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第2讲 空间图形的基本关系与公理


第2讲
一、选择题

空间图形的基本关系与公理

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公 共点”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( ).

若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直

线是异面直线,则两条直线必无公共点. 答案 A 2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是 A.平行 C.相交 解析 B.异面 D.平行、异面或相交 ( ).

经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等

角的情况出现,故选 D. 答案 D 3.平面 α、β 的公共点多于两个,则 ①α、β 垂直; ②α、β 至少有三个公共点; ③α、β 至少有一条公共直线; ④α、β 至多有一条公共直线; 以上四个判断中不成立的个数为 n,则 n 等于( A.0 C.2 解析 )

B.1[来源:学,科,网 Z,X,X,K] D.3 由条件知当平面 α、β 的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则

α、β 相交;若公共点不共线,则 α、β 重合.故①不一定成立;②成立;③ 成立;④不成立. 答案 C

4.正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,F 分别是 AA1,CC1 的中点,P 是 CC1 上的动

点(包括端点),过点 E、D、P 作正方体的截面,若截面为四边形,则 P 的轨 迹是( ) B.线段 CF D.线段 C1F 和一点 C[来源:Z§xx§k.Com]

A.线段 C1F C.线段 CF 和一点 C1 解析:如图, DE∥平面 BB1C1C,

∴ 平面 DEP 与平面 BB1C1C 的交线 PM∥ED,连结 EM, 易证 MP=ED, ∴MP 綊 ED,则 M 到达 B1 时仍可构成四边形,即 P 到 F.而 P 在 C1F 之间, 不满足要求.P 到点 C1 仍可构成四边形. 答案:C 5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶点,则在原来 的正方体中 A.AB∥CD B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与 CD 所成的角为 60° 解析 如图, 把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、 后、左、右、上、下面还原,得到图(b)所示的直观图,可见选项 A、B、C 不 正确.∴正确选项为 D.图(b)中,DE∥AB,∠CDE 为 AB 与 CD 所成的角, △CDE 为等边三角形,∴∠CDE=60° . ( ).

答案 D 6.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共 面的一个图是( )

解析:在 A 图中分别连接 P S,QR, 易证 PS∥QR,∴P,Q,R,S 共面; 在 C 图中分别连接 PQ,RS, 易证 PQ∥RS,∴P,Q,R,S 共面. 如图,在 B 图中过 P,Q,R,S 可作 一正六边形,故四点共面; D 图中 PS 与 QR 为异面直线,∴四点不共面,故选 D. 答案:D 二、填空题 7.已知 a,b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a,b 在 α 上的射影有可 能是: ①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其 外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 解析 只有当 a∥b 时,a,b 在 α 上的射影才可能是同一条直线,故③错,其 余都有可能. 答案 ①②④ 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上). 解析 直线 AM 与 CC1 是异面直线, 直线 AM 与 BN 也是异面直线, 故①②错 误.

答案 ③④ 9.如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别 是棱 AB,BC,CD,DA 的中点,则 当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 为 菱形,当 AC,BD 满足条件________________时, 四边形 EFGH 是正方形. 1 解析 易知 EH∥BD∥FG,且 EH=2BD=FG,同理 EF∥AC∥HG,且 EF 1 =2AC=HG,显然四边形 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱 形需满足 EF=EH,即 AC=BD;要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EF=EH 且 EF⊥EH,即 AC=BD 且 AC⊥BD. 答案 AC=BD AC=BD 且 AC⊥BD 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间 中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. 解析 法一 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与

M 确定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交 点 N,当 M 取不同的位置就确定不同的平面,从而 与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面 直线都有交点.如图所示. 法二 在 A1D1 上任取一点 P, 过点 P 与直线 EF 作一个平面 α, 因 CD 与平面 α 不平行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相 交,即 PQ 为所求直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1, EF,CD 都相交. 答案 无数 三、解答题 11. 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯 1 1 形, ∠BAD=∠FAB=90° , BC 綉2AD, BE 綉2FA, G、H 分别为 FA、FD 的中点.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? (1)证明 1 由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綉2AD.

1 又 BC 綉2AD,∴GH 綉 BC,∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解 1 由 BE 綉2AF,G 为 FA 中点知,BE 綉 FG,

∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綉 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C,D,F,E 四点共面. 12.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一 点 P(如图所示, 其中 P 点不在对角线 B1D1)上. (1)过 P 点在空间作一直线 l,使 l∥直线 BD, 应该如何作图?并说明理由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与 π? ? 直线 BD 成 α 角,其中 α∈?0,2?,这样的直线有几条,应该如何作图? ? ? 解 (1)连接 B1D1,BD,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l,使 l∥B1D1,则 l 即为 所求作的直线,如图(a). ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD.

图(a) (2)∵BD∥B1D1,∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角,即直线 m 为所求作的直线, π? ? 如图(b).由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈?0,2?. ? ? π π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条,当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.

图(b) 13. 如图, 在四面体 ABCD 中作截面 PQR, 若 PQ、 CB 的延长线交于 M, RQ、 DB 的延长线交于 N, RP、DC 的延长线交于 K,求证:M、N、K 三 点共线. 证明 ∵M∈PQ,直线 PQ?平面 PQR,M∈ BC,直线 BC?面 BCD,∴M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点,即 M 在面 PQR 与面 BCD 的交线 l 上. 同理可证:N、K 也在 l 上.∴M、N、K 三点共线. 14.在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60° ,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60° . (1)求四棱锥的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角 的余弦值. 解 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PO⊥面 ABCD, ∴∠PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角, 即∠PBO=60° ,在 Rt△POB 中, ∵BO=AB· sin 30° =1, 又 PO⊥OB,∴PO=BO· tan 60° = 3, ∵底面菱形的面积 S 菱形 ABCD=2 3. 1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD=3×2 3× 3=2. (2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF, ∵E 为 PB 中点,∴EF∥PA,

∴∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角).在 Rt△AOB 中, AO=AB· cos 30° = 3=OP, 6 ∴在 Rt△POA 中,PA= 6,∴EF= 2 . 在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中,DF=DE= 3, ? 6? 6 ? 3?2+? ?2-? 3?2 4 DE +EF -DF ?2? 2 ∴cos∠DEF= = = = . 2DE· EF 6 3 2 4 2× 3× 2
2 2 2

2 即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 4 .


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