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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第6章 第38讲 不等式关系与不等式课件 理


1.现给出三个不等式:①a 2 ? 1 ? 2a;②a 2 ? b 2 3 ? 2(a ? b ? );③ 7 ? 10 ? 3 ? 14.其中恒 2 成立的不等式共有 2 个.

解析:因为a ? 2a ? 1 ? ? a ? 1? ? 0,所以①不恒
2 2

成立;对于②,a ? b ? 2a ? 2b ? 3 ? ?

a ? 1? ?
2 2 2

? b ? 1?

2

? 1 ? 0,所以②恒成立;
2 2

对于③,因为( 7 ? 10) ? ( 3 ? 14) ? 2 70 ? 2 52 ? 0,且 7 ? 10 ? 0,3 ? 14 ? 0, 所以 7 ? 10 ? 3 ? 14,即③恒成立.

2.对于实数a,b,c,有下列命题:①若ac ? bc ,
2 2

则a ? b;②若a ? b,则ac ? bc ;③若a ? b ? 0,
2 2

则a 2 ? ab ? b 2;④若a ? b,c ? d,则a ? c ? b ? d . 其中正确的命题共有 3  个.

解析:当c ? 0时,②不正确,其余都正确.

1 ?1? a 3.已知a ? ?1,则与1 ? a的大小关系是 1 ? a  

解析:因为a ? ?1,所以a ? 1 ? 0. 1 1 ? ?1 ? a 2 ? a2 又因为 ? ?1 ? a ? ? ? ? 0, 1? a 1? a 1? a 1 所以 ? 1 ? a. 1? a

4.若 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

(? 0) . ,则a ? b的取值范围是  ?,  
?
2 ?? ? ? ? , ?

解析:因为 ? 所以 ?

?
2



?

2 2 2 2 又? ? ?,所以 ? ? ? ? ? ? ? 0.

?? ?

?

?

? ?? ?

?

.

5.若p ? x ? y ? 2,q ? 2x ? 4y ? x ? y ? 4,
2 2 2 2

p 则p与q的大小关系为 

?q
2

  .

解析:p ? 2,q ? ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ? 1,
2

故p ? q.

比较大小
【例1】 1? 若x ? y ? 0,试比较( x 2+y 2 )( x-y ) ? 与( x 2-y 2 )( x+y )的大小;

? 2 ? 设a ? 0,b ? 0,且a ? b,试比较
a a bb与a bb a的大小.

【解析】1? ( x 2+y 2 )( x-y )-( x 2-y 2 )( x+y ) ? =( x-y )[( x 2+y 2 )-( x+y ) 2 ] =-2xy ( x-y ). 因为x ? y ? 0,所以xy ? 0,x-y ? 0, 所以-2xy ( x-y ) ? 0. 所以( x +y )( x-y ) ? ( x -y )( x+y ).
2 2 2 2

a a bb a a-b a-b b-a ? 2 ? b a =a b =( ) . a b b a ①当a ? b ? 0时, ? 1 a-b ? 0, , b a a-b 则( ) ?1 ,于是a a b b ? a b b a . b a ②当b ? a ? 0时, ? ? 1 ab ? 0 0 , b a a -b 则( ) ? 1 a a b b ? a b b a . , b 综上,当a ? 0,b ? 0,且a ? b时, 总有a a b b ? a b b a .

比较两个代数式的大小往往可以首先将两 个式子相减,再因式分解,将式子变形为几个 因式的乘积的形式,而后判断各因式的符号,

进而确定差的符号 ,最终达到比较大小的目
的.当然,当比较大小的两个式子是幂的形式 时,也可以将两个代数式作商,但要注意两代 数式是同时为正还是同时为负,然后利用 a a “ b >1,a,b>0?a>b”或“ b >1,a,b<0? a<b”来解决 .

【变式练习 】 1 ln 2 ln 3 ln 5 a? ,b ? ,c ? , 2 3 5 c ? a ____ 则a,b,c大小顺序是 ______? b 【解析】作商比较法) ( b 2 ln 3 ln 9 ? ? ? log 8 9 ? 1, a 3ln 2 ln 8 又a ? 0,所以b ? a. a 5ln 2 ln 32 ? ? ? log 25 32 ? 1, c 2 ln 5 ln 25 而c ? 0,所以a ? c, 从而b ? a ? c.

求取值范围
【例2】 设二次函数y=f(x)的图象过原点, 且1≤f(-2)≤2,3≤f(1)≤4,求f(2)的取

值范围.

【 解 析 】 依 题 意 , 设 f(x) = ax2 + bx(a≠0), 则f(-2)=4a-2b,f(1)=a+b,f(2) =4a+2b. 设f(2)=Af(-2)+Bf(1)=(4A+B)a +(B-2A)b,

1 ? ?A ? 3 ?4 A ? B ? 4 ? 则? ,即 ? ?B ? 2 A ? 2 ?B ? 8 ? 3 ? 1 8 所以f (2) ? f (2) ? f (1). 3 3 1 1 2 因为1 ? f (-2) ? 2,所以 ? f (-2) ? . 3 3 3 24 8 32 又3 ? f ?1? ? 4,所以 ? f ?1? ? . 3 3 3 25 34 25 34 所以 ? f ? 2 ? ? .故f ? 2 ?的取值范围是[ ] 3 3 3 3

本题是用同向不等式相加性求取值范围问 题.一不小心就会产生如下错误:由
?1 ? 4a ? 2b ? 2 7 10 10 15 , 得 ? a ? , ? b ? ,再代入 ? 6 6 6 6 ?3 ? a ? b ? 4 35 f ? 2 ?=4a+2b,求得8 ? f ? 2 ? ? .错误的原因是没 3 有考虑到4a-2b与a+b中的a,b不是独立的,而是 相互制约的,以上解法无形中将所求变量的范围 改变了.正确的思路应该是:将f ? 2 ? 用4a-2b和a +b来表示,再两边分别乘以相应的系数即可.

【变式练习2】 (2011 ? 苏锡常镇一模卷)设等差数列?an ?的前n项、 和为Sn,若1 ? a5 ? 4, 2 ? a6 ? 3,则S6的取值范围 ?? 是   12, 42?   .
解析:设S6 ? 6a1 ? 15d ? ma5 ? na6 ? ? m ? n ? a1 ?

? 4m ? 5n ? d,

分类讨论
【例3】 mx 已知m ? R,a ? b ? 1,f ? x ?= , x ?1 试比较f ? a ? 与f ? b ?的大小.

mx x ?1?1 1 【解析】因为f ? x ?= =m ( )=m(1+ ), x ?1 x ?1 x ?1 1 1 所以f ? a ?=m(1+ ),f ? b ?=m(1+ ), a ?1 b ?1 则 f ? a ?- f ? b ? 1 1 m (b ? a ) =m(1+ )-m(1+ )= . a ?1 b ? 1 ( a ? 1)(b ? 1) 因为a ? b ? 1, 所以a-1 ? 0,b-1 ? 0,b-a ? 0.

?1?当m ? 0时,f ? a ?-f ? b ? ? 0,所以f ? a ? ? f ? b ?; ? 2 ?当m=0时,f ? a ?-f ? b ?=0,所以f ? a ?=f ? b ?; ? 3?当m ? 0时,f ? a ?-f ? b ? ? 0,所以f ? a ? ? f ? b ?. 综上所述,当m ? 0时,f ? a ? ? f ? b ?; 当m=0时,f ? a ?=f ? b ?; 当m ? 0时,f ? a ? ? f ? b ?.

本题体现的是近几年比较热门的考点— —用函数观点解决不等式问题.将两式相减 得到几个因式的积后,发现符号取决于m的正 x? p 负,所以对m进行讨论是必然的.对于 x?q (p,q是常数)这样的问题,用分离常数的方法 往往可以使问题得以简化,复习时要多加积 累.另外,本题最后如果没有写上“综上所 述”及其后面的内容,是不完整的.

【变式练习3】

若 0<x<1 , a>0 且 a≠1 , 试 比 较
|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

【解析】因为0<x<1,所以0<1-x<1,

0<1-x2<1,1<1+x<2.
① 当 a>1 时 , |loga(1 - x)| = - loga(1 - x) ,

|loga(1+x)|=loga(1+x),
所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)|=loga(1-x2)<0, 所以|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

②当0<a<1时,|loga(1-x)|=loga(1-x), |loga(1+x)|=-loga(1+x), 所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)|=-loga(1- x2)<0, 所以|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 综上所述,|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

1.判断下列命题的真假.

1? 若a ? b,则-a ? -b  真 _______ ; ?

? 2 ? 若a ? b,则 3 a ? 3 b  

真 _______ ;

1 1 真 (3)若a,b同号,a ? b, ? _______ ; a b 4 ? 若a ? b ? 0,则a n ? b n (n ? N,n ? 2)   真 _______   . ?

2.如果a ? R,且a +a ? 0,那么-a,
2

-a 3,a 2的大小关系是 __________ . -a>a2>-a3

【解析】因为a +a ? 0,
2

所以a ? -a,-1 ? a ? 0,
2

所以a 2-(-a 3 )=a 2 (1+a) ? 0, 即a ? -a .综上知-a ? a ? -a .
2 3 2 3

1 1 3.若 < <0,则下列不等式: a b ①a+b ? ab;② a ? b ; b a ③a ? b;④ ? >2中, a b 正确的不等式有_______ ①④
1 1 【解析】因为 < <0, 所以a ? 0,b ? 0, a b a ? b,ab ? 0,a+b ? 0,所以①④正确.

4.向一杯未饱和的糖水中加入一些糖, 溶解后糖水更甜了.请根据这个事实 写出一个不等式,并证明.

【解析】设糖水的总质量为a,其中含糖为b, b?m b 加入的糖为m,则有 > (a>b>0,m>0). a?m a b ? m b a?b ? m ? ? b? a ? m ? 证明:因为 ? ? a?m a a? a ? m ? ab ? am ? ab ? bm ? a ? b ?m = = , a? a ? m ? a? a ? m ? 又a>b>0,m>0,所以a-b>0,a+m>0, b?m b b?m b 所以 ? >0,即 > . a?m a a?m a

5.设实数x、y、z满足y+z=6-4x+3x2,z
-y=4-4x+x2,求x、y、z的大小关系.

【解析】因为y+z=6-4x+3x ,z-y=4-4x+x ,
2 2

所以y=x 2+1. 因为z-y=4-4x+x 2=( x-2) 2 ? 0, 1 2 3 所以z ? y.又y-x=x -x+1=( x- ) + ? 0, 2 4 所以y ? x.所以x、y、z的大小关系是z ? y ? x.
2

本节内容是不等式的入门知识,也是以后解不等 式(组)、证明不等式的依据.主要从两个方面考查,

一是利用两个实数大小的事实,比较两个(或多个)数
或代数式的大小,有可能结合到指数函数、对数函数、 幂函数等的性质;二是利用不等式的性质判断有关不 等式的命题的真假,或者求变量的取值范围.这部分 内容的考查以填空题为主,题目不难,但如果做题不

在状态或是对性质记忆模糊,甚至随意篡改性质的前
提条件,都可能将简单的问题弄得很糟糕.

1.利用不等式的性质判断命题的真

假时,一定要保持清醒的头脑,注意各个
性质结论成立的前提,不能随意改变性质 的条件. 2.利用不等式的性质求取值范围的 过程中,要保持变形的等价性,不要随意

扩大或缩小变量的范围,事先要判明变量
是独立的还是互相制约的.

3.比较两个代数式的大小,一般是 将代数式相减后,通过因式分解、凑配 等方法将化简到容易判断符号为止.如 果是解答题,往往会含有参数,因而需

要用到分类讨论思想.
4.对于判断在某些范围内的几个数 (或由字母组成的代数式)的大小问题,如 果可以算出结果,直接看出来就可以了; 如果不可以算出结果,用取特殊值的方

法往往奏效.


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