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必修5第一章解三角形章末检测检测题


必修 5 第一章解三角形章末检测检测题 (附答案新人教 A 版必修 5) (时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中,a=2,b=3,c=1,则最小角为( A.π /12 C.π /4 B.π /6 D.π /3 )

2.△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,设向量 p=(a+c,b),q= (b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( A.π /6 C.π /2 B.π /3 D.2π /3 )

3.在△ABC 中,已知| |=4,|AC→|=1,S△ABC=3,则 AB→? AC→等于( A.-2 C.±4 ) B .2 D.±2

4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c=2,b= 6,B=120°,则 a 等于( A.6 B.2 C.3 ) D.2

5.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 sin Bsin C 的值 为( )
1

A.85

B.58

C.53

D.35

6.已知锐角三角形的边长分别为 2,4,x,则 x 的取值范围是 ( ) B.5<x<13 D.23<x<25 )

A.1<x<5 C.1<x<25

7.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 等于( A.-223 C.-63 8.下列判断中正确的是( B.223 D.63 )

A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 9. 在△ABC 中, B=30°, AB=3, AC=1, 则△ABC 的面积是( A.34 C.3 或 32 B.32 D.32 或 34 )

10.在△ABC 中,BC=2,B=π 3,若△ABC 的面积为 32,则 tan C 为( A.3 ) B.1 C.33 D.32

11.在△ABC 中,如果 sin Asin B+sin Acos B+cos Asin B +cos Acos B=2,则△ABC 是( A.等边三角形
2

) B.钝角三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

12.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C 的度数是 ( ) B.45°或 135° D.30°

A.60° C.120° 题 答

号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 案

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ABC 中,若 sin Aa=cos Bb,则 B=________. 14.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 ________. 15.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏 西 75°距塔 64 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向 的 N 处,则这只船的航行速度为________海里/小时. 16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若(3b- c)cos A=acos C,则 cos A=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)如图,H、G、B 三点在同一条直线上,在 G、H 两点 用测角仪器测得 A 的仰角分别为α ,β ,CD=a,测角仪器的高 是 h,用 a,h,α ,β 表示建筑物高度 AB.

3

18.(12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小. (2)若 a=33,c=5,求 b.

19.(12 分)如图所示,已知⊙O 的半径是 1,点 C 在直径 AB 的
4

延长线上,BC=1,点 P 是⊙O 上半圆上的一个动点,以 PC 为边 作等边三角形 PCD,且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧.

(1)若∠POB=θ ,试将四边形 OPDC 的面积 y 表示为关于θ 的函 数; (2)求四边形 OPDC 面积的最大值.

20.(12 分)为了测量两山顶 M、N 间的距离,飞机沿水平方向在 A、 B 两点进行测量, A、 B、 M、 N 在同一个铅垂平面内(如示意图). 飞 机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案, 包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);② 用文字和公式写出计算 M、N 间的距离的步骤.

5

21.(12 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、 c.已知 c=2,C=π 3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b. (2)若 sin B=2sin A,求△ABC 的面积.

6

22.(12 分) 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径 为 2, 在弧 AB 上有一动点 P, 过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于 点 C,设∠AOP=θ ,求△POC 面积的最大值及此时θ 的值.

7

第一章 1.B

解三角形

章末检测 答案 (B)

[∵a>b>c,∴C 最小.

∵cos C=a2+b2-c22ab=22+?3?2-122×2×3=32, 又∵0<C<π ,∴C=π 6.] 2.B [∵p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0.

∴c2=a2+b2-ab,∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴cos C=12,又∵0<C<π ,∴C=π 3.] ∴| |?|AC→|?sin A =12×4×1×sin A=3. ∴sin A=32.又∵0°<A<180°, ∴A=60°或 120°. ?AC→=|AB→|?|AC→|cos A =4×1×cos A=±2.] 4.D [由正弦定理得 bsin B=csin C,

∴sin C=c?sin Bb=2sin 120°6=12, ∵c<b,∴C 为锐角. ∴C=30°,∴A=180°-120°-30°=30°. ∴a=c=2.] 5.D [由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cos A,

即 72=52+AC2-10AC?cos 120°, ∴AC=3.由正弦定理得 sin Bsin C=ACAB=35.] 6.D [由题意,x 应满足条件 22+42-x2>022+x2-42>0
8

解得:23<x<25.] 7.D [由正弦定理得 15sin 60°=10sin B.

∴sin B=10?sin 60°15=33. ∵a>b,A=60°,∴B<60°. ∴cos B=1-sin2B=1-?33?2=63.] 8.B [A:a=bsin A,有一解;

B:A>90°,a>b,有一解; C:a<bsin A,无解; D:c>b>csin B,有两解.] 9.D [由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos B,

∴12=(3)2+BC2-2×3×BC×32. 整理得:BC2-3BC+2=0. ∴BC=1 或 2. 当 BC=1 时,S△ABC=12AB?BCsin B=12×3×1×12=34. 当 BC=2 时,S△ABC=12AB?BCsin B=12×3×2×12=32.] 10.C 得 AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos B, ∴AC=3,∴△ABC 为直角三角形, 其中 A 为直角, ∴tan C=ABAC=33.] 11.C [由已知,得 cos(A-B)+sin(A+B)=2,
9

[由 S△ABC=12BC?BAsin B=32 得 BA=1,由余弦定理

又|cos(A-B)|≤1,|sin(A+B)|≤1, 故 cos(A-B)=1 且 sin(A+B)=1, 即 A=B 且 A+B=90°,故选 C.] 12.B [由 a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2,

得 cos2C=?a2+b2-c2?2?2ab?2 =a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2-2b2c24a2b2=12 ?cos C=±22.∴角 C 为 45°或 135°.] 13.45° 解析 由正弦定理,sin Aa=sin Bb.

∴sin Bb=cos Bb.∴sin B=cos B. ∴B=45°. 14.103 解析 设 AC=x,则由余弦定理得:

BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos A, ∴49=25+x2-5x,∴x2-5x-24=0. ∴x=8 或 x=-3(舍去). ∴S△ABC=12×5×8×sin 60°=103. 15.86 解析 如图所示,

在△PMN 中,PMsin 45°=MNsin 120°, ∴MN=64×32=326,
10

∴v=MN4=86(海里/小时). 16.33 解析 由(3b-c)cos A=acos C,得(3b-c)?b2+c2-a22bc=

a?a2+b2-c22ab, 即 b2+c2-a22bc=33, 由余弦定理得 cos A=33. 17.解 在△ACD 中,∠DAC=α -β ,

由正弦定理,得 ACsin β =DCsin?α -β ?, ∴AC=asin β sin?α -β ? ∴AB=AE+EB=ACsin α +h=asin β sin α sin?α -β ?+ h. 18.解 (1)∵a=2bsin A,∴sin A=2sin B?sin A,

∴sin B=12.∵0<B<π 2,∴B=30°. (2)∵a=33,c=5,B=30°. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B =(33)2+52-2×33×5×cos 30°=7. ∴b=7. 19.解 (1)在△POC 中,由余弦定理,

得 PC2=OP2+OC2-2OP?OC?cos θ =5-4cos θ , 所以 y=S△OPC+S△PCD =12×1×2sin θ +34×(5-4cos θ )
11

=2sinθ -π 3+534. (2)当θ -π 3=π 2,即θ =5π 6 时,ymax=2+534. 答 四边形 OPDC 面积的最大值为 2+534. ①需要测量的数据有:A 点到 M、N 点的俯角α 1、β

20.解

1;B 点到 M、N 点的俯角α 2、β 2;A、B 的距离 d(如图所示).

②第一步: 计算 AM, 由正弦定理 AM=dsin α 2sin?α 1+α 2?; 第二步:计算 AN.由正弦定理 AN=dsin β 2sin?β 2-β 1?; 第三步:计算 MN,由余弦定理 MN=AM2+AN2-2AM×ANcos?α 1-β 1?. 21.解 (1)由余弦定理及已知条件得

a2+b2-ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 3, 所以 12absin C=3,由此得 ab=4. 联立方程组 a2+b2-ab=4,ab=4,解得 a=2,b=2. (2)由正弦定理及已知条件得 b=2a. 联立方程组 a2+b2-ab=4,b=2a,解得 a=233,b=433. 所以△ABC 的面积 S=12absin C=233. 22.解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ ,

∠OCP=120°. 在△POC 中,由正弦定理得 OPsin∠PCO=CPsin θ , ∴2sin 120°=CPsin θ ,∴CP=43sin θ .
12

又 OCsin?60°-θ ?=2sin 120°,∴OC=43sin(60°-θ ). 因此△POC 的面积为 S(θ )=12CP?OCsin 120° =12?43sin θ ?43sin(60°-θ )×32 =43sin θ sin(60°-θ ) =43sin θ 32cos θ -12sin θ =2sin θ ?cos θ -23sin2θ =sin 2θ +33cos 2θ -33 =233sin2θ +π 6-33 ∴θ =π 6 时,S(θ )取得最大值为 33.

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