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2014《高考调研》新课标总复习 数学(理科版) 衡水中学2-1


高考调研

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第 1 课时 函 及 表 数其示

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2013?考纲下载
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值 域. 2.了解映射的概念,在实际情景中会根据不同的需要选择 恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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请注意!
本是数起部,考函的念三素表 节函的始分以查数概、要及 示为,时数图、段数考是点另, 法主同函的像分函的查热,外 实际问题中的建模能力偶有考查. 特别是函数的表达式及图像, 仍是 2014 年高考考查的重要内容.

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1.函数与映射的概念

函数

映射

两集合 设A、B是两个 非空数集 . 设A、B是两个 非空集合. A、B 如果按照某种确定的对应 对应关 关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B 系 f:A→B 中有 唯一 的数f(x)和它对 应 如果按某一个确定的对 应关系f,使对于集合A 中的任意 一个元素x在集 合B中有 唯一 的元素y与 之对应

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函数
名称

映射

称 f:A→B 为从集合A到 称对应 f:A→B 为从集 集合B的一个函数 合A到集合B的一个映射

记法

y=f(x),x∈A

对应f:A→B是一个映射

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2.函数 1 函实上从个空集另个空集映 ( ) 数质是一非数到一非数的 射. 2 函数的三要素: 定义域 值域 对应法则 ( ) 3 函数的表示法:解析法 图像法 列表法 ( ) . .

4 两个函数只有当 定义域和对应法则 都 别 同 , ( ) 分相时 两 这 个函数才相同.

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3.分段函数 在一个函数的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围, 有不的应系这的数分函,段数一 着同对关,样函叫段数分函是 个函数而不是几个函数.

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1.2012 年 闰 , 设 份 集 是 年假 月 的 合

A, 月 天 构 集 每的数成

合 B,f 是月份与天数的对应关系,其对应如下:

月 份
天 数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

对照课本中的函数概念上述从 A 到 B 的对应是函数吗?又 从 B 到 A 的对应是函数吗?
答案 是 不是
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2.已知 f(x)=m(x∈R),则 f(m3)等于 A.m3 C. m
答案 B

(

)

B.m D.不确定

3

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3.(课 改 题 本编

)集合 A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2}, ( )

下列不表示从 A 到 B 的函数的是 1 A.f:x→y=2x 2 C.f:x→y=3x
答案 C

1 B.f:x→y=3x D.f:x→y= x

解析 依 函 概 , 合 据 数 念集

A 中任一元素在集合 B 中都有

唯一确定的元素与之对应,选项 C 不符合.

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4. 列 图 , 可 表 函 下各中不能示数

y=f(x)的 像 是 图的

(

)

答案 B 解析 B 中一个 x 对应两个函数值,不符合函数定义.

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5.(1 23 0·

衡中调研卷)已知函数

?o l ?g 2x ?x>0?, f(x)=? x ?3 ?x≤0?, ?



1 f[f( )]的值为________. 4

1 答案 9

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例 1 下对是是集 列应否从合 数 ?

A 到 B 的射能构函 映,否成

1 ①A=R,B=R,f:x→y= ; x+1 1 1 * ②A={a|a=n,n∈N },B={b|b= ,n∈N },f:a→b= ; n a
*

③A={x|x≥0,x∈R},B=R,f:x→y,y2=x; ④A={平 M 内 矩 面 的形 形外圆 的接.
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},B={平 M 内 圆 },f: 矩 面 的 作

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【析 解】 更能成数 不构函;

①当 x= 1 时 y 值 存 , 它 是 射 - , 不在故不映,

②是 射 也 函 , 为 映,是数因 的素 元; ③不 映 ,不 函 , 是 射更 是 数从 ④是 射 但 是 数 因 映,不函,为

A中有素倒都 所元的数是

B中

A到B的应 对为 A、B 不 数 . 是集

“一 多 ”; 对

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探究 1 1 映射只要求第一集合 A 中 每 元 在 二 ( ) 的个素第集 合 B 中有且只有一个元素与之对应; 至于 B 中 元 有 原 、 的素无象 有几个原象却无所谓. (2)函数是特殊的映射:当映射 f:A→B 中的 A、B 为非空 数集时,即成为函数. 3 高考对映射的考察往往结合其他知识,只有深刻理解映 ( ) 射的概念才能在解决此类问题时游刃有余.

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思考题 1 1 设 a 在映射 f 下的象为 2a+a, 20 在映射 ( ) 则 f 下的原象为________.
【解析】 2a+a=20, 当 a=4 时,24+4=20. 又函数 y=2x+x 为单调递增函数, ∴方程 2a+a=20 有且只有一个解 4. ∴20 在映射 f 下的原象为 4.
【答案】 4

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2 已知集合 A={a, c}, ( ) b, B={-1 1 0 } , +f(c)=0 的映射 f 有________个.

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,满 则足

f(a)+f(b)

【解析】 当 f(a)=f(b)=f(c)=0 时,满足 f(a)+f(b)+f(c) =0. 当 f:A→B 为一一映射时,满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,这样 的映射有 3×2=6 个,∴共有 6+1=7 个.
【答案】 7

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例 2 以给的组数,否示一数为 下出同函中是表同函?什 么? x 1 f1:y= ;f2:y=1. ( ) x 2 ( )
?x, ? f1:y=|x|;f2:y=? ?-x, ?

x>0, x< 0 .

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?1, x≤1, ? 3 f1:y=?2, 1<x<2, ( ) ?3, x≥2. ? f2 :
x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3

4 f1:y=2x;f2:如图所示. ( )

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【析 解】

(1)不 函 . 同数

f1(x)的 义 为 定域

{x∈R|x≠0},f2(x)

的定义域为 R. 2 不同函数.f1(x)的定义域为 R,f2(x)的 义 为 ( ) 定域 R|x≠0}. 3 同一函数.x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同, ( ) 它们是同一函数的不同表示方法. 4 同一函数.理由同( . ( ) 3 ) {x∈

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探究 2 1 构成函数的三要素中, ( ) 定义域和对应法则相同, 则值域一定相同. 2 两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时,是相同函 ( ) 数.

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思考题 2 下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)= x2 x)2

)

x2,g(x)=(

x2-1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1

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【解析】 A 中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x). B 中,f(x)=|x|,g(x)=x(x≥0), ∴两函数的定义域不同. C 中,f(x)=x+1(x≠1),g(x)=x+1, ∴两函数的定义域不同. D 中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0), f(x)的定义域为{x|x≥1}; g(x)= x2-1(x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}. ∴定义域不同.

【答案】 A
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例 3 已知 f(x)满足下列条件,分别求 f(x)的 析 . 解式 1 f( x+1)=x+2 x; ( ) 2 y=f(x)是一次函数,且 f(f(x))=9x+8; ( ) 3 2 ( ) f(x)-f(-x)=l x+1),x∈(-1 g ( 1 ) , ,求 f(x).

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【解析】 1 方法一 设 u= x+1,则 x=u-1(u≥1). ( ) ∴f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1). 即 f(x)=x2-1(x≥1). 方法二 ∵x+2 x=( x+1)2-1, 由于 x≥0,所以 x+1≥1. ∴f( x+1)=( x+1)2-1,即 f(x)=x2-1(x≥1).

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2 由件设 ( 条可 ) f(x)=ax+b(a≠0),

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∵f[f(x)]=9x+8,∴有 a(ax+b)+b=9x+8. 比系可 较数得
?a=3, ? ? ?b=2 ? ?a= ? - 或? ?b= ? -

3, 4.

故 f(x)=3x+2 或 f(x)= 3x-4. - 3 以量 ( 变- ) x代变 替量 x, 是 于有 ① ②

2f(x)-f(-x)=l x+1), g ( 2f(-x)-f(x)=l -x+1). g ( 由① 消 f(-x), ② 去 得 2 1 f(x)=3g x+1)+ 3g ( l 1 ( l -x),(-1<x<1).
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探究 3 函数解析式的求法 1 凑 法由 知 件 ( 配 :已 条 ) f(g(x))=F(x),将 可 F(x)改写成关于

g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的 达 . 表式 2 待 系 法若 知 数 类 ( 定 数 :已 函 的 型 ) 可用待定系数法. 3 换元法:已知复合函数 f(g(x))的 析 , 用 元 , ( ) 解式可换法 此时要注意新元的取值范围. (如 次 数二 函 一 函 、次 数 )

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1 4 方程思想:已知关于 f(x)与 f( )或 f(-x)的表达式,可根 ( ) x 据知件构出外个式成程,过方组 已条再造另一等组方组通解程 求出 f(x).

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思考题 3 1 已知 f(x-2)=2x2-9x+13,求 f(x)的解析 ( ) 式. 2 已知 f(1-c x)=s ( ) o s n i
2

x,则 f(x)=________.
?1? 2f(x)+f? ?=2x,x∈R ?x?

3 如果函数 f(x)满足方程 ( ) 求 f(x)的解析式.

且 x≠0,

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【析 解】

1 方一 ( 法 )

拼法 凑.

f(x-2)=2x2-9x+13=2(x

-2)2-(x-2)+3,对 法 为 得应则 为 f(x)=2x2-x+3. 方二 法 系, 式得 换法令 元.

f(x)=2x2-x+3.即 求 析 所解式

x-2=t, x=t+2, 入 函 关 则 代原数

f(t)=2 t+2)2-9(t+2)+13=2t2-t+3. ( · f(x)=2x2-x+3.

所 f(x)的 析 为 以 解式

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2 令 1-c x=t(0≤t≤2),则 c x=1-t. ( ) o s o s ∴f(1-c x)=f(t)=s o s n i
2

x=1-c o s

2

x

=1-(1-t)2=-t2+2t. 故 f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).

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?1? ∵2f(x)+f? ?=2x, ?x?

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3 ( )



1 1 将 x 换成 ,则 换成 x, x x 得
?1? 2 2f?x?+f(x)= . x ? ? ?1? f?x?,得 ? ?

② 2 3f(x)=4x- . x

由①②消去

4 2 ∴f(x)=3x- (x∈R 且 x≠0). 3x

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例 4 1 设函数 ( )

?2x-4 ?x≤4?, ? f(x)=? ?-l 2?x+1? ?x>4?, g ? o

1 若 f(a)=8,

则 f[f(a+6 =________. ] )

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?a≤4, ?a>4, ? ? 【解析】 依题意得? a-4 1 或? 1 o g ?2 =8 ?-l 2?a+1?=8, ? ? 解得 a=1. ∴f(a+6)=f( =-l 7 ) o g
28=-3.
-7

1 ∴f[f(a+6 =f(-3)=2 =128. ] )

1 【答案】 128

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2 设集合 A={x|0≤x< ,B={x|1≤x≤2},函数 f(x)= ( ) 1 }
?2x ?x∈A?, ? ? ?4-2x ?x∈B?. ?

x0 ∈A 且 f[f(x0)] ∈A ,则 x0 的取值范围是

________.

【解析】 f(x)的图像如图.

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令 t=f(x0),则 f(t)∈A. ∵A=[ 1 0 ) , ,∴0≤f(t). < 1 3 t2 = . 2

作直线 y=1,交 f(x)图像于 A 点,则 A 点横坐 为 标 3 3 ∴2<t≤2,即2<f(x0)≤2. 3 作直线 y= 交 f(x)于 B 点 则 , 2 3 ∈A,由图知 o 22<x0< g l 1 . 3 【答案】 o 2 ,1) g l ( 2
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3 B 点横坐标 t1=l 2 ,又 x0 o g 2

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探究 4 表示函数的式子可以不止一个,对于自变量 x 的 不同取值区间(范围)存在不同对应法则的函数为分段函数, 应注 意要认它 不误为是 “几 函 个数 ”! 段 数 普 存 又 比 分函是遍在是

较重要的一 函 . 段 数 定 域 各 自 量 值 合 类数分函的义是段变取集 的集分函的域各函值合并,段数 并,段数值是段数集的集分函 的最大(小)值 各 上 大 是段最 (小)值 的 大 中最 (小)者 研 分 函 ,究段

数常常要画出它的图像,借助于图像来讨论.

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思考题 4 1 22 ( (1 ) 0· 则 f(f( 1 0 ) =

江西)若函数

?x2+1,x≤1, ? f(x)=? ?lgx,x>1, ?

( B.2 D.0
=l g 1 0 =1,f( =12+1=2, 1 )

)

A.l0 g 1 1 C.1
【解析】 ∵f() 1 0 ∴f(f( 1 0 )

=2,选 B.

【答案】 B

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?2x-3,x≥1, ? 福州质检)设函数 f(x)=? 2 ?x -2x-2,x<1, ?

2 23 ( (1 ) 0 ·

若 f(x0) )

=1,则 x0 等于 A.-1 或 3 C.-1 或 2
【解析】 ∵f(x0)=1,
?x <1, ? 0 或? 2 ?x 0-2x0-2=1. ?

( B.2 或 3 D.-1 或 2 或 3

?x ≥1, ? 0 ∴? ?2x0-3=1 ?

解得 x0=2 或 x0=-1.
【答案】 C
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例5

设 f(x)是 R 上的函数,且 f( =1,对任意 x,y∈R 0 )

恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)的 达 . 表式

【解析】 方法一 ∵f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 令 y=x,得 f( =f(x)-x(2x-x+1). 0 ) ∵f( =1,∴f(x)=x2+x+1. 0 ) 方法二 令 x=0,得 f(-y)=f( -y(-y+1)=y2-y+1.再 0 ) 令 y=-x,得 f(x)=x2+x+1.

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【答案】 f(x)=x2+x+1

探究 5 抽象函数问题的处理一般有两种途径: 1 看其性质符合哪类具体函数形式,用具体函数代替抽象 ( ) 解决问题. 2 利用特殊值代入寻求规律和解法. ( )

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思考题 5 设函数 f(x)的 义 为 定域

R, 于 意 数 对任实

x1,

x1+x2 x1-x2 x2,都有 f(x1)+f(x2)=2f( )f( ),f( =-1,则 f( = π ) 0 ) 2 2 ________.
【解析】 令 x1=x2=π, 则 f( +f( =2f( f( ,∴f( =1. π ) π ) π 0 ) ) 0 )
【答案】 1

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【讲评】 根 给 的 象 达 , 活 赋 是 题 据定抽表式灵的值解的 关.是值应注适性此若 键但赋时该意用,题令 x1=x2=0,f( 0 )

+f( =2f( f( ,f( =f20 ,f( =0 或 1, 造 多 . 0 ) 0 0 ) ) 0 ) ( ) 0 ) 会成解

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常用结论记心中,快速解题特轻松: 1. 射 题 许 对 , 不 许 对 ! 句 说 是 映 问 允 多 一但 允 一 多 换 话 就 映射允许三石一鸟,但不允许一石三鸟! 2.函数问题定义域优先! 3.抽象函数不要怕,赋值方法解决它!

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4. 段 数 段 , 后 起 平 . 分函分算然并保安 本时要及三题:数三素分函, 课主涉到类型函的要,段数 函 的 析 .过 题 讲 数 解 式通 例 的 解 (有 题 直 源 教 些目接于材 ),方 一

面学掌各题的法另方,要给生握 使生握类型解;一面也教学把 复的度教大是考题依 习尺,学纲高命的 的体研教是生取识能的要径 载,习材学获知、力重途. 据而材贯大 ,教是彻纲

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从几的课高试可看,考题格循 近年新标考题以到高试严遵 教 大 及高 大 》 一 数 的 题 接 自 材这 学 纲《 考 纲 有 定 量 试 直 源 教 , , 就求们教过中紧教和纲全、统抓 要我在学程要扣材大,面系地 好基知、本能基思和法教,各块 对础识基技、本想方的学对模 的容注全,要出点对点容通通要 内要重面更突重,重内、解法 讲讲 清透 .

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1. 本 编 (课 改 题 不从 是

)判 下 对 是 是 断列应不从

A 到 B 的射是 映?

A到B的数 函?

①A={x|x 是 角 },B={y| y≤1},f:x→y=s x 锐 0 < n i ②A={石 庄 ,春 ,州 家 市长 市郑 市 吉省黑江 林,龙省 }, B={河 省河 省 北 ,南 ,

},f: 一 城 与 所 的 对 每个市其属省应

③A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},f:x→y=(x-2)2.
答案 ①是 射 函 , 映是数 射,也不是函数
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②是 射 不 函 , 映,是数

③不是映

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2.对于集合 A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3}, 由 列 则下 图形给出的对应 f 中,能构成从 A 到 B 的 数 是 函的 ( )

答案 D

解析 对于 B、C 两图可以找到一个 x 与两个 y 对应的情 形,对于 A 图,当 x=2 时 在 ,
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B 中找不到与之对应的元素.
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3.(1 22 0·

安徽)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

)

A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1
答案 C

解析 ∵f(2x)=2x+1,而 2f(x)=2x+2, ∴f(2x)≠2f(x),只有 C 项不满足.

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4.定义运算 是

?a?a≤b?, ? a@b=? ?b?a>b?, ?

则函数 f(x)=1 2 @ (

x

的图像 )

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答案 A
?1 ? x =? x ?2 ? ?1 ?x≥0?, ?1≤2x?, ? =? x 结合 x ?2 ?1 ? > 2 ?x<0?, ?

解析

f(x)=1 2 @

图像,选 A.

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5 . 23 (1 0 · 《高考调研》原创题

新课标版 · 数学(理)

) 已知函数

f(x) =

?1x ?? ? -2,x≤0, ?2 则 f() 0 2 1 3 ?f?x-2?+1,x>0, ?
答案 0 1 0 7

=________.

解析 根据题意:0) f( 2 1 3 f( +1 1 ) 0 0 6 =f(-1)+1 0 0 7

=f() 0 2 1 =1 0. 0 7

+1=f() 0 2 0 9

+2=?=

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6. 国 水 源 对 乏 国 , 鼓 节 用 , 市 我 是 资 相 匮 的 家为 励 约 水某 打制一水措,定季每用不过 算定项费施规每度人水超 每水的格 吨费价 吨, 部的费 时 过分水 超 (基 消 价 本费

新课标版 · 数学(理)

5 吨, 时 5吨不过 而超 6

)为 1.3 元 若 过 ,超

加 200%, 过 收 若 超

6吨不过 而超

7吨, 时

超过部分的水费加收 4 0 0 %

,果人季实用量 如某本度际水为

x(x≤7)吨 试 算 季 他 缴 的 费 ,计本度应纳水.

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?3 x, 1 . ? 3 . 答案 y=?9 x-13, ?5 x-2 , . 6 8 . ?6

0<x≤5, 5<x≤6, 6<x≤7

解析 设 y 表示本季度应缴纳的水费 ?3 x, 1 . ? 3 . ∴y=?9 x-13, ?6.5x-2 , 6 8 . ? 0<x≤5, 5<x≤6, 6<x≤7.

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