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二次函数的值域及应用(天)


基本知识点: 基本知识点: 二次函数的三种表达式 (1)一般式:y=ax2+bx+c )一般式: (2)顶点式:y=a(x-h)2+k 顶点式: 顶点式 (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2) 两根式: 两根式 轴交点( 与x轴交点(x1,0),( x2,0) 轴交点 顶点( 顶点(h,k)

的图象, 例1、根据所给函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象 、 求出f(x)的表达式,顶点坐标、对称轴、最值。 的表达式,顶点坐标、对称轴、最值。 求出 的表达式
y
1 -2 o 1

x

求下列函数的值域: 例1 求下列函数的值域: (1) y =2x2-6x+5 (2) y= -2x2-6x+5

因此函数有最小值。 解:(1)a=2>0,因此函数有最小值。 因此函数有最小值 y=2[x2-3x+(1. 5)2-(1. 5)2]+5 =2(x-1. 5)2-4. 5+5
o

y

=2(x-1. 5)2+0. 5 因此得出, 因此得出,此函数的 值域为 [0.5,+∞ ) x

(2) y = -2x2-6x+5 因此函数有最大值。 解:(2)a=-2<0,因此函数有最大值。 因此函数有最大值 y =-2[x2+3x+(1. 5)2-(1. 5)2]+5 =-2(x+1. 5)2+9. 5 因此得出, 因此得出,此函数的值 域为 (? ∞,9.5] y

o

x

求二次函数在闭区间上的值域 求下列函数的值域: 例2 求下列函数的值域: (1)y = x2-6x+5 ) (2)y = x2-6x+5 ) (3)y = x2-6x+5 ) x∈[0,2] ∈ x∈[4,6] ∈ x∈[2,6] ∈

(1)y = x2-6x+5 )

x∈[0,2] ∈

1 -1 -1 -3 1 2 34 5 6

(2)y = x2-6x+5 )

x∈[4,6] ∈

1 -1 -1 -3 1 2 34 5 6

(3)y = x2-6x+5 )

x∈[2,6] ∈

1 -1 -1 -3 1 2 34 5 6

归纳
求二次函数在闭区间上的值域 解题步骤: 解题步骤: (1) 配方 (2) 画图 (3) 截段 (4) 求最值
1).提取二次项的系数 2).加一次项系数一半的平方, 再减去一次项系数一半的平方

画图的要点:对称轴, 画图的要点:对称轴, 与坐标轴的交点, 与坐标轴的交点,顶点

提高题

求下列函数的值域: 求下列函数的值域:
(1) y = ? x + 2 x + 3 1 ( 2) y = 2 x + x +1
2

作业
1、求下列函数的值域: 、求下列函数的值域:

(1) y = x ? 2 x + 3 (2) y = ?3 x ? 6 x + 1
2
2

2、求下列函数的值域:(画一个草图 、求下列函数的值域: 画一个草图 画一个草图) (1)y=x2-4x+3 ) (2)y=x2-4x+3, x∈[-1,3] ,y∈_____ ) ∈ ∈ (3)y=x2-4x+3, x∈[ 1,3] ,y∈_____ ) ∈ ∈ (4)y=x2-4x+3, x∈[-2,1] ,y∈_____ ) ∈ ∈ (5)y=x2-4x+3, x∈[ 4,7] ,y∈_____ ) ∈ ∈ 3、等腰梯形周长为 ,底角为 0,试求当腰长 、等腰梯形周长为60,底角为60 为何值时,面积有最大值,并求此最大值。 为何值时,面积有最大值,并求此最大值。

二次函数的应用 元购进一批商品, 例1、某商店按进价 元购进一批商品,若按 、某商店按进价40元购进一批商品 每件50元可卖 件 若每件增加1 每件 元可卖100件。若每件增加 元, 元可卖 则少卖1件 则少卖 件,问每件增加多少元钱可以使 利润最大,最大值是多少? 利润最大,最大值是多少?

年高职考试题) 例2、 (2006年高职考试题)某产品的生 、 年高职考试题 产总成本C与产量 与产量x之间的函数关系式为 产总成本 与产量 之间的函数关系式为 C=4000+10x – 0.2x2(其中 为不大于 的自然 其中x为不大于 其中 为不大于165的自然 若每台的销售价格为30元 数),若每台的销售价格为 元,问至少需要生产 若每台的销售价格为 多少台此产品才能保证不亏本? 多少台此产品才能保证不亏本? 利润函数L(x)=R(x) – C(x), 利润函数 其中R(x)为收入函数 C(x)为成本函数。 为收入函数, 为成本函数。 其中 为收入函数 为成本函数


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