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11-4随机事件的概率、互斥事件的概率


一、选择题 1.下列说法: ①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; m ②做 n 次随机试验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的频率 n 就是事件的概 率; ③百分率是频率,但不是概率; ④频率是不能脱离 n 次试验的试验值, 而概率是具有确定性的不依赖于试验次 数的理论值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是( A.①②③④ C.①②③④⑤ [答案] B [解析] 由概率与频率的相关定义及联系知①④⑤正确. 2.从装有红球和绿球的口袋中任取 2 个球(其中红球和绿球都多于 2 个),那 么互斥而不对立的事件是( ) ) B.①④⑤ D.②③

A.至少有一个红球;至少有一个绿球 B.恰有一个红球;恰有两个绿球 C.至少有一个红球;都是红球 D.至少有一个红球;都是绿球 [答案] B

[解析] A 中至少有一个红球包括“一红一绿”和“2 个红球”,而“至少有 一个绿球”包括“一红一绿”和“2 个绿球”,两事件相交后为“一红一绿”不是 空集,∴不是互斥事件.B 中两事件不会同时发生,且并起来不是必然事件,∴是 互斥不对立事件. C 中“至少有一个红球”包含“都是红球”, ∴不是互斥事件. D 中“至少有一个红球”与“都是绿球”是对立事件. 3. (文)从 6 名学生中选取 4 人参加数学竞赛, 其中 A 同学被选中的概率为( 1 A. 2 3 C. 5 [答案] D 4 2 2 [解析] 从 6 名学生中选 4 人,每人被选中的可能性都是 = ,∴P(A)= .∴ 6 3 3 选 D. (理)(2012· 天津模拟)某班有 60 名学生,其中女生 24 人,现任选一人,则选中 男生的概率为( 1 A. 36 2 C. 5 [答案] D 36 3 [解析] 由题意知男生有 60-24=36(人),故男生选中的概率为 = . 60 5 4.在一个袋子里装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注数 字外完全相同,现从中随机取 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( ) ) 1 B. 60 D. 3 5 B. 1 3 2 3 )

D.

1 A. 12 1 C. 5 [答案] D

B.

1 10

3 D. 10

[解析] 随机从袋子中取 2 个小球的基本事件为(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)共有 10 种, 其中数字之和为 3 或 6 的, 有(1,2), (1,5), 3 (2,4)3 种,∴数字之和为 3 或 6 的概率为 P= . 10 5.(2011· 浙江文,8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( 1 A. 10 3 C. 5 [答案] D [解析] 本题考查了概率中的古典概型. 设 3 个红球分别为 A1,A2,A3,2 个白球分别为 B1,B2 则本题中 Ω={(A1,A2,A3),(A1,A2,B1),(A1,A3,B1),(A2,A3,B1),(A1, A2,B2),(A1,A3,B2),(A2,B3,B2),(A1,B1,B2),(A2,B1,B2),(A3,B1,B2)} 共有 10 个基本事件,所以“所取 3 个球中至少有 1 个白球”与“所取 3 个球中一 个白球也没有”互为对立事件 1 9 ∴P=1- = . 10 10 6.(文)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸 出红球的概率为 0.4,摸出黄球的概率为 0.35,则摸出白球的概率是( A.0.2 C.0.25 B.0.3 D.0.5 ) ) B. 3 10 9 10

D.

[答案] C [解析] 记事件 A、 C 分别是为“摸出一球是红球”, B、 “摸出一球是黄球”, “摸出一球是白球”, 由已知得事件 A、B、C 互斥,且事件 A∪B∪C 是必然事件, ∴P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1, ∴P(C)=1-0.4-0.356=0.25. (理)12 个篮球队中有 3 个强队, 将这 12 个队任意分成 3 个组(每组 4 个队), 则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为( 1 A. 55 1 C. 4 [答案] B [解析] 考查概率问题,本题涉及到平均分组问题,注意求法.
4 4 C 1 C8· 4 C9× 2 6×4×3×2 A2 9 3 P= 4 4 4 = × = . C12· 8· 4 2 12×11×10×9 55 C C A3 3

) B. 3 55

1 D. 3

所求概率为

二、填空题 7.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.3,两人下成和棋的概率为 0.5,那么 甲不输的概率是________. [答案] 0.8 [解析] “甲获胜”记为事件 A,“两人下成和棋”记为事件 B,则易知 A 与 B 互斥,所以甲不输的概率为 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8. 8.(文)中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺 3 1 得冠军的概率为 ,乙夺得冠军的概率为 ,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的 7 4 概率为________. [答案] 19 28

3 [解析] 设事件 A 为“甲夺得冠军”, 事件 B 为“乙夺得冠军”, P(A)= , 则 7 1 3 1 19 P(B)= ,因为事件 A 和事件 B 是互斥事件,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = . 4 7 4 28 (理)在 10 枝铅笔中,有 8 枝正品和 2 枝次品,从中不放回地任取 2 枝,至少 取到 1 枝次品的概率是________. [答案] 17 45

[解析] 方法一(直接法):“至少取到 1 枝次品”包括:A=“第一次取次品, 第二次取到正品”;B=“第一次取正品,第二次取到次品”;C=“第一、二次 均 取 到 次 品 ” 三 种互 斥 事 件 , 所 以 所求 事 件 的 概 率 为 P(A)+ P(B)+ P(C)= 2×8+8×2+2×1 17 = . 45 10×9 方法二(间接法):“至少取到 1 枝次品”的对立事件为“取到的 2 枝铅笔均为 8×7 17 正品”,所以所求事件的概率为 1- = . 10×9 45 三、解答题 9.袋中装有 6 个球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出 2 球,求下 列事件的概率: (1)A:取出的 2 球都是白球. (2)B:取出的 2 球 1 个是白球,另 1 个是红球. [分析] 要先计算出从 6 个球中任取 2 个球的基本事件总数,可以用列举法. [解析] 设 4 个白球的编号为 1、2、3、4,2 个红球的编号为 5、6.从袋中 6 个 小球中任取 2 个, 其基本事件空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}共 15 个基本事件. (1)从袋中的 6 个小球中任取 2 个,所取的 2 球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中任取 2 个的方法总数,共有 6 种,即 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

6 2 (3,4)},所以 P(A)= = . 15 5 (2)从袋中的 6 个小球中任取 2 个,其中 1 个是红球,而另 1 个是白球,则 B ={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共 8 个基本事件. 8 所以 P(B)= . 15 [点评] 在古典概型条件下,当基本事件总数为 n 时,每一个基本事件发生的 1 概率均为n,要求事件 A 的概率,关键是求出基本事件总数 n 和事件 A 中所含基本 m 事件数 m,再由古典概型概率公式 P(A)= n 求出事件 A 的概率.

一、选择题 1.(文) 荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时, 均从一叶跳到另一叶), 而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍. 如 图,假设现在青蛙在 A 叶上,则顺时针跳动一次停在 C 叶上的概率是( )

1 A. 3

2 B. 3

4 C. 9 [答案] A

D.

1 2

[解析] 设青蛙按顺时针方向跳的概率为 P1,按逆时针方向跳的概率为 P2,则 1 2 有 P2=2P1,P1+P2=1,∴P1= ,P2= ,则顺时针跳动一次停在 C 叶上的概率为 3 3 1 P1= . 3 x2 y2 (理)m∈{-2,-1,0,1,2,3},n∈{-3,-2,-1,0,1,2},且方程m+ n =1 有意 x2 y2 义,则方程m+ n =1 可表示不同的双曲线的概率为( 36 A. 25 9 C. 25 [答案] D [解析] 由题设知?
? 1° ?m>0 ?n<0 ?m<0 ?n>0 ?m>0 ?n<0

)

B.1 D. 13 25

或?

?m<0 ?n>0



时有不同取法 3×3=9 种. 时有不同取法 2×2=4 种,

? 2°

9+4 13 ∴所求概率 P= = . 5×5 25 2.(文)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 (它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( 1 A. 6 B. 5 36 )

1 C. 12 [答案] C

1 D. 2

[解析] log2xy=1?y=2x,x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6},∴x=1,y=2 或 x=2,y=4 或 x=3,y=6 共 3 种情况,基本事件为(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1), (2,2),?,(6,6)共 36 种情况, 3 1 ∴P= = . 36 12 (理)从-1、0、1、2 这四个数中选出三个不同的数作为函数 f(x)=ax2+bx+c 的系数组成不同的二次函数,其中的二次函数有变号零点的概率为( 7 A. 9 5 C. 9 [答案] A [解析] 首先取 a,∵a≠0,∴a 的取法有 3 种,再取 b,b 的取法有 3 种,最 后取 c,c 的取法有 2 种, ∴共组成不同的二次函数 3×3×2=18 个. f(x)若有变号零点,不论 a>0 还是 a<0,均应有 Δ>0,即 b2-4ac>0,∴b2>4ac. ①首先 b 取 0 时,a、c 须异号,a=-1,则 c 有 2 种,a 取 1 或 2,则 c 只能 取-1,∴共有 4 种. ②b=1 时,若 c=0,则 a 有 2 种,若 c=-1,a 只能取 2. 若 c=2,则 a=-1,共有 4 种. ③若 b=-1,则 c 只能取 0,有 2 种. ④若 b=2,取 a 有 2 种,取 c 有 2 种,共有 2×2=4 种. 综上,满足 b2>4ac 的取法有 4+4+2+4=14 种, 14 7 ∴所求概率 P= = . 18 9 B. 7 12 )

5 D. 12

二、填空题 3.(文)某战士射击 1 次,未中靶的概率是 0.05,中靶环数大于 5 的概率为 0.7, 则中靶环数大于 0 且小于 5 的概率为________. [答案] 0.25 [解析] 设事件 A 为“中靶环数大于 0 且小于 5”,其对立事件是“未中靶或 中靶环数大于 5”. ∴P(A)=1-(0.05+0.7)=1-0.75=0.25. ∴中靶环数大于 0 且小于 5 的概率是 0.25. (理)甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台 风的概率分别为 0.8 和 0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 ________. [答案] 0.95 [解析] 由对立事件的性质知,在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为 1-(1-0.8)(1-0.75)=0.95. 4.(文)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是________. [答案] [解析] 3 4 从四条线段中任取三条的所有情况有:(2,3,4),(2,4,5),(2,3,5),

3 (3,4,5).其中能构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5)和(3,4,5),所以 P= . 4 (理)(2011· 湖北理,12)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料 中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为________.(结果用最简分 数表示) [答案] 28 145

[解析] 本题考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的概率分式.

法一:至少取到 1 瓶分为恰好取到 1 瓶和恰好取到 2 瓶. C1C1 C2 28 3 27 3 ∴P= 2 + 2 = C30 C30 145 法二:“至少取到一瓶”的对立事件为“两瓶都未过保质期”.
2 C27 117 28 ∴P=1- 2 =1- = . C30 145 145

三、解答题 5.(文)(2011· 湖南文,18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X = 70 时 , Y = 460 ; X 每 增 加 10 , Y 增 加 5.已 知 近 20 年 X 的 值 为 : 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 2 2020 160 200 220

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频 率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. [解析] (1)在所给数据中, 降雨量为 110 毫米的有 3 个, 160 毫米的有 7 个, 为 为 200 毫米的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 1 20 110 3 20 140 4 20 160 7 20 200 3 20 220 2 20

(2)P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)

=P(Y<490 或 Y>530) =P(X<130 或 X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) 1 3 2 3 = + + = . 20 20 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或越过 530(万千瓦时) 3 的概率为 . 10 (理)(2011· 全国大纲文,19)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率 为 0.5, 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3, 设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. [解析] 设车主购买甲种保险为事件 A,购买乙种保险但不购买甲种保险为事 件 B,则 P(A)=0.5,P(B)=0.3 (1)该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种为事件 A∪B,∴A,B 互 斥 ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8 即该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)两种保险都不买为事件 A∪B ∴P( A∪B )=1-P(A∪B)=1-0.8=0.2 3 位 车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 P= C1 3 ×(0.2)×(0.8)2=0.384. 6.(文)抛掷一枚骰子,事件 A 表示“朝上一面的点数是奇数”,事件 B 表示 “朝上一面的点数不超过 2”. 求:(1)P(A);(2)P(B);(3)P(A∪B).

[解析] 基本事件总数为 6 个. (1)事件 A 包括出现 1,3,5 三个基本事件, 3 1 ∴P(A)= = . 6 2 (2)事件 B 包括出现 1,2 两个基本事件. 2 1 ∴P(B)= = . 6 3 (3)事件 A∪B 包括出现 1,2,3,5 四个基本事件, 4 2 ∴P(A∪B)= = . 6 3 (理)(2012· 天津武清一模)从 1、2、3、4、5、8、9 这 7 个数中任取三个数,共 有 35 种不同的取法(两种取法不同, 指的是一种取法中至少有一个数与另一种取法 中的三个数都不相同). (1)求取出的三个数能够组成等比数列的概率; (2)求取出的三个数的乘积能被 2 整除的概率. [解析] (1)从 1、2、3、4、5、8、9 这 7 个数中任取三个数,每一种不同的取 法为一个基本事件,由题意可知共有 35 个基本事件.设取出的三个数组成等比数 列的事件为 A,A 包含(1,2,4)、(2,4,8)、(1,3,9)共 3 个基本事件. 3 由于每个基本事件出现的可能性相等,所以 P(A)= . 35 (2)设取出的三个数的乘积能被 2 整除的事件为 B,其对立事件为 C,C 包含 (1,3,5),(1,3,9),(1,5,9),(3,5,9)共 4 个基本事件. 4 由于每个基本事件出现的可能性相等,所以 P(C)= . 35 4 31 所以 P(B)=1-P(C)=1- = . 35 35 7.(文)(2010· 福建文)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;

(2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. [分析] 本小题主要考查概率,平面向量等基础知识,考查运算求解能力,应 用意识,考查化归与转化思想,必然与或然思想. [解析] (1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2),(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0,即 n=(m-1)2 由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1)(3,4),共 2 个.又基本 2 1 事件的总数为 16,故所求的概率为 P(A)= = . 16 8 (理)将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为 a、b.

?x≥0 ? (1)求点 P(a,b)落在区域?y≥0 ?x+y-5≤0 ?

内的概率;

(2)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率. [解析] (1)先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为 a,b,则事件总数 为 6×6=36.

?x≥0 ? ∵?y≥0 ?x+y-5≤0 ?

表示的平面区域如图所示:

当 a=1 时,b=1,2,3,4 a=2 时,b=1,2,3 a=3 时,b=1,2 a=4 时,b=1 共有(1,1)(1,2)??(4,1)10 种情况. 10 5 ∴P= = . 36 18 (2)∵直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 相切的充要条件是 +b2=25, ∵a、b∈{1,2,3,4,5,6} 满足条件的情况只有:a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况, 2 1 ∴直线与圆相切的概率 P= = . 36 18 1 17 ∴直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率 P=1- = . 18 18 5 2 2 2=1,即 a a +b


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