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复合函数单调区间的求法


复合函数单调区间的求法
浙江省诸暨市学勉中学(311811) 郭天平 一、复合函数单调性的判断: 设 y ? f ( x ) , ? g ( x ) , ? [ a , b ] , ? [ m , n ] 都是单调函数, y ? f ? g ? x ?? 在 [ a , b ] 则 u x u 上也是单调函数. ①若 y ? f ( x ) 是 [ m , n ] 上的

增函数,则 y ? f ? g ? x ?? 与定义在 [ a , b ] 上的函数 u ? g ( x ) 的 单调性相同. ②若 y ? f ( x ) 是 [ m , n ] 上的减函数,则 y ? f ? g ? x ?? 与定义在 [ a , b ] 上的函数 u ? g ( x ) 的 单调性相反. 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时,则复合函数为增函数;当内外 层函数的单调性相反时,则复合函数为减函数.简而言之“同为增,异为减” . 二、复合函数单调区间的求解步骤: ①求复合函数的定义域; ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数; ③分别判定常见的基本函数在定义域范围内的单调性; ④由复合函数的增减性判断方法,写出复合函数的单调区间.

例 1.求函数 y ?
2

1 x
2

的单调区间.

解:由 x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 0 , 令t ? x (t ? 0 ) ,则 y ?
2 2

1 t

, ? y ?

1 t

在 ( 0 , ?? ) 上为减函数.
1 x
2

而 t ? x 在 ( ?? , 0 ) 上为减函数, ( 0 , ?? ) 上是增函数; “同增异减” 在 由 可得, 函数 y ? 在 ( ?? , 0 ) 上为增函数,在 ( 0 , ?? ) 上为减函数. 例 2.求函数 y ?
x ? 4 x ? 3 的单调区间.
2

解:由 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 ,? 函数的定义域是 ( ? ? , 1] ? [ 3 , ? ? ) .

1

令 u ? x ? 4 x ? 3 ,则 y ? u
2

2

,? y ? u 在 ?0 , ?? ? 是增函数,而 u 在 ? ? ? ,1? 上
2

1

是减函数,在 ?3 , ?? ? 上是增函数;由“同增异减”得,函数的增区间是 [ 3, ? ? ) , 函 数的减区间是 ? ? ? ,1? .
例 3.若函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数,试判断 y ? f ?2 x ? x 解:原函数的定义域为 R 令 u ? 2 x ? x ,则 y ? f ?u ? ,? 函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上是减函数,而 u ? 2 x ? x 在
2 2

2

? 的单调区间.

? ? ? ,1? 上是增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数,? y 在 ? ? ? ,1? 上为减函数,在 ?1, ?? ? 上为增
函数,即原函数的单调减区间为 ? ? ? ,1? ,单调增区间为 ?1, ?? ? . 评注:复合函数求单调区间是一个难点,我们应明确单调区间必须是定义域的子集, 当求单调区间时, 必须先求出原复合函数的定义域, 再根据基本函数的单调性与 “同为增, 异为减” 的原则判断复合函数的单调区间, 在函数学习中应树立 “定义域优先” 的原则. 另 外,对初学者来说,做这类题目时,一定要按要求做,不要跳步.


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