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天津市2013届最新高三数学精选分类汇编3 三角函数 文


最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 .( 天 津 市 河 西 区

2013

届 高 三 总 复 习 质 量 检 测 ( 一 ) 数 学 文 ) 函 数

? ?? ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ?

的部分图象如图示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 6 2? ?
个单位后,得到的图象解析式为 A. y ? sin 2 x B. y ? cos 2 x C. y ? sin(2 x ? ( )

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

2 . (2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一))在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, 2 2 b,c,若 a =b +bc,sinC=2sinB,则 tanA 的值为 ( ) A. 3 B.

3 3

C

3 . 2

D.

1 3

3 . (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题)已知 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 满足条件 f ( x ? ) ? f ( x ) ? 0 ,则 ? 的值为 A. 2? B. ? C.

1 2





? 2

D.

? 4

4 . (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题(2) ) 、函数 y ? cos( 区间是

?
4

? x) 的单调递增
( )

3? ? ,2k? ? ], k ? Z 4 4 ? 5? ], k ? Z C. [2k? ? ,2k? ? 4 4
A. [2k? ?

5? ? ,2k? ? ], k ? ? 4 4 ? 3? ], k ? Z D. [2k? ? ,2k? ? 4 4
B. [ 2k? ?

5 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学)若 f ( x ) ? a sin x ? b (a,b 为常数)的最大值 是 3,最小值是-5,则 A. 、-4

a 的值为 b
C. 、?





B. 、4 或-4

1 4

D. 、

1 4

6 . (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学(文)试题)在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1, 则最短边的边长是 ( ) A. 6 3 B. 6 2 1 C. 2 D. 3 2

7 . (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学(文)试题)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是
1

周 期 函 数 。 若 f ( x ) 的 最 小 正 周 期 是 ? , 且 当 x ? [0 ,

?
2

] 时 , f ( x) ? sinx , 则 f (

5? ) 的值为 3


( A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
1 的图像与函数 x ?1
( )

8 . (天津市大港区第一中学 2013 届高三第二次月考数学(文)试题)函数 y ?

y ? 2sin ? x(?1 ? x ? 3) 的图像所有交点的横坐标之和等于
A.2 B.4 C.6 D. 8

9 . ( 天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 ( 文 ) 试 题 ( 解 析 版 ) ) 函 数

y ? 2 sin(
A . [ 0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

? ] 3

? 7? B. [ , ] 12 12

? 5? C.[ , ] 3 6

D.[

5? , ?] 6

10. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学文试题)若把函数 y ? sin ? x 图象向左平移 函数 y ? cos ? x 的图象重合,则 ? 的值可能是 A.

?
3

个单位,则与 ( )

1 3

B.

3 2

C.

2 3

D.

1 2

11. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(文)试题)将函数 y=cos(x图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移 数图像对应的解析式是 A. y ? cos(

? 个单位,则所得函 3
( )

5? )的 6

x ? ? ? ) B. y ? cos(2 x ? ) C. y ? sin 2 x 2 4 6

D. y ? cos(

x 2? ? ) 2 3
1

12. (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考 (一) 数学 (文) 试题) 已知函数 f ( x) ? x 2( x ? 0), 若对于任意 ? ? (0, ),都有

?

2

1 f (tan ? ) ? f ( ) ? 4 cos ? (0 ? ? ? 2? )成立,则 ? tan ?
( )

的取值范围是 A. ?

? ? 5? ? , ? ?3 3 ?

B. ?

? ? 11? ? , 6 ? ?6 ?

C. ? 0,

? ?

??
3? ?

? 5? ? ? ?? ? 3 , 2? ? D. ? 0, 6 ? ? ? ? ?

? 11? ? ? 6 , 2? ? ? ?

13 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)在 ?ABC 中 , 若

cos A b 4 ? ? ,则 cos B a 3
( )

?ABC 是
A.等腰或直角三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.钝角三角

14. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)为得到函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) 的图像,只
2

需将函数 y ? sin 2 x 的图像





5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

15. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学文试题)将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图像关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A. ( )

7π 6

B.

π 2

C.

π 6

D.

π 3

16. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学) 函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最 大值分别为 A. ?3,1 B. ?2, 2 ( )

3 C. ?3, 2

3 D. ?2, 2

17. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学) 已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R , 则 f ( x) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 ( )

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B.最小正周期为

18. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)要得到函数 y ? 函数 y ?

2 cos x 的图象,只需将
( )

2 sin( 2 x ?

?
4

) 的图象上所有的点

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 2 4
A.横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 4 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 个单位长度 8
C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动

19. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)函数 y ? ln cos x ? ?

π? ? π ? x ? ? 的图象是 2? ? 2

3

20 .( 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 文 科 数 学 ) ?ABC 中 , 若

? lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 且 B ? (0, ) ,则 ?ABC 的形状是 2
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形





21. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)将函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的图 像向右平移 A.

1 3

? 3? ,0 ),则 ? 的最小值是 个单位长度,所得图像经过点( 4 4 5 B.1 C. D. 2 3
cos2a sin(a ? ) 4





22. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)若

?

?

1 ,则 sin 2a 的值 2
( )

为 A. ?

7 8

B.

7 8

C. ?

4 7

D.

4 7

23. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考文科数学) 若角 600 ? 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的 值是 A. 4 3 B. ? 4 3 C. ? 4 3 D. 3 ( )

24. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考文科数学) 下图是函数 y ? Asin??x ? ? ??x ? R ? 在区 间 ??

? ? 5? ? 上的图象,为了得到这个函数的图象,只要将 y ? sin x?x ? R ? 的图象上所有的点 , ? 6 6 ? ?

( A.向左平移



? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3
4

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 1 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
B.向左平移 二、填空题 25. (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查文科数学)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c,若 bcosC+ccosB= 3 acosB,则 cosB 的值为 26 .( 天 津 市 天 津 八 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 曲 线

? ? 1 y ? 2s i x n? ( )c o x s? ( )和 直 线 y ? 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1, P2, P3, …, 4 4 2
则|P2P4|= 27. (天津市大港区第一中学 2013 届高三第二次月考数学 (文) 试题) 在 ?ABC 中, 若 AB ? 3, BC ? 3 ,

?B ?

?? ,则 AC ? ____. 6

28. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题)求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在 区间 ?

?? ? ? 上的最大值______. , ?4 2? ?
3 ? 3? ? , ? ? ,sin( ? ? ? )=- , 5 ? 4 ?

29. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知 ? , ? ? ?

sin ? ? ?

? ?

? ? 12

?? ? ? ? , 则 cos ?? ? ? =________. 4 ? 13 4? ?

30 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 文 科 数 学 ) 在 △ABC 中 , 若

tan A ?

1 , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB ? ___. 3

31 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角

A,B,C 的对边 , 向量 m ? ( 3 sin A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C , , ? 1) , n ? (cos A,
则角 B ? __________. 32 . ( 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 文 科 数 学 ) 已 知 tan ? ? ?

1 ,则 3

sin 2? ? cos2 ? ? _____________________. 1 ? cos 2?
33 . ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 若 sin ? ?

2 ,则 3
5

cos(? ? 2? ) =_________.
34. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分 别为 a、b、c,且 a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 ,则 sin B =_____________. 4

35 .( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,则函数解析式为_____________.

36 . ( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 文 科 数 学 ) 设 sin(

?
4

??) ?

sin 2? ? ______________________.

1 ,则 3

?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c . 37. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)
若 a2 ? b2 ? 3bc, sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? ________________ 三、解答题 38. (天津市河西区 2013 届高三总复习质量检测(一)数学文)已知函数 f ( x) = sin x+cos(x(I)求 f ( x) 的最大值; ( II)设 ?ABC 中,角 A、B 的对边分别为 a,b,若 B=2A 且 b ? 2af ( A ?

?
6

), x ? R

?
6

) ,求角 C 的大小.

39 .( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 天 津 市 南 开 区 模 拟 考 试 ( 一 ) ) 已 知 函 数

f ( x ) ? sin( 2 x ?
(I)求 f (

?
6

) ? cos( 2 x?

?
3

) ? cos 2 2x.

?
12

) 的值;

(Ⅱ)求 f(x)的最大值及相应 x 的值.

6

40. (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学 (文) 试题) 在△ABC 中,AB ? AC ? ? 求: (1)AB 边的长度; (2)求

1 AB ? BC ? 1 . 3

sin( A ? B ) 的值。 3sin C

41. (天津市渤海石油第一中学 2013 届高三模拟数学(文)试题(2) ) (本小题满分 13 分)已知 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角,a,b,c 为其对应边,向量 m ? (?1, 3), n ? (cos A, sin A),且m ? n ? 1. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 AB ? (2,1),

cos B b ? , 求?ABC 的面积 S . cos C c

42 .( 天 津 市 和 平 区

2013

届 高 三 第 一 次 质 量 调 查 文 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x ) ? 2 sin( x ?

5? 5? 5? )cos( x ? )? 2 cos2 ( x? )? 1 。 24 24 24

(I)求 f(x)的最小正周期; (II)求函数 f(x)的单调递增区间。

43. (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学(文)试题)已知 tan( (1) 求 tan ? 的值; (2)求

?
4

??) ?

1 2

sin 2? ? cos2 ? 的值。 1 ? cos 2?

44. (天津市天津八中 2013 届高三第三次月考数学 (文) 试题) 已知函数 f(x)=sin ω x+ 3sinω xsin(ω x π + )(ω >0)的最小正周期 为 π . 2 (1)求 ω 的值; 2π (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. 3

2

45. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学 (文) 试题(解析版))?ABC 中角 A, B, C 所

对的边之长依次为 a , b, c ,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos 2C 和角 B 的值;

2 5 , 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab. 5

(Ⅱ)若 a ? c ? 2 ? 1, 求 ?ABC 的面积.
7

46. (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学文试题) ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (2)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 AB 、 CD 的长.

4 . 5

47 . ( 天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 ( 一 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值.

A 2

48. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学文试题) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为

3 a , b , c . 已知 2 cos(A ? B ) ? cos 2 C ? ? , c ? 39 , 且 a ? b ? 9 .(Ⅰ)求角 C 的大小 ;(Ⅱ)求△ ABC 的 2 面积.
49 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 文 试 题 ) 在 ?ABC 中,

1 cos 2 A ? cos 2 A ? cos A . 2

(1)求角 A 的大小;_ (2)若 a ? 3 , sin B ? 2sin C ,求 S?ABC .

50 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知 a, b, c 为 △ ABC 的三个内角

A,B,C 的对边,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ?
的最大值.

1 A?C ac. (I)求 sin 2 ? cos 2 B 的值;(Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积 2 2

51 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 文 科 数 学 ) 已 知 函 数
8

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

?

?

?

, ] 上的值域 12 2

? ?

52 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)已知 a, b, c 为 △ ABC 的三个内角 ? B A,B,C 的对边,向量 m ? (2sinB,2 ? cos2B) , n ? (2sin 2 ( ? ), ? 1) , m ⊥ n .

4

2

(I)求角 B 的大小;(Ⅱ)若 a ? 3 , b ? 1 ,求 c 的值.

53 .( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 文 科 数 学 ) 设 函 数

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R , 其 中 t ≤1 , 将 f ( x) 的 最 小 值 记 为 2 2

g (t ) .(I)求 g (t ) 的表达式;(II)讨论 g (t ) 在区间 (?11) , 内的单调性并求极值.

9

天津一中 2012—2013 高三年级一月 54 .( 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 文 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

? 1 1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )( 0 ? ? ? ? ) ,其图象过点 ( , ) ; 6 2 2 2 2
1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象, 2

(1)求 ? 的值; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 求函数 g ( x) 在 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值. ? 4? ?

55 .( 天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 寒 假 复 习 质 量 反 馈 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; f ( x) ? cos 2
(Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

56. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(文)试题)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 c ? 3a sin C ? c cos A (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b,c. 57. (天津市新华中学 2013 届高三上学期第一次月考文科数学)设函数 f(x)=cos(2x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期.
10

?
3

)+sin x.

2

(2)若 x ? ?

? ? 7? ? , ? ,求函数 f(x)的值域 ?12 12 ?
1 3

(3)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= , f ( ) ? ?

c 2

1 ,且 C 为锐角,求 sinA. 4
x x + 3 cos , 2 2

58. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考文科数学试题)已知函数 y = sin 求:(1)函数 y 的最大值,最小值及最小正周期; (2)函数 y 的单调递减区间.

11

最新 2013 届天津高三数学文科试题精选分类汇编 3:三角函数参考答案 一、选择题 1. D 2. A 3. A 4. A 5. B 6. A 7. D 8. B 9.

? ? ? 3? ? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) , 由 ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , 得 6 6 2 6 2 ? 5? ? 5? ] ,选 C. ? k? ? x ? ? k? ,因为 x ? [0, ? ] ,所以当 k ? 0 时,得函数的增区间为 [ , 3 6 3 6
【 答 案 】 C y ? 2sin( B D A 【答案】C 解:由

?

10. 11. 12. 13.

cos A b 4 cos A sin B ? ? 和正弦定理可得 ? , 即 sin A cos A ? sin B cos B , 所 以 cos B a 3 cos B sin A ? ? b 4 s i nA 2? s i Bn 2 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B , 即 A ? B 或 A ? B ? , 即 C ? . 又 ? , 所以 , 所以 2 2 a 3 a ? b ,即 A ? B ,所以 ?ABC 是直角三角形,选 C.
: 因 为

14. 【答案】A 解

y?s

x?

?
2

? x ?

x? i

?
2

n

2 ,

? 5? ? 5? ? y ? cos(2 x ? ) ? cos(2 x ? ? ) ? cos[2( x ? ) ? ] ,所以只需将函数 y ? sin 2 x 的图像向左 3 6 2 12 2 5π ? 平移 个长度单位,即可得到 y ? cos(2 x ? ) 的图象,选 A. 12 3
15. 【答案】C 解 : y ? sin x ? 3 cos x ? 2( sin x ?

1 2

3 ? cos x) ? 2sin( x ? ) . 将函数 y ? sin x ? 2 3

3 cosx 的图像

沿 x 轴 向 右 平 移 a 个 单 位 得 到 函 数 y ? 2sin( x ? a ?

?
3

) ,要使函数关于 y 轴对称,则有

?a ?

?

3 2 5? ? a?? ?? ? 6 6

?

?

? k? , k ? Z , 即 a ? ?
,选 C.

5? ? k ? , k ? Z , 所 以 当 k ? ?1 时 , a 的 最 小 值 为 6

16. 【答案】C 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2(sin x ? sin x) ?1
2 2

1 3 1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? ,因为 ?1 ? sin x ? 1 ,所以当 sin x ? 时,函数有最大值 ,当 sin x ? ?1 时,函 2 2 2 2
12

数有最小值 ?3 ,选 C. 17. 【答案】D 【解析】 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ?
2 2 2

周期 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 D. 4 2 2 sin( 2 x ?
, 然

1 2 1 sin 2 x ? (1 ? cos 4 x) ,所以函数为偶函数, 2 4

18. 【答案】C 【解析】将函数 y ?

?
4

) 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到
向 左 平 移

y ? 2 sin( x ? y ? 2 sin( x ?
19. 【答案】A

?

?

4

)



? )= 2 sin( x ? )= 2 cos x ,选 C. 4 4 2

?

?

? 4















【解析】 函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排除 B,D.又 0 ? cos x ? 1 ,所以 y ? ln cos x ? 0 ,排除 C,选 A. 20. 【答案】C 【 解 析 】 由 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 , 得 lg

a 2 ? lg sin B ? lg c 2

, 所 以 得

? 2 a a 2 2 , 所 以 B? . 所 以 c ? 2a , 所 以 c o B s? ? , 即 ? ? sin B,sin B ? 4 2 c c 2 2
a ? c cos B,sin A ? sin C cos B , 所 以 s i nB (? C ? )
sin B co Cs ?
形,选 C. 21. D 22. B 23. 【答案】B
0 0 0 【解析】因为 600 ? 360 ? 240 为第三象限,所以 a ? 0 , tan 600 ? tan 240 ? tan 60 ?
0 0

sB in

c C o ?s

B cosC ?s i n B c,oC s 以s i n 所

cB os C s ?i n 0 B ? C ) ? 0 ,所以 C ? B ? ,即 sin(

?
4

,A?

?
2

,即三角形为等腰直角三角

a ? 3, ?4

所以 a ? ?4 3 ,选 B. 24. 【答案】A 【 解 析 】 由 图 象 知 A ?1 , T ?

y ? sin(2 x ? ? ) ,当 x ?

?
3

时, 2 ?

?
3

5? ? 2? ? (? ) ? ? , 又 T ? ?? ,所以 ? ?2 ,所以函数为 6 6 ? ? ? ? ? ,解得 ? ?

?

所以要得到函数 y ? sin(2 x ? 短到原来的 二、填空题

?
3

3

,所以函数为 y ? sin(2 x ?

?

) ,则只要 y ? sin x 先向左平移

? 单位,然后再把所得各点的横坐标缩 3

3

)

1 倍,纵坐标不变,选 A. 2
13

25. 26. 27.

3 3

?
21
3 2
2

28. 【答案】

解: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 2 6 2

因为

?

4 1 3 1? ? . 2 2

?x?

?
2

,所以

?

? ? 5? ? ? ? 2 x ? ?, ? 2 x ? ? , 所 以 当 2x ? ? 时,函数取得最大值为 2 3 6 6 6 2

29. 【答案】 ?

56 65

【解析】因为 ? , ? ? ?

4 ? 3? ? ? 3? ? , ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 2? ? ,所以 cos(? ? ? ) ? 0 ,即 cos(? ? ? ) ? .又 5 ? 4 ? ? 2 ?
, 所 以

?
2

???

?

cos(? ? ) ? cos[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? cos(? ? ? ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 5 3 12 56 ? ? (? ) ? (? ) ? ? ? . 5 13 5 13 65

?

4

?

3? 4

c

? ? o? s ? (
4

,

) 即

?

?

? 5 cos( 0 ?? )?? 4 13

.



?

30. 【答案】

10 2
1 BC AB 1 AB 10 ? ? , 得 sin A ? , 根据正弦定理得 ,即 , 解得 3 sin A sinC sin A sin1500 10

【解析】由 tan A ?

AB ?

10 . 2

31. 【答案】

? 6

【解析】因为 m ? n ,所以 3 cos A ? sin A ? 0 ,即 3 cos A ? sin A ,所以 tan A ? 3 ,所以 A ?

?
3

.

又 a cos B ? b cos A ? c sin C , 所 以 根 据 正 弦 定 理 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 即

n? sin( A ? B) ? sin C sin C , 所 以 s i C

sCi n C s即 i n sin C ? 1 , 所 以 C ? ,

?
2

, 所 以
14

B ?? ?

?
2

?
5 6

?
3

?

?
6

.

32. 【答案】 ?

sin 2? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? ? 【解析】 1 ? cos 2? 1 ? 2cos 2 ? ? 1 2cos 2 ?
? tan ? ?
33. ?

1 1 1 5 ?? ? ?? . 2 3 2 6

1 9

34.

15 4

35. y ? sin( 2 x ? 36. 【答案】 ?

?
6

)

7 9 sin(

?
4

??) ?

【解析】 由

2 1 2 2 1 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ? 3 ,得 2 9, 3 ,平方得 3 ,即

sin 2? ? ?
所以

7 9.

37. 【答案】

? 6
2 2 2

2 2 【 解 析 】 由 sin C ? 2 3 sin B 得 c ? 2 3b , 代 入 a ? b ? 3bc 得 a ? b ? 6b , 所 以

a 2 ? 7b2 , a ? 7b ,所以 cos A ?
三、解答题

? b2 ? c 2 ? a 2 3 ? ,所以 A ? . 6 2bc 2

38.

15

39.

40. 41.解:(Ⅰ)? m ? n ? 1 ,? 3 sin A ? cos A ? 1 ,? sin( A ?

?
6

)?

? 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?

5 ? ? ? ? ? ,? A ? ? . ? A ? . 6 6 6 6 3

1 2

16

(Ⅱ)?

cos B b cos B sin B ? , ? 由正弦定理,得 ? , ? cos B sin C ? sin B cosC ? 0, cos C c cos C sin C

即 sin(B ? C ) ? 0 .

? B 、C 为 ?ABC 的内角,? B ? C .
又A?

? ? , ? B ? C ? . ? ?ABC 为正三角形. 3 3
4 ? 1 ? 5, ? S ?
3 5 2 AB ? 3. 4 4

又 AB ? 42.

43.

17

44. 45. ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a , b, c ,且 cos A ? (I)求 cos 2C 和角 B 的值; (II)若 a ? c ? 2 ? 1, 求 ?ABC 的面积. 【D】16.解:(I)由 cos A ?

2 5 ,5(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 3 10ab 5

1 2 , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 5 3 , 10

由 5(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 10ab 得? cos C ?

0 ? C ? ? ,? sin C ?

1 4 ,? cos 2C ? 2 cos 2 C ? 1 ? , 10 5

∴ cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin Asin C ?

2 3 1 1 2 ? ? ? ? 2 5 10 5 10
18

∴ cos B ? ? cos ? A ? C ? ? ? ∴ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 135? (II)应用正弦定理

2 , 2

a c ? ,得 a ? 2c , sin A sin C

由条件 a ? c ? 2 ? 1, 得 a ?

2, c ? 1

S?

1 1 2 1 ac sin B ? ? 2 ?1? ? 2 2 2 2
4 3 ,所以 B 锐角? sin B ? 5 5

46. (1)∵三角形中, cos B ?

所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? (2) 三角形 ABC 中,由正弦定理得 又 D 为 AB 中点,所以 BD=7

7 2 10

AB BC , ? sin C sin A

? AB ? 14 ,

在三角形 BCD 中,由余弦定理得 CD 2 ? BC 2 ? BD 2 ? 2 BC ? BD ? cos B ? 37

? CD ? 37
47.解:(Ⅰ) f (x) ?

3 sin 2x ? cos 2x

? 2 sin(2 x ?

?
6

)

T ?

2?

?

? ?

由 2k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

得, k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z ).,

故 f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ?

? ?

?
6

,k ? ?

??
3? ?

(k ?Z )

(Ⅱ) f ( ) ? 2 ,则 2sin( A ?

A 2

?
6

) ? 2 ? sin( A ?

?
6

)?1

? A?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ?

2? ? 2k? , k ? Z 3

19

又 0 ? A ? ? ,? A ?

2? 3

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7

?a ? 7
3 48.解:(Ⅰ)由已知得 ?2cos C ? 2cos2 C ? 1 ? ? , 2
所以 4cos2 C ? 4cos C ? 1 ? 0 ,解得 cos C ?

1 ,所以 C ? 60? 2
①,

(Ⅱ)由余弦定理得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,即 39 ? a 2 ? b2 ? ab 又 a ? b ? 9 ,所以 a 2 ? b2 ? 2ab ? 81②,由①②得 ab ? 14 , 所以△ ABC 的面积 S ?
1 1 3 7 3 ab sin C ? ? 14 ? ? 2 2 2 2

1 49.解:(I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) ? cos 2 A ? cos A , 2

? cos A ?

1 . 2 ?A?

?0 ? A ? ? ,
(II)由

?
3

. sin B b ? ?2 sin C c

b c ? sin B sin C ? b ? 2c

可得:

b 2 ? c 2 ? a 2 4c 2 ? c 2 ? 9 1 cos A ? ? ? 2bc 2 4c 2
解得: c ? 3 , b ? 2 3

S?

1 1 3 3 3 bc sin A ? ? 2 3 ? 3 ? ? 2 2 2 2
sin
2

1 50. (I)由余弦定理:conB= 4 (II)由 cos B ?

A?C 1 +cos2B= 4 2

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4
8
1

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,S△ABC=2acsinB≤ 3 (a=c 时取等号)
2

2

1

15

故 S△ABC 的最大值为

15 3
20

51. (I)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 1 3 sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) ? cos 2 x ? 2 2 2 2

? 2? 1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ∴周期T ? 6 2 2 2
对称轴方程 x ? (II)

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3 6 ) 在区间 [?

? ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x) 取最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 3 ? 1 ? f ( ) ? ,∴ 当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x) 在区间 [? 52. (I)

? ?

? B m ? n ? m ? n ? 0,? 4sin B ? sin 2 ( ? ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 4 2

? 2sin B[1 ? cos( ? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0, 2 2 ? 2sin B ? 2sin B ? 1 ? 2sin 2 B ? 2 ? 0, 1 ? sin B ? , 2
(II)? a ?

?

0 ? B ??,
3 ? b,? 此时 B ?

?B ?

?

5 或 ?. 6 6

?

6 2 2 2 方法一 : 由余弦定理得 : b ? a ? c ? 2ac cos B,

,

? c 2 ? 3c ? 2 ? 0,? c ? 2或c ? 1.
方法二 : 由正弦定理得

b a ? , sin B sin A

?

1 3 3 ? 2 ? ,? sin A ? , 0 ? A ? ? ,? A ? 或 ? , 1 sin A 2 3 3 2

,? 边c ? 2; 3 6 2 2 2 ? ? 若A ? ? , 则角C ? ? ? ? ? ? ,? 边c ? b,? c ? 1. 3 3 6 6 综上 c ? 2或c ? 1.
21

若A ?

?

, 因为B ?

?

, 所以角C ?

?

53.

(I) f ( x) ? ? cos x ? 4t sin
2

x x cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 2

? sin 2 x ? 1 ? 2t sin ? 4t 2 ? t 2 ? 3t ? 4 ? sin 2 x ? 2t sin x ? t 2 ? 4t 3 ? 3t ? 3

? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
由于 (sin x ? t )2 ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x ) 达到其最小值 g (t ) ,即

g (t ) ? 4t 3 ? 3t ? 3 .
(II)我们有 g ?(t ) ? 12t 2 ? 3 ? 3(2t ? 1)(2t ?1), ??? t ? 1. 列表如下:

t
g ?(t )

?? ? ? ? ? ?1, 2? ?

?

1 2

? 1 ?? ?? , ? ? 2 2?
?

1 2
0

?1 ? 1? ? , ?2 ?

?

0
极大值

?
?1? ?2?

g (t )

? 1? g?? ? ? 2? ? ?

极小值 g ? ?

由此可见, g (t ) 在区间 ? ?1 , ?

1? ?1 ? ? 1 1? ?1? 1? 单调增加,在区间 ? ? , ? 单调减小,极小值为 g ? ? ? 2 , ? 和? , 2? ?2 ? ? 2 2? ?2?

极大值为 g ? ?

? ?? ??4. ? 2?

54.解(1)

1 1 ? ? 1 ? sin sin ? ? cos 2 cos ? ? cos ? 2 2 3 6 2

1 3 1 ? sin ? ? cos? 2 4 4
sin(? ?

?
6

) ?1

?? ? (0, ? )
?? ?

?
6

?

?
2

??

?
3

(2) f ( x) ?

1 3 1 1 sin 2 x ? cos2 x ? ? 2 2 2 4
22

?

3 1 sin 2 x ? (2 cos2 x ? 1) 4 4 3 1 sin 2 x ? cos 2 x 4 4

?
?

1 ? sin( 2 x ? ) 2 6 1 ? ? g ( x) ? sin( 4 x ? ) 2 6 ? x ? [0, ] 4 ? 0 ? 4x ? ?

?

?

6 6 1 ? ? sin( 4 x ? ) ? 1 2 6 1 1 ? ? g ( x) ? 4 2
55. ( 1)∵ f ( x) ?

? 4x ?

?

?

7? 6

2 ? cos(x ? ) 2 4

∴T ?

2? ? 2? | w|

? 1 ? cos( x ?

?
4

) ?1

?

2 2 ? f ( x) ? 2 2

? 2 2? ? f ( x) ? ?? , ? ? 2 2 ?
(2) f (? ) ?

2 ? 3 cos(? ? ) ? 2 2 4 10
3 5

cos( ? ?

?
4

)?

?

2 3 (cos? ? sin ? ) ? 2 5
3 2 5 18 25
23

cos ? ? sin ? ?

? (cos ? ? sin ? ) 2 ?

? 2 sin ? cos ? ?
56. (1)?

7 25

即 sin 2? ?

7 25

a b c ? ? sin A sin B sin C

?sin C ? 3 sin A sin C ? sin C cos A ? 3 sin A ? cos A ? 1
? 2 sin( A ? ) ? 1 6
sin( A ? ?A?

?

?
6

)?

?

6 6 ? A ? △ABC ?A?

?

?

1 2


5 ? 6

?

3 A ? ? (舍)

?A?

?
3 1 bc sin A ? 3 2

(2) S ?ABC ?

1 3 ? bc ? 3 2 2
? bc ? 4

? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? 2bc 2

?b2 ? c 2 ? 4 ? 4

?b 2 ? c 2 ? 8 ?b ? 2 ?? ?? ?c ? 2 ?bc ? 4
57.解: (1) f(x)=cos(2x+

?
3

)+sin x.= cos 2 x cos

2

?
3

? sin 2 x sin

? 1 ? cos 2 x
3 ? 2

?

1 3 ? sin 2 x 所以函数 f(x)的 2 2

最大值为

1? 3 ,最小正周期为 ? . 2
?1 ? 3 3 ? 2 ? , ? 4 4 ? ?
24

(2)函数 f(x) ? ?

(3) f ( ) =

c 2

1 ? 1 3 3 ? sin C =- , 所 以 sinC ? ,因为 C 为锐角,所以 C ? , 又 因 为 在 ? ABC 4 3 2 2 2

中,cosB= ,所以 sin B ?

1 3

2 3 ,所以 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

58.

25


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