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钱桥


APIO 试题讨论
道路费用

题目描述

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n个城镇,每个城镇有Pi的人 m条道路,每条道路的单位费用为Cj(互不相等) 新建k条道路,单位费用由你决定 一条道路收取的费用为经过人数乘以单位费用 由你挑选出一些道路构成费用的“最小生成树” 所有人都要到1号城镇集合 你的目标是让新建的k条边收取最多的费用

数据规模

? Part 1 : n<=10, m<=20, k=1 ? Part 2 : n<=30, m<=50, k<=10 ? Part 3 : n<=1000, m<=5000, k<=10 ? Part 4 : n<=100000, m<=300000, k<=15 ? Part 5 : n<=100000, m<=300000, k<=20

得分情况

? 100分:王康宁 ? 95分:郁东风 ? 90分:叶德铭 ? 70分:钟皓曦 ? 60:王子辰 等7人 ? 平均分:11.60

解题思路

算法一:向最小生成树中逐一加边,替换原路径上 权值最大的边。当k>1时,不能保证正确性!举例:

时间复杂度:O(k*m) 期望的分:15分~?

解题思路

算法二:暴力枚举使用哪些边,让选中的边尽可能大

共2k种情况,对于每一种情况: Step 1:构造最终的最小生成树,优先使用选中的边 Step2:确定选中边的权值——经过它的最小值
时间复杂度O(m*logm + 2k*m*k) 期望的分:35分

解题思路

算法三:先缩点,再通过算法二处理

选中的边为0~20条,Step 1中构造的最小生成树有n-1条。 结论:有很多点是一定“粘”在一起的。怎样缩点? 初始化构造最小生成树,其中,优先使用k条边。 形成的k+1个连通块可分别缩为一个点。

解题思路
初始化构造最小生成树(优先使用k条边) 形成的k+1个连通块可分别缩为一个点 再求这k+1个点的最小生成树,(不使用k条边) 得到k+1个点,k条边的一张图 通过算法二求解这张图 时间复杂度:O(m*logm + 2k*k2) 期望得分:90~100分 (数据为阶梯分布)

谢谢


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