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辽宁省东北育才双语学校2013届高三第五次模拟数学(理)


答题时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:高三备课组 校对人:高三备课组 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.集合 A= x y ? A. ?2, 3?

?

- x 2 ?10 x ? 16 ,集合 B= ?y

y ? log 2 x, x ? A?,则 A ? C R B ? (
B. ?1,? 2 C. ?3, 8? D. ?3, 8?

?

)

D
2 2. 若命题 p: ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是( 2 A. ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0



2 B. ?x0 ? ?- ?,-3? ? ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 2 D. ?x0 ? ?- 3,3?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

2 C. ?x0 ? ?- ?,-3? ? ?3,?? ?, x0 ? 2 x0 ? 1 ? 0

A
3. 投掷两颗骰子,其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni ) 为纯虚数的概率为(
2



A. C

1 3

B.

1 4

C.

1 6

D.

1 12

4. 将函数 f ( x) ? cos(? ? x) (cos x ? 2sin x) ? sin x 的图象向左平移
2

? 后得到函数 g ( x) , 8

则 g ( x) 具有性质( ) A.最大值为 2 ,图象关于直线 x ? C.在 ( ?

?
2

对称

B.周期为 ? ,图象关于 ( D.在 (0,

?
4

, 0) 对称

?
2

, 0) 上单调递增,为偶函数

?
4

) 上单调递增,为奇函数

D 5. 网格纸的小正方形边长为 1,一个正三棱锥的左视图如图所示,则这个正三棱锥 的体积为( ) A. 3 B 6.等比数列 ?an ?各项为正, a3 , a5 ,-a4 成等差数列. S n 为 ?an ?的前 n 项和,则 B. 3 3 C.

9 2

D.

9 3 2

S6 = S3

( A.2 C

) B.

7 8

C.

9 8
?

D.

5 4

7. 设函数 f ( x) ? ( x ? a ) , 其中 n ? 6
n

?

2 0

cos xdx ,

f ?(0) 则 ? ?3 , f (x) 的展开式中 x 4 的 f (0)

系数为( A.-360 D

) B.360 C.-60 D.60

8. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互不 相同的种数为( A.5 B 9.若实数 x, y 满足: ? ) B.80 C.105 D.210

? 2y ? x ? 0
2 ?y ? 5 ? x

,则 x ? 2 y 的最大值是(



A.3 C

B. 2 5

C.5

D. 5 5

?(1 ? 3a) x ? 10a( x ≤ 6) + 10. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 7 若数列{an}满足 an= f (n) (n∈N )且{an}是递减 ?a ( x ? 6)
数列,则实数 a 的取值范围是( A.( B 11. 椭圆 C : ) C. (

1 ,1) 3

B. (

1 5 , ) 3 8

1 1 , ) 3 2

D.(

5 ,1) 8

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 a 2 b2


P , 使 得 ?F1F2 P 为 等 腰 三 角 形 , 则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 (
A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

D 12.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则该三棱 锥的外接球的表面积为( ) A. D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

8 ? 3

B.

4 3 ? 3

C.

4 ? 3

D.

16 ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.圆 ( x ? a ) ? y ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的渐近线相切,则 a 的值是 _______.
2 2 2 2

? 2
14.在 ?ABC 中, ?A ? 600 , M 是 AB 的中点,若 AB ? 2, BC ? 2 3 , D 在线段 AC 上 运动,则 DB ? DM 的最小值为____________.

??? ???? ? ?

23 16
15.如图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 .

3018
分析:由题意

2 4? a4 ? 4 ? cos 2 7? a7 ? 7 ? cos 2

a1 ? 1? cos

?

?1 ? 1

2? 3? ? 1 ? ?1 , a3 ? 3 ? cos ?1 ? 1 2 2 5? 6? ? 1 ? 5 , a5 ? 5 ? cos ? 1 ? 1 , a6 ? 6 ? cos ? 1 ? ?5 2 2 8? ? 1 ? 1 , a8 ? 8 ? cos ?1 ? 9 , 2


a2 ? 2 ? cos

, ,

?

a2009 ? 1 , a2012 ? 2013 ;
以上共 503 行, 输出的 S ? a1 ? a2 ? ? ? a2012

a2010 ? ?2009 ,

a2011 ? 1 ,

? 503 ? (1 ? 5 ? 9 ? ?2009) ? 503 ? (5 ? 9 ? 13 ? ? ? 2013) ? 3018 ? 503 ? 1 ? 503 ? 2013

16.下列命题中正确的是

.
2

①如果幂函数 y ? (m 2 ? 3m ? 3) x m

?m?2

的图象不过原点,则 m=1 或 m=2;

②定义域为 R 的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和; ③已知直线 a、b、c 两两异面,则与 a、b、c 同时相交的直线有无数条; ④方程

y ?3 y ?1 = 表示经过点 A(2,3)、B(-3,1)的直线; x?2 x?3

x2 y2 ⑤方程 - =1 表示的曲线不可能是椭圆; 2 ? m m ?1
①②③ 三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分) 17、 (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,q =( 2a ,1) p =( 2b ? c , cos C ) , 且q / /p. 求: (I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

?

? ?

?

? ?

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

18. (本小题满分 12 分) 某大学高等数学老师上学期分别采用了 A, B 两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进 行教改试验(两个班人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同;勤奋程度和自觉性

都一样) 。现随机抽取甲、乙两班各 20 名同学的上学期数学期末考试成绩,得到茎叶图如下: 甲 2 66321 83221 98776 9988 乙 01568 01256689 368 5799

9 8 7 6 5

(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (Ⅱ)从乙班这 20 名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于 85 分的同学,求成绩为 90 分的同学被抽中的概率; (Ⅲ)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯 错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: 乙班 合计

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

(Ⅳ)从乙班高等数学成绩不低于 85 分的同学中抽取 2 人,成绩不低于 90 分的同学得奖金 100 元,否则得奖金 50 元,记 ? 为这 2 人所得的总奖金,求 ? 的分布列和数学期望。 19 解: (Ⅰ)甲班高等数学成绩集中于 60-90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80-100 分之间,所以 乙班的平均分高 ????????????2 分 (Ⅱ) P ?
1 1 C1 C9 1 ? 2 C10 5

????????????4 分

(Ⅲ)
优秀 不优秀 合计

甲班 3 17 20

乙班 10 10 20

合计 13 27 40

????????????6 分

40 ? ? 3 ?10 ? 10 ?17 ? K ? ? 5.584 ? 5.024 , 因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可 13 ? 27 ? 20 ? 20
2 2

以认为成绩优秀与教学方式有关。

????????????8 分

1 1 C52 2 C5C5 5 C52 2 (Ⅳ) P ?? ? 100 ? ? 2 ? , P ?? ? 150 ? ? ? , P ?? ? 200 ? ? 2 ? 2 C10 9 C10 9 C10 9

所以

?
P

100 元

150 元

200 元

2 9

5 9

2 9
????????????10 分

2 5 2 E? ? 100 ? ? 150 ? ? 200 ? ? 150 (元) ????????????12 分 9 9 9
19. (本小题满分 12 分) 已知如图(1),正三角形 ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边上的点,且满足 CE ? CF ? k ,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如 CA CB 图(2). (Ⅰ) 求二面角 B-AC-D 的大小; (Ⅱ) 若异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 2 ,求 k 的值. 4 解:(Ⅰ) 过 D 点作 DG⊥AC 于 G,连结 BG, ∵ AD⊥CD, BD⊥CD, ∴ ∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. ∴ ∠ADB= 90? , 即 BD⊥AD. ∴ BD⊥平面 ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面 BGD. ∴ BG⊥AC . ∴ ∠BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角. 在 ADC 中,AD=a, DC= 3a , AC=2a,
2 ∴ DG ? AD?DC ? 3a ? 3a . AC 2a 2 在 Rt△BDG 中, tan ?BGD ? BD ? 2 3 . DG 3 ∴ ?BGD ? arctan 2 3 . 3

A

G E

D B

C F

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F .过点 P (2, 0) 的直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,
2

B( x2 , y2 ) 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M , N .
(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k2 .证明: (Ⅰ)解:依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,整理得 y ? 4my ? 8 ? 0 .
2 2

k1 为定值. k2

从而 y1 y2 ? ?8 . (Ⅱ)证明:设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) .



y3 ? y4 k1 y3 ? y4 x1 ? x2 ? ? ? 2 k2 x3 ? x4 y1 ? y2 y3 y2 ? 4 4 4

y12 y2 2 ? 4 4 ? y1 ? y2 . ? y1 ? y2 y3 ? y4

设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1 ,将其代入 y ? 4 x ,消去 x ,
2

整理得 y ? 4ny ? 4 ? 0 .
2

所以 y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . 故

k1 y1 ? y2 y ? y2 yy ? ? 1 ? 1 2. ?4 ?4 k2 y3 ? y4 ?4 ? y1 y2
k1 ? 2 ,为定值. k2

由(Ⅰ)得

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x

(Ⅰ )求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅱ 若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P ( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? ) 恒成立,求实数 a 的最小值; (Ⅲ )是否存在实数 m,使得函数 y ? g ?

1 2

? 2a ? 2 ? ? m ? 1 的图像与函数 y ? f (1 ? x ) 的图 x2 ? 1 ? ?

像恰有四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由。 解: (I) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

a 1 a x?a ? x ? 0? , F ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ? x ? 0? x x x x

F a ∵ ? 0 ,由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a, ?? ? ,∴ ? x ? 在 ? a, ?? ? 上单调递增。 F 由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? ,∴ ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 F ∴ ? x ? 的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a, ?? ? 。
(II) F ' ? x ? ?

x?a ? 0 ? x ? 3? , x2

k ? F ' ? x0 ? ?

x0 ? a 1 ? 1 2 ? ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒成立 ? a ? ? ? x0 ? x0 ? 2 x0 2 ? 2 ? max

1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 。 2 2 1 1 ∴ ? ,∴ min ? a a 2 2
当 x0 ? 1 时, ? (III)若 y ? g ?

1 2 1 ? 2a ? 2 2 ? ? m ? 1 ? x ? m ? 的图象与 y ? f ?1 ? x ? ? ln ? x ? 1? 的图 2 x ?1? 2 2 ?

象恰有四个不同得交点,即

1 2 1 x ? m ? ? ln ? x 2 ? 1? 有 四 个 不 同 的 根 , 亦 即 2 2

m ? ln ? x 2 ? 1? ?

1 2 1 x ? 有四个不同的根。 2 2 1 1 令 G ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? ? x 2 ? , 2 2
则 G '? x? ?

2x 2 x ? x 3 ? x ? x ? x ? 1?? x ? 1? ?x? ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1

当 x 变化时, G ' ? x ? 、 G ? x ? 的变化情况如下表: x

(??, ?1)


(?1, 0)


(0,1)


?1, ?? ?


G ' ? x ? 的符号
G ? x ? 的单调性

?

?

?

?

由表格知: G ( x)极小值 ? G (0) ?

1 , G ? x ?极大值 ? G ?1? ? G ? ?1? ? ln 2 ? 0 2 1 1 ?1 ? ? 可知,当 m ? ? , ln 2 ? 时, y ? G ? x ? 2 2 ?2 ?

画出草图和验证 G ? 2 ? ? G ? ?2 ? ? ln 5 ? 2 ? 与 y ? m 恰有四个不同的交点。 ∴ 当

?1 ? m ? ? , ln 2 ? ?2 ?





1 1 ? 2a ? y ? g ? 2 ? ? m ? 1 ? x2 ? m ? 2 2 ? x ?1?









y ? f ?1 ? x 2 ? ? ln ? x 2 ? 1? 的图象恰有四个不同的交点。

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. EC 1 ED 1 DC (Ⅰ)若 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
(Ⅱ)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF // CD .
2

F A

D

B

E

C

证明: (I)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF , 又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

?

EC ED DC EC 1 ED 1 ,? ? ? ? , ? , EA EB AB EB 3 EA 2

?

DC 6 . ..........5 分 ? AB 6
2

(II)? EF ? FA ? FB ,

?

EF FB , 又? ?EFA ? ?BFE , ? FA FE

? ?FAE ∽ ?FEB ,? ?FEA ? ?EBF ,
又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC , ? EF // CD . ..........10 分

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为:?

x ? 2?t y ? 3t

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? cos 2? ? 1 .
2

(1)求曲线 C 的普通方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. (1)由曲线 C : ? cos 2? ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 1,
2 2 2 2

得 ? cos 2? ? ? sin ? ) ? 1, 化成普通方程
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 ①

5分

(2)方法一:把直线参数方程化为标准参数方程

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? ( t 为参数) ② ? 3 ?y ? t ? ? 2
把②代入①得:
2 1 ? ? 3 ? ? t ? ?1 ?2? t? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2

整理,得 t 2 ? 4t ? 6 ? 0 设其两根为 t1 , t2 ,

则 t1 ? t2 ? 4, t1 ? t2 ? ?6 从而弦长为 | t1 ? t2 |?

8分

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 42 ? 4(?6) ? 40 ? 2 10. 10 分

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?

x 1 ? (e ? 2.718?) e ex

(I)若 x1 , x2 ? [1, ??), x1 ? x2 .求证:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?0; x2 ? x1


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