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人教版高中数学必修5示范教案(基本不等式 的应用(一))教案


3.4.2 基本不等式 ab ?

a?b 的应用(一)? 2

从容说课 通过本节课的学习, 让学生进一步体会基本不等式的重要性, 进一步领悟不等式证明的 基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础,所以说,本节课研究 内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中,将由基本不等式推导出许多结构简 洁的重要不等式,让学

生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的 热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养,这方 面也是贯穿学生的整个数学学习过程.? 根据本节课的教学内容,应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开应用,进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.? 利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式 ab ?

a?b .以数学知识 2

为载体,对学生的逻辑思维能力,各种思想方法的掌握,进而提高学生的数学素质与数学素 养,这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中,对一些不等式的证明不是 直接给出,而是以设问方式的变化,引导学生思考,通过由特殊到一般的探索规律去解决? 问题? . 教学重点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式 ab ? 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;? 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.? 教学难点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式 ab ? 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达;? 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.? 教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺?? 三维目标 一、知识与技能? 1.利用基本不等式证明一些简单不等式,巩固强化基本不等式 ab ?

a?b ; 2

a?b ; 2

a?b ;? 2

2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路;? 3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.?? 二、过程与方法? 1.采用探究法,按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式 ? 教学;? 2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用;? 3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴 趣.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思 考,通过设置思考项,让学生探究,层层铺设,使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨
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的数学学习习惯和良好的思维习惯;? 2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、 积极的学习品质,从而提高学习质量;? 3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同 时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘,数学的简洁美,数学推理的严谨美,从而激发学 生的学习兴趣.?? 教学过程 导入新课 师 前一节课,我们通过问题背景,抽象出了不等式 a2+b2≥2ab(a、b∈ R),然后以数形结合 思想为指导,从代数、几何两个背景推导出基本不等式 ab ? 基本不等式 ab ?

a?b .本节课,我们将利用 2

a?b 来尝试证明一些简单的不等式.? 2

(此时,老师用投影仪给出下列问题)?? 推进新课? 问题 1.已知 x、y 都是正数,求证:? (1)

y x ? ? 2 ;? x y

(2)(x+y) 2+y2) 3+y3)≥8x3y3.? (x (x 师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式,请同学们思考一下,第 一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢?? (思考两分钟)? 生 不可以证明.? 师 是否可以用基本不等式证明呢?? 生 可以.? (让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评)? 解:∵ x、y 都是正数,∴ >0 , >0 .∴ ?

x y

y x

x y

x y y x y ?2 ? ? 2 ,即 ? ? 2 .? y x x y x

师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗?? (齐声:完成)? [合作探究]? 师 请同学继续思考第二小问该如何证明?它是否能用一次基本不等式就能证明呢?? (引导同学们积极思考)? 生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.? 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.? 生 ∵ x,y 都是正数,∴ 2>0,y2 >0,x3 >0,y3 >0.∴ x x+y≥2

xy >0,x2+y2≥2x2y2>0,

2 2 2 2 x3+y3≥2x3y3>0.∴ 可得(x+y) 2+y2) 3+y3)≥2xy· x y · x y =8x3y3,即(x (x (x 2 2

+y) 2+y 2) 3+y3)≥8x 3y3. ? (x (x
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师 这位同学表达得非常好,思维即严谨又周到.? (在表达过程中,对条件 x,y 都是正数往往忽视)? 师 在运用定理:

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数,往往可以激发我们想到解题思 2

路,再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形,进而可以得证.? (此时,老师用投影仪给出下列问题)? 问题 3.求证: (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? .? 2 2

(此处留的时间可以长一些, 意在激发学生自主探究问题, 把探究的思维空间切实留给学生) 2 2 师 利用完全平方公式,结合重要不等式:a +b ≥2ab,恰当变形,是证明本题的关键. ? (让学生板演,老师根据学生的完成情况作点评)? 解:∵ 2+b2≥2ab,∴ a 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴ 2(a 2+b2)≥(a+b)2.? 不等式两边同除以 4,得

a2 ? b2 a ? b 2 a ? b 2 a2 ? b2 ) ,即 ( ) ? ≥( .? 2 2 2 2

师 下面同学都是用这种思路解答的吗?? 生 也可由结论到条件去证明,即用作差法.? 师 这位同学答得非常好,思维很活跃,具体的过程让同学们课后去完成.? [课堂练习]? 1.已知 a、b、c 都是正数,求证: (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.? 分析:对于此类题目,选择定理: ∵ a、b、c 都是正数,? ∴ a+b≥2 ab >0,b+c≥2 bc >0,c+a≥2 ac >0.? ∴ (a+b) (b+c) (c+a)≥2 ab · bc · ac =8abc,? 2 2 即(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc.? [合作探究]? 2.已知(a+b) (x+y)>2(ay+bx) ,求证: (老师先分析,再让学生完成)? 师 本题结论中,注意

a?b ? ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 2

x ? y a ?b ? ? 2 .? a ?b x ? y

x ? y a ?b 与 互为倒数,它们的积为 1,可利用公式 a+b≥2ab? ,但 a ?b x ? y x ? y a ?b 与 为正数 a ?b x ? y

要注意条件 a、b 为正数.故此题应从已知条件出发,经过变形,说明 开始证题.? (在教师引导下,学生积极参与下列证题过程)?

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生 ∵ (a+b) (x+y)>2(ay+bx),? ∴ ax+ay+bx+by>2ay+2bx.? ∴ ax-ay+by-bx>0.? ∴ (ax-bx)-(ay-by)>0.? ∴ (a-b) (x-y)>0,? 即 a-b 与 x-y 同号.? ∴

x ? y a ?b 均为正数.? 与 a ?b x ? y
x? y a?b x ? y a ?b x ? y a ?b 时取“=”).? ? 与 ?2 ? ? 2 (当且仅当 a?b x? y a ?b x ? y a ?b x ? y x? y a?b ? ? 2 .? a?b x? y





师生共析 我们在运用重要不等式 a 2+b2≥2ab 时, 只要求 a、 为实数就可以了.而运用定理: b “

a?b ≥ab”时,必须使 a、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解),从 2

讨论因式乘积的符号来判断

x ? y a ?b 与 是正还是负,是我们今后解题中常用的方法.?? a ?b x ? y

课堂小结 师 本节课我们研究了什么问题?同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢?? 生 我们以基本不等式为基础,证明了另外一些重要、常用的不等式,并且在证明过程中进 一步巩固了证明不等式常用的思想方法.(教师提出对重要、常用不等式的掌握要求)? 师 本节课我们用到重要不等式 a 2+b 2≥2ab;两正数 a、b 的算术平均数( 均数(ab)及它们的关系 (

a?b ) ,几何平 2

a?b ? ab ) 证明了一些不等式,它们成立的条件不同,前者只 2

要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求 函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来 解决问题: ab ?

a?b 2 a2 ? b2 ) .? , ab ? ( 2 2

师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等 式的实际应用打下坚实的基础.?? 布置作业 课本第 116 页,? B? 组第 1 题.?? 板书设计 基本不等式 ab ?

a?b 的应用(一)? 2

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复习引入 基本不等式

例1 例2 方法引导 实例剖析(知识方法应用) 示范解题 备课资料

方法归纳

ab ?

a?b 2

小结

备用习题? 1.已知 a、b∈ +,求证:a3+b3≥a2b+ab2.? R 证明:∵ a、b∈ +,? R 3 3 2 (a +b )-(a b+ab2)? =a2(a-b)-b2(a-b)? =(a-b)(a2-b2)? =(a+b)(a-b)2≥0,? ∴ 3+b3≥a2b+ab2.? a 2.已知 A+B+C=π,求证:x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.? 分析:“取差问号”的比较法,关键在于取差(左式-右式)后,怎么判断符号.这里可把差式 看作关于 x(关于 y 或关于 z 也可以)的二次三项式.? 证明:左式-右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA? =x2-2(ycosC-zcosB)x+y2+z2-2yzcosA? =[x-(ycosC+zcosB)]2+y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2.? 又 y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2? =y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosBcosC? =y2sin2C+z2sin2B-2yz(cosA+cosBcosC),由于 A+B+C=π,? 故 cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.? ∴左 式 - 右 式 = [ x-(ycosC+zcosB) ] 2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC= [ x-(ycosC+zcosB) ] 2 +(ysinC-zsinB)2≥0.? ∴ 左式≥右式.? 点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正,证明它的判别式 Δ≤0 来进行. 3.4.3 基本不等式 ab ?

a?b 的应用(二)? 2

从容说课 在本节课的教学过程中, 仍应强调不等式的现实背景和实际应用, 真正地把不等式作为 刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决,让学生去体会基本不等式所具 有的广泛的实用价值,同时,也让学生去感受数学的应用价值,从而激发学生去热爱数学、 研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中,既要求 学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题,又会涉及与函数、方程、三角等 许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说,本节课的研究是起到了对学生以前所 学知识与方法的复习、应用,进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼 是数学教学的一项长期而艰苦的任务,这一点,在本节课是真正得到了体现和落实.? 根据本节课的教学内容,应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究, 对基本不等式展开实际应用,进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
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教学重点 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.? 2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;? 3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.? 教学难点 1.让学生探究用基本不等式解决实际问题;? 2.基本不等式应用时等号成立条件的考查;? 3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.? 教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺?? 三维目标 一、知识与技能? 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题;? 2.让学生探究用基本不等式解决实际问题;? 3.通过富有现实意义的实际问题的解决,去培养学生对数学这门学科的热爱.?? 二、过程与方法? 1.采用探究法,按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行 启发式教学;? 2.教师提供问题、素材,并及时点拨,发挥老师的主导作用和学生的主体作用;? 3.设计较典型的具有挑战性的问题,激发学生去积极思考,从而培养他们的数学学习兴 趣.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过具体问题的解决,让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等 量关系并需要从理性的角度去思考,鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象,使学生感 受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;? 2.学习过程中,通过对问题的探究思考,广泛参与,培养学生严谨的思维习惯,主动、 积极的学习品质,从而提高学习质量;? 3.通过对富有挑战性问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同 时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘,数学的简洁美,数学推理的严谨美,从而激发学 生的学习兴趣.?? 教学过程 导入新课 师 前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用, 我们 进一步领悟到基本不等式成立的条件是 a>0、b>0.在应用的过程中,我们对基本不等式

ab ?

a?b 的结构特征已是充分认识,并能够灵活把握.本节课,我们将对基本不等式展 2

开一些在求有关函数值域、最值的应用,更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.?? 推进新课 师 已知

a?b ? ab ,若 ab 为常数 k,那么 a+b 的值如何变化?? 2

生 当且仅当 a=b 时,a+b 就有最小值为 2k.? 师 若 a+b 为常数 s,那么 ab 的值如何变化?? 生 当且仅当 a=b 时,ab 就有最大值

1 1 s (或 ab 有最大值 s 2 ).? 2 4

师 同学们回答得非常好,对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知,解决有关最值问
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题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.? (此时,老师用投影仪给出本节课的第一组问题)? 最值练习:解答下列各题:?

3 (x>0)的最小值.? x 1 (2)求函数 y=x2+ 4 (x>0)的最小值.? x 3 (3)求函数 y=3x2-2x3(0<x< )的最大值.? 2
(1)求函数 y=2x2+ (4)求函数 y=x(1-x2) (0<x<1)的最大值.? (5)设 a>0,b>0,且 a2+

b2 =1,求 a 1 ? b 2 的最大值.? 2

[合作探究]? 师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数 最值的含义,我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数,则当等号能够取到时,这个常 数即为另一端的一个最值. ? (留五分钟的时间让学生思考,合作交流,此处留的时间可以更长一些,意在激发学生 自主探究问题,把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流)? (根据学生完成的典型情况, 找五位学生到黑板板演, 然后老师根据学生到黑板板演的 完成情况再一次作点评)? 解:(1)∵ x>0,∴ 2>0, 2x

3 3 3 3 >0.∴ y=2x2+ =2x 2+ ? ? 3 ?3 x x 2x 2x

9 .? 2

当且仅当 2x 2=

3 3 3 9 ,即 x ? 3 时等号成立.故当 x ? 3 时,y 有最小值 3? 3 .? 2x 4 4 2

x2 1 1 x2 x2 1 1 3 ? 4 ,即 x=±6 2 时,等号成立. (2) y ? x ? 4 ? ,当且仅当 ? ? 4 ?3 2 x 2 2 x 4 x
2

故当 x=±6 2 时,y 有最小值 33

1 .? 4

(3)∵ 0<x<

3 ,∴ 3-2x>0.? 2 x ? x ? 3 ? 2x 3 ) =1.当且仅当 x=3-2x,即 x=1 时, 3 1 1 2 3 4 · 2(1-x2) 2x (1-x2)≤ ( )= .当 2 2 3 27

∴ y=x2(3-2x)=x· (3-2x)≤( x· 等号成立.?

(4)∵ 0<x<1,∴ 1-x2>0.∴ 2=x 2(1-x 2)2= y

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且仅当 2x2=1-x 2,即 x ?

4 3 3 时,等号成立.∴ x ? 当 时,y 2 有最大值 . 27 3 3

由题意可知 y>0,故当 x ?

3 2 3 时,y 有最大值 .? 3 9

(5)∵ a>0,b>0,且 a 2+

b2 1 b2 2 2 1 b2 3 2 =1,∴a 1 ? b 2 ? 2a (a + + )= , ? ? 2 2 2 4 2 2 2

3 2 1 b2 当且仅当 a ? ,b ? 时取“=”.? ? ,即 a ? 2 2 2 2
故当 a ?

3 2 3 2 ,b ? 时,a1+b2 有最大值 .? 2 2 4

(学生对等号成立的条件往往没有详细说明)? [合作探究]? 师 若不考虑等号成立的条件,最值是否一定取到呢?? 生 不一定.应当考虑等号成立的条件.? 师 用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考察下 列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项的和 或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值,即用均值 不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.若不满足这些条件,则不 能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对,请说明理由;若不对,请改正.? (此时,老师用投影仪给出本节课的第二组问题)? (1)∵ y=x+

1 ≥2,∴ 的最小值为 2.? y x

生 解答是错误的,原因是,当 x<0 时,就不能运用公式.事实上,当 x<0 时,y<0,故最 小值不可能为 2.此时,函数的值域为(-∞,-2]∪ [2,+∞).? 师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点,让大家都能清楚.? (此时,这位同学的学习热情很浓,探究问题的兴趣很强)? 生 当 x<0 时,y=x+

1 1 =-(-x- )≤-2.? x x

师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.? (2)∵ y=3x2+

1 1 =2x2+x 2+ 4 ? 33 2 ,∴ 的最小值为 33 2 .? y 4 x x

生 解答是错误的,其错误的原因是忽视等号成立条件的研究,事实上等号成立的条件为 2x
2

=x2=

1 ,显然这样的 x 不存在,故 y 没有最小值.? x4

师 很好.?

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(3)∵ y=x(1-x+x 2)≤[

x ? (1 ? x ? x 2 ) 2 1? x2 2 ] =( ) ,当且仅当 x=1-x+x2,即 x 2 2

=1 时? 等号成立.∴ x=1 时,y 有最大值为 1.? 当 生 解答是错误的,此种解法的错误在于

1? x2 1? x2 不是定值.显然当 x 越大时, 也越大, 2 2

故 y 无最大值.? 师 很好.在求最值时,对定量与变量要理解清楚.? 师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.? (此时,老师用投影仪给出本节课第三组问题)? [课堂练习]? (让学生独立思考, 根据学生完成的典型情况, 找两位学生到黑板板演, 以便起到示范功能, 同时教师再一次作点评)? 1.用篱笆围一个面积为 100 m2 的矩形菜园, 问这个矩形的长、 宽各为多少时, 所用篱笆最短, 最短的篱笆是多少?? 解: 设矩形菜园的长、 宽分别为 x m、 m, xy=100, y 则 篱笆的长为 2(x+y) m.由

x? y ? xy , 2

可得 x+y≥2 100 ,等号当且仅当 x=y 时成立,此时 x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为 10 m 时,所用篱笆最短,最短的篱笆是40 m.? 2.一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少?? 解:设矩形菜园的长、宽分别为 x m、y m.则 2(x+y)=36,x+y=18,矩形菜园的面积为 xym2. 由 xy ?

x ? y 18 ? ?9, 可得 xy≤81.等号当且仅当 x=y=10 时成立.因此这个矩形菜园的长、 2 2

宽各都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积是81m2.? (学生完成情况很好,要注意对答的要求)? 师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好,这说明同学们对所学过的知识、方法能 够在不同的问题中灵活运用,解决问题的能力很强.由于时间关系,用函数解决这两个问题 的方法我们就不交流了,让同学们课后去完成.? [例题精析]?

【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4 800 m3,深为 3 m.如果池底每 平方米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低?最 低总造价是多少?? 分析:水池呈长方体形,池底长、宽没有确定. 设池底长、宽分别为 x m、y m.水池总造价为 z 元.?

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根据题意有 z=150×

4800 +120(2× 3x+2× 3y)? 3

=240 000+720(x+y).? 由容积为 4 800 m3,可得 xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当 x=y=40 时成立.所以将水池的底 面设计为长为40 m 的正方形时水池总造价最低,最低总造价是297 600元.?? 课堂小结 师 通过本节课的学习,同学们感受到基本不等式的作用了吗?? 生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值,更重要的是可以解决与最值有关的实际 问题.? 师 那么,大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢?? (学生齐声:太值得了,太有用了)? 师 数学这门学科,它是来源于生活,又作用于生活.也是一门基础科学,同学们应当感受到 数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务,同学们还应当掌握解决实际 应用题的一般程序,即审题,建模,研究模,再回到实际问题验证作答.?? 布置作业 课本第 114 页,习题 3.4,A组第 2、4题. 板书设计 基本不等式 ab ? 复习引入 基本不等式 课堂练习 例 方法引导 实例剖析(知识方法应用)? 示范解题

a?b 的应用(二)? 2
?? 方法归纳

ab ?

a?b 2

小结?

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