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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛D题


2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛







我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、 网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如

果引用别人的成果或其他公开 的资料(包括网上查到的资料) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处 和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛 规则的行为,我们将受到严肃处理。

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D

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2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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天然肠衣搭配问题
摘要
本文针对天然肠衣搭配问题的研究,根据公司对搭配方案的具体要求,建立起 最佳搭配模型。 首先,在理想情况下建立最优搭配方案,然而,此方案中变量太多,可操作性 较低,所以不易实现。在此基础上,我们先简化模型减少变量,用 maple 编程的方 法来确定具体要求下最优的搭配方案。先将三种不同规格的成品进行最优化求解, 将规格 2(7 至 13.5)的剩余原料与规格 1(3 至 6.5)的剩余原料进行合理搭配, 两种原料搭配后的剩余原料再与规格 3(14 至 ? )的剩余原料进行合理搭配。如果 合理搭配之后规格 3(14 至 ? )的原料还有剩余则降级成规格 2(7 至 13.5)进行 捆扎,如果最终规格 1(3 至 6.5)的原料还有剩余,则不能进行捆扎,因此该剩余 规格 1(3 至 6.5)的原料不能进行生产,从而使搭配出的成品捆数较多。按此解决 方案代入表 2 中的数据,得出该批原料搭配出的成品最优捆数为 187 捆,并在对实 际数据进行求解的过程中得出相应的搭配方案(Maple 编程得出的三种规格的搭配 方案见附录二) ,并模拟出了产生方案所需总时间大约为 22 分钟。 按题中具体要求得到的模型搭配方式太多,不适宜工人的实际操作。因此,我 们根据表一和表二的描述设计了一个原料搭配方案。 关键词:肠衣搭配、maple 编程。

1

一、问题重述
天然肠衣(以下简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首 位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料),进入组装工序。传统 的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组装 出成品(捆)。 原料按长度分档,通常以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米 按3.5米计算,其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格,长度单位为米,∞表 示没有上限,但实际长度小于26米。 表1 成品规格表 最短长度 最大长度 根数 总长度 3 6.5 20 89 7 13.5 8 89 14 ∞ 5 89 为了提高生产效率,公司计划改变组装工艺,先丈量所有原料,建立一个原料 表。表2为某批次原料描述。 表2 原料描述表 3.5-3. 4.5-4. 5.5-5. 6.5-6. 长度 3-3.4 4-4.4 5-5.4 6-6.4 9 9 9 9 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 长度 根数 43 7-7.4 24 11-11. 4 31 15-15. 4 30 19-19. 4 52 23-23. 4 0 59 7.5-7. 9 24 11.5-1 1.9 23 15.5-1 5.9 42 19.5-1 9.9 63 23.5-2 3.9 6 39 8-8.4 20 12-12. 4 22 16-16. 4 28 20-20. 4 49 24-24. 4 0 41 8.5-8. 9 25 12.5-1 2.9 59 16.5-1 6.9 42 20.5-2 0.9 35 24.5-2 4.9 0 27 9-9.4 21 13-13. 4 18 17-17. 4 45 21-21. 4 27 25-25. 4 0 28 9.5-9. 9 23 13.5-1 3.9 25 17.5-1 7.9 49 21.5-2 1.9 16 25.5-2 5.9 1 34 10-10. 4 21 14-14. 4 35 18-18. 4 50 22-22. 4 12 21 10.5-1 0.9 18 14.4-1 4.9 29 18.5-1 8.9 64 22.5-2 2.9 2

2

根据以上成品和原料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方 抓药”进行生产。 公司对搭配方案有以下具体要求: (1) 对于给定的一批原料,装出的成品捆数越多越好; (2) 对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多,方案越好; (3) 为提高原料使用率, 总长度允许有±0.5米的误差, 总根数允许比标准少1根; (4) 某种规格对应原料如果出现剩余,可以降级使用。如长度为14米的原料可 以和长度介于7-13.5米的进行捆扎,成品属于7-13.5米的规格; (5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。 请建立上述问题的数学模型,给出求解方法,并对表1、表2给出的实际数据进 行求解,给出搭配方案。

二、模型假设
1.不计丈量肠衣时的误差。 2.按照表一中三种成品规格进行生产,不考虑其它规格。 3.不考虑外界因素对产生方案时间的影响。 4.肠衣原料实际长度小于 26 米。 5.优化后的剩余量降级使用,不再考虑长度,可以加到下一种规格的任何一档。 6.原料按长度分档,以 0.5 米为一档,3-3.4 米按 3 米计算,3.5-3.9 按 3.5 米计算, 其余的以此类推。

三、符号说明
Z
N

:成品总捆数;
j

:第 j 种规格产品的捆数; :第 j 种规格成品按第 k 种搭配方式所需第 i 档原料数目;

X kij Yj

:第 j 种规格分配好以后原料剩余总根数; :产生方案所需时间; 档原料数目; 档原料长度;

T

a i :第 i b i :第 i
N cj M

jk

:第 j 种规格按第 k 种方式搭配的捆数;

:第 j 规格成品所需根数;
j

:第 j 种规格的组合方式;

3

(注释:i =1,2,3,?,46;k ? 1, ..., M j ; j =1,2,3;第 1 种规格为成品(3 至 6.5) , 第 2 种规格为成品(7 至 13.5) ,第 3 种规格为成品(14 至 ? )。 )

四、模型的建立
天然肠衣要按照指定的根数和总长度组装出成品,对于给定的一批原料来说, 组装出成品的捆数越多越好,我们将成品的捆数作为目标,得出以下整数优 化 ? ? 目
1

标函数。 天然肠衣原料长度不一,以 0.5 米为一档共被分为 46 档。为提高原料利用率, 总长度允许有 0.5 米的误差,得到第一个约束条件;第 j 种规格成品按第 k 种搭配 方式所需第 i 档原料数目为定值,则由此得到第二至第五个约束条件;第 j 种规格 成品按第 k 种方式搭配的捆数不能超过第 i 档原料数目,据此得到第七个约束条件。 目标函数:
M a xZ ?

?

3

N

j

( j ? 1, 2, 3)

j ?1

约束条件:
? 46 ? ? b i ? X kij ? 8 8 .5 或 8 9 或 8 9 .5( i ? 1, 2, 3, ..., 4 6; k ? 1, ..., M j ; j ? 1, 2, 3) ? i ?1 ? 46 ? ? X kij ? c j ( i ? 1, 2, 3, ..., 4 6; k ? 1, ..., M j ; j ? 1, 2, 3) ? i ?1 ? c1 ? 1 9 或 2 0 ? ? c2 ? 7或 8 s .t . ? c ? 4或 5 ? 3 ? X kij , M j , N jk , a i , Z , Y j , N j ? 0 且 ? N ( i ? 1, 2, 3, ..., 4 6; k ? 1, ..., M j ; j ? 1, 2, 3) ? M j ? 0 ? ? N jk X kij ? a j ( i ? 1, 2, 3, ..., 4 6; k ? 1, ..., M j ; j ? 1, 2, 3) ? i ?1 ? M j ? N j ? ? N jk ( i ? 1, 2, 3, ..., 4 6; k ? 1, ..., M j ; j ? 1, 2, 3) ? i ?1 ?

五、模型的求解
由总模型可知,变量数目相当庞大,如果用穷举法求解模型,时间将会大大超 过 30 分钟,而且将所有规格的原材料放在一起捆扎势必对工人的工作增大难度。 所以为了避免计算困难及企业工人操作上的困难,将模型分为三个优化模型,即针

4

对三种规格的肠衣分别求出最优捆扎方案,再将剩余的原料进行优化组合。由于长 度长的原料可以降级处理,长度短的却不能升级,所以先将借用规格 2 的原料来补 充规格 1 剩下的余料捆扎出最多的成品,如果不够再向规格 3 借用。类似地,如果 规格 2 借用后还有剩余就借用规格 3 的余料进行优化捆扎。如果最后只剩规格 1 的 余料,那这些余料将无法再组合,组装结束;如果最后只剩规格 2 的余料,将其全 部降级成规格 1 进行捆扎;如果最后只剩规格 3 的余料,将其全部降级成规格 2 进 行捆扎。最后再结合前面得出的 N 1 , N 2 , N 3 ,得出成品的最多捆数。 各规格优化求解后的剩余量可降级使用,如下示意图: 剩余量将规 格 1 中余量 补齐

规格 1

规格 2

剩余量将规 格 1 中余量 补齐 规格 3

剩余量将规 格 2 中余量 补齐

六、实例运算
用 maple 编程(对规格 1 编程见附录一)对天然肠衣的三种规格分别进行最优 化求解,在编程时,将最短长度最长的的成品首先进行运算,使得方案满足最短长 度最长的成品越多越好的条件。求得: 第 1 种规格: 最优化捆数 N 1 ? 14 ; 剩余原料根数 Y1 ? 12 ; Maple 运行时间为 439.5 秒; 第 2 种规格: 最优化捆数 N 2 ? 2 8 ; 剩余原料根数 Y 2 ? 1 4 5 ; Maple 运行时间为 232.8 秒; 第 3 种规格:

5

最优化捆数 N 3 ? 1 3 0 ; 剩余原料根数 Y3 ? 4 9 ; Maple 运行时间为 61.2 秒; 规格 1 剩余 12 根要补成一捆成品需在规格 2 剩余的 145 根里拿 7 根,规格 3 剩 余 49 根, 49 ? 7 ? 7 ,所以要从规格 3 里拿出 49 根补到规格 2,现在规格 2 里的总 根数为 145-7=138 根, 138 ? 19 ? 7 余 5,所以规格 2 里的剩余原料为 5 根不能进行 生产。综上所述,得到的成品数 Z ? 14 ? 28 ? 130 ? 1 ? 7 ? 7 ? 187 捆,总的运行时间 T ? 12.225 分钟。 表一为按第三种规格生产的搭配方案,表二为第二种生产的搭配方案,表三为 第三种生产的搭配方案。根据此原理搭配方案,工人可根据此方案“照方抓药”进 行生产。 (表格奇数行表示原料的根数,偶数行表示原料搭配方案)

表一

6

表二

表三

七、模型评价与改进
本论文所建立的数学模型有成熟的理论基础,操作较简单。针对条件约束中生 产方案的时间不能超过 30 分钟的问题,我们在对表一、表二中实际数据进行求解 过程中,模拟了本次产生方案的时间。Maple 运行时间为 12.225 分钟,手工输入数 据花费了 5 分钟,分配搭配方案用了 5 分钟,共计 22.225 分钟,所以在 30 分钟之 内该方案可行,符合保持天然肠衣新鲜的要求。 该模型简单易行,运行时间短,可推广到其他需要短时间内得到搭配方案的实 例中。 该模型中没有考虑降级使用的肠衣是否能被切割的问题,如果可以进行合理切 割,那么总捆数将会变大。

八、参考文献
[1]、罗荣桂, 《新编运筹学题解》 ,武汉,华中科技大学出版社,2002 年。

7

附录一
> reatrat:k1:=[43,59,39,41,27,28,34,21]:k1: for nn from 7 to 20 do #nn:=8: num:=0:nn1:=nn:nn2:=nn:nn3:=nn:nn4:=nn:nn5:=nn:nn6:=nn:nn7:=nn:nn8:= nn: k1:=[43,59,39,41,27,28,34,21]: for i from 0 to nn1 do if(k1[1]>nn) then nn1:=nn: elif(k1[1]<nn) then nn1:=k1[1]: elif(k1[1]=0) then nn1:=0: end if: for j from 0 to nn2 do if(k1[2]>nn) then nn2:=nn: elif(k1[2]<nn) then nn2:=k1[2]: elif(k1[2]=0) then nn2:=0: end if: for k from 0 to nn3 do if(k1[3]>nn) then nn3:=nn: elif(k1[3]<nn) then nn3:=k1[3]: elif(k1[3]=0) then nn3:=0: end if: for l from 0 to nn4 do if(k1[4]>nn) then nn4:=nn: elif(k1[4]<nn) then nn4:=k1[4]: elif(k1[4]=0) then nn4:=0: end if: for m from 0 to nn5 do if(k1[5]>nn) then nn5:=nn:

8

elif(k1[5]<nn) then nn5:=k1[5]: elif(k1[5]=0) then nn5:=0: end if: for n from 0 to nn6 do if(k1[6]>nn) then nn6:=nn: elif(k1[6]<nn) then nn6:=k1[6]: elif(k1[6]=0) then nn6:=0: end if: for o from 0 to nn7 do if(k1[7]>nn) then nn7:=nn: elif(k1[7]<nn) then nn7:=k1[7]: elif(k1[7]=0) then nn7:=0: end if: for p from 0 to nn8 do if(k1[8]>nn) then nn8:=nn: elif(k1[8]<nn) then nn8:=k1[8]: elif(k1[8]=0) then nn8:=0: end if: if((i+j+k+l+m+n+o+p=20) and (3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=88.5 or 3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+6*o+6.5*p=89.5) and k1[1]-i>=0 and k1[2]-j>=0 and k1[3]-k>=0 and k1[4]-l>=0 and k1[5]-m>=0 and k1[6]-n>=0 and k1[7]-o>=0 and k1[8]-p>=0) then print(i,j,k,l,m,n,o,p,i+j+k+l+m+n+o+p,3*i+3.5*j+4*k+4.5*l+5*m+5.5*n+ 6*o+6.5*p); k1[1]:=k1[1]-i: k1[2]:=k1[2]-j: k1[3]:=k1[3]-k: k1[4]:=k1[4]-l:

9

k1[5]:=k1[5]-m: k1[6]:=k1[6]-n: k1[7]:=k1[7]-o: k1[8]:=k1[8]-p: num:=num+1: end if:od:od:od:od:od:od:od:od: print(num,k1,nn): printf("/n/n"); od:

附录二
规格 1:
0 , 0 , 1 , 19 , 0 , 0 , 0 , 0 , 20 , 89.5 0 , 0 , 2 , 17 , 1 , 0 , 0 , 0 , 20 , 89.5 0 , 0 , 8 , 5 , 7 , 0 , 0 , 0 , 20 , 89.5 0 , 0 , 11 , 0 , 8 , 1 , 0 , 0 , 20 , 89.5 0 , 0 , 11 , 0 , 9 , 0 , 0 , 0 , 20 , 89. 0 , 6 , 5 , 0 , 2 , 7 , 0 , 0 , 20 , 89.5 0 , 10 , 1 , 0 , 0 , 7 , 2 , 0 , 20 , 89.5 0 , 11 , 0 , 0 , 0 , 6 , 3 , 0 , 20 , 89.5 0 , 11 , 0 , 0 , 0 , 7 , 1 , 1 , 20 , 89.5 0 , 13 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 4 , 20 , 89.5 4 , 8 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 3 , 20 , 89.5 11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 5 , 20 , 89.5 11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 4 , 20 , 89.0 11 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 6 , 3 , 20 , 88.5 14 , [ 6 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 1 ] , 19

规格 2:
0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 4 , 0 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 2 , 1 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 3 , 0 , 7 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 0 , 2 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 1 , 1 , 7 , 89.0

10

0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 2 , 0 , 7 , 88.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 5 , 0 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 2 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 4 , 0 , 2 , 7 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 3 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 3 , 0 , 2 , 7 , 88.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 3 , 7 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 3 , 7 , 88.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 3 , 0 , 3 , 7 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 4 , 0 , 2 , 7 , 88.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 3 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 4 , 2 , 1 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 4 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 5 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 5 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 5 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 4 , 1 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 8 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 0 , 1 , 0 , 2 , 0 , 0 , 8 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 1 , 0 , 3 , 0 , 0 , 8 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 8 , 88.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 8 , 89.5 28 , [ 24 , 24 , 20 , 25 , 21 , 22 , 9 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] , 5

规格 3:
0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 89.5 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 89.0 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 2 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 88.5

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