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湖北省孝感高级中学2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


湖北省孝感高级中学 2013—2014 学年度高中一年级上学期期末考试 数
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD 则( A. ABCD 为矩形 C. ABCD 是正方形
2





B. ABCD 是菱形 D. ABCD 是平行四边

形 )

2.函数 f ( x) ? ax ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4) 上为减函数,则 a 的取值范围为( A. 0 ? a ?

1 5

B. 0 ? a ?

1 5

C. 0 ? a ?

1 5
)

D. a ?

1 5

3.集合 A ? { x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} ,则 A (C R B ) ? ( A. { x | x ? 1} B. { x | x ? 1} 4.若向量 a ? ?1,1? , b ? ?1, ?1? , c ? ? ?1, 2? ,则 c 等于( A.

C. {x |1 ? x ? 2}

D. {x |1 ? x ? 2}

?

) D. ?

1 ? 3 ? a? b 2 2

B. ?

1 ? 3 ? a+ b 2 2

C.

3 ? 1 ? a? b 2 2

3 ? 1 ? a+ b 2 2
)

5.设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 A. 5 6.函数 y ?
x

a ?b = (
D. 10

B. 2 5

C. 10 ) C. (?1, ??)

1 的值域是( 2 ?1

A. (??,1)

B. (??, ?1) ? (0, ??)

D. (??,0) ? (0, ??)

7.已知函数 f ? x ? ? A sin ?

?? ?? ?? x ? ? ? ? A ? 0, 0 ? ? ? ? 的 2? ?6 ??

部分图象如图所示,P, Q 分别为该图象的最高点和最低点, 点 P 的 坐标 为

? 2, A?

,点 R 坐 标 为

? 2 , ?0 . 若

?PRQ ?

? 6 ? C. 2 3 , 6
A. 3 ,

2? ,则函数 y ? f ? x ? 的最大值及 ? 的值分别是 3

? 3 ? D. 2 3 , 3
B. 3 ,

8.若 sin(180 ? ?) ? cos(90 ? ?) ? m ,则 cos(270 ? ?) ? 2sin(360 ? ?) 的值为(



-1-

1 A. ? m 2

3 B. ? m 2

1 C. m 2

3 D. m 2

9.△ABC 中,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 为△ABC 的( A.外心 B.内心 C.垂心



D.重心

10.已知函数 y ? loga (? x2 ? log2 a x) 对任意 x ? (0, ) 时都有意义,则实数 a 的范围是( )

1 2

1 1 ?a? 32 2 1 ? a ?1 C. 2
A.

B. 0 ? a ? 1 D. a ? 1

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分;共 25 分。)
2 ? A ,则实数 a=________. 11.已知集合 A ? x | x ? 1 , B ? x ax ? 1 ,若 B 

?

?

?

?

12.已知扇形 AOB 的周长是 6,中心角是 1 弧度,则该扇形的面积为________. 13.若函数 f ? x ? 满足 2 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 2 x ,则 f (?1) ? ;

14.在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴,y 轴平行的单位向量,若直角三角形 ABC 中,

AB ? i ? j, AC ? 2i ? m j ,则实数 m=________________.
15. ①若锐角 ?、? 满足 cos ? ? sin ? , 则? ? ? ?

?
2



② f ( x ) 是 定 义 在 ??1,1? 上 的 偶 函 数 , 且 在 ? ?1,0? 上 是 增 函 数 , 若 ? ? (

? ?

, ) ,则 4 2

f (si n ? ) ? f (cos ? ; )
③要得到函数 y ? cos( ?

x ? x ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向左平移 个单位; 2 4 2 2

④函数 f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 的零点只有 1 个且属于区间 ?1, 2 ? ;
2 ⑤若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a ? ? 0,1? ;

其中正确的序号为________.

三、解答题 16.(本小题满分 12 分)
2 已知集合 A ? x x ? ax ? b ? x ? ?a? .

?

?

(1)求集合 A ; (2)若幂函数 y ? f ? x ? 的图像经过点 ? a, b ? ,求不等式 f ? x ? ? x 的解集.

-2-

17.(本小题满分 12 分) 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120 ,求 (1) a ? b ; (2) a 与 a ? b 的夹角.

1

8

.













1

2





? x ? ? ), (A ? 0,? ? 0,? ? 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(
内 的 图 象 时 , 列 表 并 填 入 的 部 分 数 据

?
2

)在某一个周期
下 表 :



x
?x ??
0 0

2? 3

? 2
2

?
0

5? 3 3? 2
?2

2?

A sin ?? x ? ? ?

( 1 ) 请 将 上 表 数 据 补 全 , 并 直 接 写 出 函 数 f ? x? 的 解 析 式 ; (2) 将函数 f ? x ? 图像上各点的纵坐标不变, 横坐标缩短到原来的 的图像,求函数 y ? g ? x ? 的单调减区间.

1 , 得到函数 y ? g ? x ? 2

19.(本小题满分 12 分) 某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系用如图所示的两 条直线段表示: 又该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如下表所示: 第t天 Q/件 5 35 15 25 20 20 30 10

(1)根据题设条件,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函 数关系式;并确定日销售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式; (2) ,试问 30 天中第几天日销售金额最大?最大金额为多少元?
-3-

(日销售金额=每件的销售价格×日销售量).

20.(本小题满分 13 分) 如图,以坐标原点 O 为圆心的单位圆与 x 轴正半轴相交于 点 A ,点 B, P 在单位圆上,且 B(? (1)求

5 2 5 , ), ?AOB ? ? . 5 5

4 cos ? ? 3sin ? 的值; 5 cos ? ? 3sin ? ? 2 (2) 设 ?AOP ? ? ( ? ? ? ? ), OQ ? OA ? OP , 四边 6 3
形 OAQP 的面积为 S , f (? ) ? (OA ? OQ ?1)2 ? 2S ?1 ,求

f (? ) 的最值及此时 ? 的值.

21.(本小题满分 14 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:①对任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 ;②当
x ? 0 时, f ( x) ? ?1 .

(1)试判断函数 f ( x) ? 1 的奇偶性; (2)试判断函数 f ( x) 的单调性; (3)若不等式 f (a 2 ? a ? 5) ?
3 ? 0 的解集为 ?a ?3 ? a ? 2? ,求 f (4) 的值. 2

数学参考答案 一、选择题 1—5 DBDAC 二、填空题 11. 0 或 ?1 6—10 BCDCA
4 3

12. 2

13.

14. -2 或 0

15. ①③④

三、解答题 16.解: (1)依题方程 x ? ax ? b ? x 有两个相等的实根
2

即方程 x ? (a ? 1) x ? b ? 0 有两个相等的实根
2

????????????2 分

-4-

?? ? ? a ? 1?2 ? 4b ? 0 1 1 ? ∴? 得 a ? ,b ? 3 9 ? ? 2a ? 1 ? a
∴集合 A ? ?a? ? ? ?

?1 ? ?3? ?1 1? ?3 9?

????????????6 分

(2)设幂函数 f ? x ? ? xt ,则其图象经过点 ? , ?

1 ?1? ∴ ? ? ? ,得 t ? 2 9 ?3?
∴ f ? x? ? x
2

t

????????????9 分
2

不等式 f ? x ? ? x 即 x ? x ,得 x ? 0或x ? 1 ∴不等式 f ? x ? ? x 的解集为 x x ? 0或x ? 1 17.解: ( 1

????????????11 分

?

?

????????????12 分

) ?????????6

a?b ?


?a ? b?

2

? a ? 2a?b ? b ? 2 3

2

2

(2)设 a 与 a ? b 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

a ? ( a ? b) | a || a ? b |

?

3 , 2

?????????10 分

又 0? ? ? ? 180 ? ,所以 ? ? 30 ? , a 与 a ? b 的夹角为

30? 。
18.解: (1)

?????????12 分

x
?x ??

? 6
0 0

2? 3

? 2
2

7? 6

?
0

5? 3 3? 2
?2

13? 6
2?

A sin ?? x ? ? ?

0

函数 f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? 2sin ? x ? (2)函数 g ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ???????????????6 分 6?
??????????????8 分
-5-

? ?

??
? 6?

令 2 k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
3

? x ? k? ?

5? ,k ?Z 6

3? ,k ?Z 2

∴函数 g ? x ? 的单调减区间是 ? k? ? 19.解:

? ?

?
3

, k? ?

5? ? , k ? Z ??????????12 分 6 ? ?

(1)根据图象,每件商品的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式为:

?t ? 20,0 ? t ? 25, P?? (t ? N ? ) ??t ? 100,25 ? t ? 30.
Q ? 40 ? t (0 ? t ? 30, t ? N?)

??????????3 分

??????????6 分

(2) ??????????8 分

??????????10 分

??? ??12 分 20 解: (

1







2 5 tan ? ? 5 ? ?2 5 ? 5

??????????2 分

4cos ? ? 3sin ? 4 ? 3tan ? 4 ? 3 ? ? ?2 ? ? ? ? ?10 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 3 ? ? ?2 ?
??6 分 (2)由已知点 P 的坐标为 P ? cos? ,sin ? ? 又 形

????????

OQ ? OA ? OP



OA ? OP











OAQP





?????????? 7 分 ∴ S ? 2S?OAP ? sin ? ????????

??8 分 ∵ A?1,0? , P ? cos? ,sin ? ? ,∴ OQ ? ?1 ? cos ? ,sin ? ?
-6-

∴ OA ? OQ ? 1 ? cos? ∴ f ?? ? ? ?1 ? cos ? ? 1? ? 2 sin ? ? 1
2

? cos2 ? ? 2 sin ? ?1 ? ? sin 2 ? ? 2 sin ?
1 ? sin ? ? 1 2 2 ? 1 ?当sin ? ? ,即? ? 时, f (? ) max ? 2 4 2
当sin ? ? 1,即? ?

??????????10 分

?
2

时, f (? ) min ? 2 ? 1

??????????13 分

21.解: (1)令 y ? ? x, f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ?1, 即f ( ? x) ?1 ? ?[ f ( x) ?1] 令 x ? y ? 0得f (0) ? ?1
? f ( x) ? 1 是奇函数

??????????4 分

(2)任取 x1 , x2 ? (??, ??)且x1 ? x2 , 则f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )
? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1= ? [ f ( x1 ? x2 ) ? 1] x1 ? x2 ? 0, 则f ( x1 ? x2 ) ? ?1,

? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

即:f ( x2 ) ? f ( x1 ),

? f ( x)在(??, ??) 上单调递减

??????????9 分

3 (3) f (a 2 ? a ? 5) ? ? ? f (m) 2

由(2)知: a 2 ? a ? 5 ? m 的解集为 ( ?3, 2)
? m ? 1,即f (1) ? ? 3 2 ? f (2) ? ?2, f (4) ? ?3

??????????14 分

-7-


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