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4.6两角和与差的正弦、余弦、正切6


4.6两角和与差的 正弦、余弦、正切 (六 )

学习目标
1、进一步掌握asin?+bcos?类型的变 换。 2、熟练掌握配凑角变形技巧以及切割化 弦思想。 3、灵活运用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行化简、求值、证明。

复习回顾

sin? cos ? ? cos ? sin ? = sin(?

? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? = sin(? ? ? )
cos ? cos ? ? sin ? sin ? = cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ? = cos(? ? ? )

复习回顾

tan? + tan? tan(? + ? )= 1 - tan? ? tan? tan? ? tan? tan(? ? ? )= “一角一名” 1 + tan? ? tan ?
a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin( ? ? ? ) 2 2 或 ? a ? b cos(? ? ? )

作业讲评
课本P45.第8题:

(2)3 15 sin x ? 3 5 cos x
解:原式 ? 3 ( 5 3 sin x ? cos x) 3 1 ?6 ( 5 sin x ? cos x) 2 2 ? ? ?6 ( 5 cos sin x ? sin cos ?) 6 6

? ? 6 5 sin( x ? ) 6
?
3 )】

【或6 5 cos( x ?

作业讲评
课本P45.第8题:

(3) 2 (sin x ? cos x)
2 2 解:原式 ? 2 ? ( 2 sin x ? cos x) 2 2

? ? ?( 2 cos sin x ? sin cos x) 4 4 ?
? 2 sin( x ?

[或 ? 2 cos( x ?

?
4

4

)

)]

作业讲评
课本P45.第8题:

(4) 3 sin x ? cos x ? ___________
3 1 解:原式 ? ( 2 sin x ? cos x) 2 2

? 【或2 cos( x ? )】 3

? ? ?( 2 cos sin x ? sin cos ?) 6 6 ? ? 2 sin( x ? ) 6

作业讲评
课本P45.第8题:

2 ? 6 ? (5) sin( ? x) ? cos( ? x) 4 4 4 4

2 ? ? 解:原式 ? [sin( ? x) ? 3 cos( ? x)] 4 4 4

2 1 ? 3 ? ? ? 2[ sin( ? x) ? cos( ? x)] 4 2 4 2 4

?

2 ? ? ? ? ? [cos sin( ? x) ? sin cos( ? x)] 2 3 4 3 4 2 ? ? 2 7?
sin[( ? x) ? ] ? sin( ? x) 2 4 3 2 12

典型例题
1 例1:已知? ? ( , ), 且 cos(? ? ) ? , 3 6 3 4 求 cos ?的值.

? 5?

?

分析: ? ? (? ? ) ? 3 3
1? 3 5 答案: cos ? ? 8

?

?

练习:学海P25:T6,P26:T6

典型例题
3? 12 例2:已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , 2 4 13 3 sin(? ? ? ) ? ? , 求 sin 2? . 5 分析: 2? ? (? ? ?) ? (? ? ?)

?

由sin 2? ? sin[ (? ? ?) ? (? ? ?) ]可知, 只需求sin( ? ? ? )、 cos(? ? ? )即可。

若改为求cos2?呢?

课堂练习
1 、 若tan? ? 2, tan( ? ? ? ) ? 3, 则 tan( ? ? 2? ) 的值为( D )

A. ? 1

3 ? 那么 tan( ? ? ) ? __________ 22 4 ? ? 分析: tan( ? ? ) ? tan[( ? ? ? ) ? ( ? ? )]
4 4

2 ? 1 2、 如果tan (? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? , 5 4 4

1 B. ? 5

5 C. 7

1 D. 7

典型例题
sin (? ? ?) sin (? ? ?) tan ? 例3、 求证: ? 1 ? 2 2 2 sin ? cos ? tan ?
2

证明:左边

(sin ?cos? ? cos ? sin ? )(sin ?cos? ? cos ? sin ? ) ? 2 2 sin ? cos ? 2 2 2 2 2 2 sin ?cos ? ? cos ? sin ? cos ? sin ? ? ? 1? 2 2 2 2 sin ? cos ? sin ? cos ?

tan ? ? 1 ? 2 ? 右边 tan ?
2

?原式成立。

小结
1、常见配凑角类型:
2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

?? (? ? ? ) ?? ?? (? ? ? ) ??
2、切化弦、弦化切。

作业
课本P46习题4.6

第7(2)、 (6)题;
第11、12题。

? ? 1. sin ? 3 cos 的值为 ( D ) 12 12 A. 2 B. ? 2 C. 2 D. ? 2
2. sin 75 ? sin 15
0 0

反馈练习

2 ? ________ 2
0 0 0

分析:sin 75 ? sin 15 ? cos15 ? sin 15
0

2 2 0 0 ? 2( cos 15 ? sin 15 ) 2 2 2 0 0 0 ? 2 cos(15 ? 45 ) ? 2 cos 60 ? 2


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