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3.4(3)切线性质


1、切线的判定方法
①直线与圆有唯一公共点; ②圆心到直线的距离(d)等于该圆的半径(r); ③经过半径的外端并垂直于这条半径的直 线是圆的切线。

2、切线证明常用辅助线 (1)确定公共点的: 连半径,证垂直,得切线。

(2)不确定公共点的:作垂直,证半径。 (d) (d=r)

如图,如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那 么半径OA与直线l具有怎样的位置关系? 一定垂直

.O
l A

切线的性质定理:

圆的切线垂直于过切点的半径

如果AT是 ⊙O 的切线,A 为切点,那么AT⊥OA.
你能说明理由吗? 反证法:假设AT与OA不垂直 则过点O作OM⊥AT,垂足为M

O

根据垂线段最短,得OM<OA
即圆心O到直线AT的距离d<R A M T

∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾

∴假设不成立,即AT⊥OA

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。

几何语言叙述:
∵ l是⊙O的切线,切点为A ∴ l ⊥OA

直线l切⊙O与A

O
A l

辅助线:连结过切点的半径。遇切点,连半径,得垂直

练一练
1、已知:如图:AB是⊙O的弦,AC切⊙于点A,且 ∠BAC=54°,求∠OBA的度数。 2、如图AB切⊙O于C,AO交⊙O于D,AD的延长线交⊙O于E ,若∠A=40°,则弧EC的度数 3、如图7—57,AB为⊙O的直径,PC为⊙O的切线,C为 切点,若∠BPC=30°,则∠BCP=( )。

练一练
7、如图,点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B,AC上⊙O 的切线,切点是C,∠A=30°,BC=1,则⊙O的半径. 为 。 C 8、如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长 线上的一点,PC切⊙O于点C,若PB=2, B AB=6,则PC= 。 O 9、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2, 则⊙O的半径为 。 B C
A P O B

A

O

A

P

练一练
10.PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,C是 ⊙O上一点(不与点A 、B 重合),若∠APB=40°, A 求∠ACB的度数.

P

C

O

C

B

∠ACB=70° ,或 ∠ACB=110°

如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O,OE⊥AC于E,以O为圆

心,OE为半径作⊙O.
求证:AB是⊙O的切线.

变式:如图,△ABC为等腰三角形, AO⊥BC于O,⊙O与腰AB相切于点F。 求证:AC与⊙O也相切。

A F E

B

O

C

变式:如图,△ABC为等腰三角形,O是底边的中点,

⊙O与腰AB相切于点D。 求证:AC与⊙O也相切。

A
F B O

E
C

D

C
3

例1 如图,AB为⊙O 的直径, C为⊙O上一 点,AD和过C点的切线 互相垂直,垂足为D.
求证:AC平分∠DAB.

2

1

A

O

B

D

例2. 如图,AB为⊙O 的直径, ,AD是和 ⊙O相切于点A的切线, A ⊙O的弦BC平行于OD. 求证:DC是⊙O的切线

C
3 4

2
1 O B

例5. 点O是∠DPC的 角平分线上的一点,⊙O 与PD相切于A,
P

D A O B

求证:PC与⊙O相切.
证明一条直线是圆的切线时:

E

C

直线与圆“无”交点时,过圆心作直线的垂 线,证明垂线段的长等于半径.

露一手
1.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC 是⊙O的切线,AB交过C点的直径于 点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状 ,并说明你的理由.

(2010山东聊城)如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90? ,以直角 边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连结BD.取BC的中点E, 连结ED。求证:DE是⊙O的切线

2、如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且 DE⊥AC。 (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的半径。

C D
E

A

O O

B

课堂小结
? 1.掌握切线性质定理及两个推论,注意每 个定理中均有过切点、过圆心和垂直于 切线三要素 。
切线性质 ①、切线和圆有且只有一个公共点

②、切线和圆心的距离等于半径
③、圆的切线垂直于经过切点的半径 ④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

2.能运用切线性质定理进行计算与证明。 3.掌握常见的关于切线辅助线作法

练一练
10. 如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C, 连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则AB= .


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