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2015届高考苏教版数学(理)大一轮配套课时训练78 不等式的证明及柯西不等式]


课时跟踪检测(七十八) 不等式的证明及柯西不等式 1.已知 x,y,z∈R,若 x4+y4+z4=1. 求证:x2+y2+z2≤ 3.

2.(2014· 大连模拟)已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. 求证: a b c + > . 1+a 1+b 1+c

3.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.

4.已知 a,b,c∈R+. b2 c2 a2 求证: + + ≥c a b c b +a a c +b b a . c

5.已知 f(x)= 1+x2,a≠b,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|.

6.(2014· 金华模拟)已知 x,y,z 是正实数. x+y+z x2 y2 z2 求证: + + ≥ . 2 y+z x+z x+y

7.设 a,b,c 均为正实数. 1 1 1 1 1 1 求证: + + ≥ + + . 2a 2b 2c b+c c+a a+b

8.(1)设 x 是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3; (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 是否仍然成立?如果成立,请给出证明, 如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 值.





1.证明:x,y,z∈R,且 x4+y4+z4=1 为定值,利用柯西不等式得到 (x2+y2+z2)2≤(12+12+12)[(x2)2+(y2)2+(z2)2]. 从而(x2+y2+z2)2≤3?x2+y2+z2≤ 3. x2 y2 z2 当且仅当 = = 时取“=”号, 1 1 1 又 x4+y4+z4=1,所以 x2=y2=z2= 2.证明:∵a>0,b>0, ∴ ∴ a a b b > , > . 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b + > . 1+a 1+b 1+a+b 3 时取“=”号. 3

x 1 而函数 f(x)= =1- 1+x 1+x 在(0,+∞)上递增, 且 a+b>c,∴f(a+b)>f(c), 则 a+b c > , 1+a+b 1+c

a b c 所以 + > , 1+a 1+b 1+c 故原不等式成立. 3.证明:2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2)

=(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 a≥b>0, 所以 a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即 2a3-b3≥2ab2-a2b. 4.证明:∵a,b,c∈R+, b2 c2 ∴ + ≥2 a b b2 c2 · =2c a b c , b b , a

c2 a2 同理, + ≥2a b c a2 b2 + ≥2b c a a , c

b2 c2 a2 三式相加可得 + + ≥c a b c 5.证明:∵|f(a)-f(b)| =| 1+a2- 1+b2| = = |a2-b2| 1+a2+ 1+b2 . 1+a2+ 1+b2 |a-b||a+b|

b c +a· +b a b

a . c

又|a+b|≤|a|+|b| = a2+ b2< 1+a2+ 1+b2. ∴ <1. 1+a2+ 1+b2 |a+b|

∵a≠b,∴|a-b|>0, ∴|f(a)-f(b)|<|a-b|. 6.证明:∵x,y,z 是正实数, 令 a=?

? x , y , z ? ?, x+z x+y? ? y+z

b=( y+z, x+z, x+y), ∵|a· b|2≤|a|2|b|2, ∴?

? x · y+z+ y · x+z+ x+z ? y+z
z x2 y2 z2 ? 2 ? · x+y? + + [(y+z)+(x+z)+(x+y)], ? ≤?y+z x+z x+y?· x+y ?

当且仅当 x=y=z 时,等号成立. x2 y2 即(x+y+z)2≤2?z+y+x+z+ ? (x+y+z), ∴ x+y+z x2 y2 z2 + + ≥ . 2 y+z x+z x+y z2 ? x+y?·

7.证明:∵a,b,c 均为正实数, 1 1 1? 1 1 + ≥ ∴ ? ≥ ,当且仅当 a=b 时等号成立; 2?2a 2b? 2 ab a+b 1? 1 1 ? 1 1 + ≥ ≥ ,当且仅当 2?2b 2c? 2 bc b+c b=c 时等号成立; 1? 1 1 ? 1 1 + ≥ ≥ ,当且仅当 2 c 2 a ? ? 2 2 ca c+a c=a 时等号成立; 三个不等式相加即得 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + , 2a 2b 2c b+c c+a a+b 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 8.解:(1)证明:x 是正实数,由基本不等式知, x+1≥2 x,1+x2≥2x,x3+1≥2 x3, 故(x+1)(x2+1)(x3+1)≥2 x· 2x· 2 x3=8x3(当且仅当 x=1 时等号成立). (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3 仍然成立. 由(1)知,当 x>0 时,不等式成立; 当 x≤0 时,8x3≤0. 而(x+1)(x2+1)(x3+1) =(x+1)2(x2+1)(x2-x+1) 1 3 x- ?2+ ≥0, =(x+1)2(x2+1)? 2 ? ? 4 此时不等式仍然成立.


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