k



(1) p = 0.35 ,此时: a0 + a1 + a2 + a3 = 0.5138 . 即新药有效,并把痊愈率提高到了 0.35 ,但通过实验却被否定的概率为 0.5138 . (2)新药完全无效,∴ p = 0.25 ,此时: 1 ( a0 + a1 + a2 + a3 ) = 0.2241 .

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2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

x2 y 2 15.设双曲线 S : 2 2 = 1 , M ( x0 , y0 ) S ,且 x0 y0 ≠ 0 . N ( λ x0 , λ y0 ) ,其中 a b 1

λ

=

2 2 x0 y0 b2 x 2 .过点 N 的直线 L 交双曲线 S 于 A, B 两点,过点 B 作斜率为 2 0 的直线交 a2 b a y0

双曲线 S 于点 C .求证: A, M , C 三点共线. 证:设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) .过点 M 作斜率为 线 m 的方程为

b 2 x0 的直线 m ,则直 a 2 y0

y y0 =

b 2 x0 ( x x0 ) ① a 2 y0

Q

设直线 m 交 NA 与点 P 、交 NC 于点 Q , F ( xF , yF ) 为 BC 中点. 由 B, C ∈ S 得: F

x y x y = 1, = 1. a b a b
两式相减后化简后可得:

2 2 2

2 2 2

2 3 2

2 3 2

G

yF y0 = . xF x0
∴ F 在直线 MN 上. 从 而 M 为 PQ 中点. 设直线 L 的斜率为 k ,则直线 L 的方程为 y λ y0 = k ( x λ y0 ) 故 x1 , x2 是方程
2 x2 1 2 k ( x λ x0 ) + λ y0 = 1 的两根.整理得: 2 a b

D

P



2 2 y0 2 λ x0 k λ y0 1 k 2 x0 2 2 ( x λ x0 ) + 2 2 2 ( x λ x0 ) + λ 2 2 1 = 0 b a b a a b

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2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)
2 2 x0 y0 将 = 2 2 代入上式,得: λ a b

1

1 k2 2 x0 ky0 2 2 ( x λ x0 ) + 2λ 2 2 ( x λ x0 ) + λ 1 = 0 b a a b
将其视为关于 ( x λ x0 ) 的一元二次方程.由韦达定理,有

1 1 2λ x0 ky0 + = x1 λ x0 x2 λ x0 λ 1 a 2 b 2
联立①②,消去 y 得到



1 λ ky0 x0 = . xP λ x0 λ 1 b 2 a 2

比较③式得:

2 1 1 = + . xP λ x0 x1 λ x0 x2 λ x0

从而

2 1 1 = + . NP NA NB

下面利用平几知识证明 A, M , C 三点共线.

2 1 1 = + . NP NA NB 过 A 做直线 AD ∥ BC ,交 NC 与 D .设 G 为 AD 中点.
首先假设 A, M , C 三点共线,来证明: 由于 AD ∥ BC ∥ PQ ,∴ AD, BC , PQ 的中点 G , F , M 共线(过点 N ) . ∴

NA AG AG AM AP NP NA 2 1 1 = = = = = .整理即得: = + . NB BF FC MC BP NB NP NP NA NB 2 1 1 反之,用同一法可证明当 = + 时 A, M , C 三点共线. NP NA NB

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2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛(加试)试题参考答案
一.锐角三角形 ABC 的内切圆分别切 AB, AC 边于点 D, E , X , Y 分别为 ∠ABC 和

∠ACB 的平分线与 DE 的交点, Z 为 BC 边的中点.
求证:当且仅当 ∠A = 60° 时,△ XYZ 为正三角形. 证:记△ ABC 的内心为 I ,由

∠ADE = ∠AED =
得 B, I , Y , D 四点共圆.

1 1 (180° ∠A ) = ( ∠B + ∠C ) = ∠YIB 2 2
Y D

A

又 ID ⊥ AB ,故 BY ⊥ CY . 则 ZY = ZB = ZC . 同理 ZX = ZB = ZC ,故 ZX = ZY . 又 ZY = ZC , ∴ ∠ZYC = ∠ZCY = ∠ACY . 从而 ZY ∥ AC .同理 ZX ∥ AB . B ∴当且仅当 ∠A = 60° 时,△ XYZ 为正三角形.

X I

E

C Z

二.求与数列 an = 2n + 3n + 6n 1, n ∈ N * 中每一项都互质的所有正整数. 解:设质数 p > 3 ,由费马小定理得:

{

}

2 p 1 ≡ 1( mod p ) , 3 p 1 ≡ 1( mod p ) , 6 p 1 ≡ 1( mod p ) .
记 2 p 1 = rp + 1 , 3 p 1 = sp + 1 , 6 p 1 = tp + 1 , r , s, t ∈ Z . 则 a p2 = 2
p2

+ 3 p2 + 6 p2 1 =

rp + 1 sp + 1 tp + 1 3r + 3s + t + + 1 = p 2 3 6 6
∴ p | a p2 .

∵ a p 2 为整数,而 ( p, 6 ) = 1 又

a2 = 48 = 2 4 × 3 ,故没有质数与数列所有的项都互质.

综上所述,与 {an } 中所有项都互质的正整数只有 1 .

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2005 年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案(学生卷)

三.设 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 为一凸八边形,其中任意三条对角线不共点.我们把任意两 条对角线的交点(不包含顶点)称为“扣” ,把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形 称为“子四边形” .求满足以下性质的最小正整数 n :可以找到 n 个“扣” ,并将它们染色, 使得对任意 i, k ∈ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} ,i ≠ k ,s ( i, k ) 为定值.其中,s ( i, k ) 表示以 Ai 、 Ak 为其中两个顶点,且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数. 解:由题目条件,容易看出,任意四个顶点组和“子四边形”一一对应,所有“子四 边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致,所以我们可以用无序四元集 ( i1 , i2 , i3 , i4 ) ( i j ∈ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} , j = 1, 2, 3, 4 )来标记以 Ai1 , Ai2 , Ai3 , Ai4 为顶点的“子四边形”及 其对角线交点对应的“扣” .则原问题要求的性质转化为:找出 n 个四元集,使得任意二元 组 ( x, y ) ( x ≠ y , x, y ∈ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} )在其中出现的次数相同. 每个染色的四元集中有 C4 个二元组, 所以 n C4 = C8 s (1, 2 ) , 3n = 14 s (1, 2 ) , 14 | n , 即 故
2 2 2

从而 n ≥ 14 . 下面给出 n = 14 的满足要求的染色方法: 14 个染色的“扣”为:{1, 2,3, 4} ,{5, 6, 7,8} , A1

A2

A3

{1, 2,5, 6} , {3, 4, 7,8} , {1, 2, 7,8} , {3, 4,5, 6} , {1,3,5, 7} , {2, 4, 6,8} , {1,3, 6,8} , {2, 4,5, 7} , {1, 4,5,8} , {2,3, 6, 7} , {1, 4, 6, 7} , {2,3,5,8} .
A8 A7 A6

A4

A5

9


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