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2013年普陀区高三二模数学(文)


普陀区 2012 学年第二学期高三文科数学质量调研
考生注意: 2013.4 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分

. 1. 函数 y ? log2 ( x ? 1) 的定义域为 2. 若 sin ? ? . .
?1

3 且 sin 2? ? 0 ,则 tan ? = 5

3. 若点 ( 4,2) 在幂函数 f (x) 的图像上,则函数 f (x) 的反函数 f 4. 若 z1 ? a ? 2i , z 2 ? 1 ? i ( i 表示虚数单位) ,且

( x) =

.

z1 为纯虚数,则实数 a ? z2

.

5. 若 (2x ? 1) 5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a5 x 5 ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ) 2 ? 6. 若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 是偶函数,则函数 y ?

.

f ( x) 的最小值为 | x|

.

7. 若 双 曲 线 C : 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 距 为 10 , 点 P(2,1) 在 C 的 渐 近 线 上 , 则 C 的 方 程 a 2 b2

8. 若某班从 4 名男生、 2 名女生中选出 3 人参加志愿者服务,则至少选出 2 名男生的概率 为 .

?x ? 0 ? 9. 若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

.

10. 若 三 条 直 线 ax ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 相 交 于 一 点 , 则 行 列 式

a

1

3
.

1 1 2 的值为 2 ?1 1

11. △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 A ?

?
3

, b ? 2c ,则 C =

.

12. 若圆 C 的半径为 3, 单位向量 e 所在的直线与圆相切于定点 A , B 是圆上的动点, e ? AB 点 则
-1-

?

? ??? ?

的最大值为

?2 x , x ? 0 13. 已知函数 f ( x) ? ? ,若 f (1 ? a2 ) ? f (2a) ,则实数 a 的取值范围是 ?1, x ? 0
?1 1 1 1 ? ?2 3 4 5 14. 若 ai , j 表示 n ? n 阶矩阵 ? 3 5 8 ? ?? ? ? ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ?

.

1 ? ? ? ? ? ? 中第 i 行、第 j 列的元素,其中第 1 行 ? ? ? a n ,n ? ?

的元素均为 1 , 1 列的元素为 1,2,3,?, n , ai ?1, j ?1 ? ai ?1, j ? ai , j( i 、 j ? 1,2,3,?, n ? 1 ) 第 且 ,

则 lim
n ??

a 3, n n2

?

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若集合 A ? {x | y 2 ? 4x, y ? R} , B ? {x |

1? x ? 0} ,则 A ? B ? ??????( 2? x
C . (?2, ??) .
D . [1, ??) .



A . [0,1] .

B . (?2,1] .

16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等, 圆柱、 球的表面积分别记为 S1 、S 2 , S1 : S 2 = 则 ????????????????????????????????????( )

A . 1:1.

B . 2:1.
2

C . 3:2.

D . 4:1.

17. 若 a ? R ,则“关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? 0 无实根”是“ z ? (2a ? 1) ? (a ? 1)i (其中 i 表 示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的?????????????( )

A .充分非必要条件.

B .必要非充分条件. D .既非充分又非必要条件.

C .充要条件.

18.如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P 在△ ABC 所在的平面内,且 | PA|2 ? | PB |2 ? ( .下列结论中, 正确的是????????????????? ( | PC |2 ? a a 为常数) )

A .当 0 ? a ? 1 时,满足条件的点 P 有且只有一个. B .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有三个.

A P

C .当 a ? 1 时,满足条件的点 P 有无数个.
D .当 a 为任意正实数时,满足条件的点 P 是有限个. B
第 18 题 -2-

C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 ,2) 和 ( x0 ? 2? ,?2) (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?

1 ,求 f (2? ) 的值. 3

第 19 题

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别是 B1B 、 DC 的中点. 1 (1)求三棱锥 E ? FCC1 的体积. (2)求异面直线 D1F 与 A E 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 1

D1

C1 B1
E

A1

D F A
第 20 题

C

B

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分.

g 已知 a ? 0 且 a ? 1 , 函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) , ( x ) ? log a
(1)求函数 F (x) 的定义域 D 及其零点;

1 , F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 记 1? x

(2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内有解,求实数 m 的取值范围. 、
-3-

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中, 方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 18 9

F ,与椭圆相交于 A 、 B 两点
(1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 1 , P(6,0) ,求△ PAB 的面积; (3)当 k ( k ? R 且 k ? 0 )变化时,试求一点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 .

y

O

F

x

第 22 题

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小 题满分 8 分. 对于任意的 n ? N ,若数列 {an } 同时满足下列两个条件,则称数列 {an } 具有“性质 m ” :
*



an ? an ? 2 ? a n ?1 ; 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {an } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin 有“性质 m ” ;

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ) ,判断 {an } 、 {bn } 是否具 6 1 7 , S 3 ? ,求证:数列 {S n } 具 4 4

(2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,且 c3 ? 有“性质 m ” ; (3)数列 {dn } 的通项公式 d n ?

t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * * ( n ? N ).对于任意 n ? [3, 100] 且 n ? N , n 2

数列 {dn } 具有“性质 m ” ,求实数 t 的取值范围.

-4-

普陀区 2012 学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案
一.填空题 1. {x | x ? 1} 2. ? 9. 6 二.选择题 题 号 答 案 15 16 17 18 10. 0

3 3. f ?1 ( x) ? x 2 ( x ? 0 )4. ? 2 5. ? 243 6. 2 4
11.

7.

4 x2 y 2 ? ? 1 8. 5 20 5
14.

? 6

12. 3

13. ? 1 ? a ?

2 ?1

1 2

A

C

B

C

三.解答题 19.[解](1)由题意可得 A ? 2 ???????????????????????1 分

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? ?????????????????? 3 分 2 2 1 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos ? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ???????????????5 分 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) ?? ??????????????????6 分 2 3
(2)由于 cos? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? ?? ????????????8 分 3 3

f (2? ) ? 2 cos( ? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?
3

? sin ? sin

?
3

) ???????????10 分

1 1 2 2 3 1? 2 6 ?????12 分 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
20.[解](1) VE ?FCC1 ? VF ? ECC1 ??????????1 分 由题意得 FC ? 平面 ECC1 且 FC ? 1 ??????????3 分

S ?ECC1 ?

VF ? ECC1
VE?FCC1

1 ? 2 ? 2 ? 2 ??????????5 分 2 1 1 2 ? ? S ?ECC1 ? FC ? ? 1 ? 2 ? 3 3 3 2 ? ??????????6 分 3

D1

C1 B1

A1

E

(2)取 AB 的中点为 G ,连接 A1G , GE 由于 A1G // D1 F ,所以直线 A1G 与 A1 E 所成的锐角或直角即为
-5-

D
F A

C
B

G
第 20 题

异面直线 A1 E 与 D1 F 所成的角??9 分 在 ?A1GE 中, A1G ? 5 , GE ? 由余弦定理得, cos?GA1 E ? 所以 ?GA1 E ? arccos

2 , A1 E ? 5
? 4 ? 0 ??12 分 5

5?5?2 2? 5 ? 5

4 5 4 ????14 分 5 1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

即异面直线 A1 E 与 D1 F 所成的角的大小为 arccos

21. 解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F (x) 的定义域为 (?1, 1) ??2 分 ? 1? x ? 0 ?
令 F (x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a 方程变为 loga ( x ? 1)2 ? loga (1 ? x)

1 ? 0 ?(*) 1? x

??3 分

( x ? 1)2 ? 1 ? x ,即 x2 ? 3x ? 0 ????????5 分
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ,经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 即函数 F (x) 的零点为 0 .??6 分 (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( 0 ? x ? 1) 1? x

? loga

x 2 ? 2x ? 1 4 ? loga (1 ? x ? ? 4) ??8 分 1? x 1? x
4 ? 4 ,设 1 ? x ? t ? (0, 1] ??9 分 1? x

am ? 1? x ?
函数 y ? t ?

4 在区间 (0, 1] 上是减函数????????11 分 t

m 当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , y min ? 5 ,所以 a ? 1 ??????12 分

①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解??????????13 分 ②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解.??????????14 分 22.【解】
2 2 (1)由题意 a ? 18 , b ? 9 得 c ? 3 ,所以 F (3,0) ????????????1 分

-6-

| OA |?| OF | 且点 A 在 x 轴的上方,得 A(0,3) ????????????2 分
k ? ?1 , d ? (1,?1) ??????????????3 分
直线 l :

x?3 y ?0 ? ,即直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ??????????4 分 1 ?1

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,当 k ? 1 时,直线 l : y ? x ? 3 ????5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 将直线与椭圆方程联立 ? 18 ,????????7 分 9 ?y ? x ? 3 ?
2 消去 x 得, y ? 2 y ? 3 ? 0 ,解得 y1 ? ?3 , y 2 ? 1 ????????9 分

1 1 | y1 ? y 2 |? 4 ,所以 S ?PAB ? ? | PF | ? | y1 ? y 2 |? ? 3 ? 4 ? 6 ??10 分 2 2
(3)假设存在这样的点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0,由题意得, 直线 l : y ? k ( x ? 3) ( k ? 0 )

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 2 2 ,消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 12k x ? 18(k ? 1) ? 0 ??12 分 ? 18 9 ? y ? k ( x ? 3) ?

? 12k 2 x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 ??13 分 ? ? 0 恒成立, ? 2 ? x ? x ? 18(k ? 1) ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

k AD ?

y1 y2 , k BD ? ??14 分 x1 ? x0 x 2 ? x0 y1 y2 ? x1 ? x0 x2 ? x0 k ( x1 ? 3) k ( x2 ? 3) k ( x1 ? 3)(x2 ? x0 ) ? k ( x2 ? 3)(x1 ? x0 ) ? ? ?0 x1 ? x0 x 2 ? x0 ( x1 ? x0 )(x2 ? x0 )

k AD ? k BD ? ?

所以 2kx1 x2 ? k ( x0 ? 3)(x1 ? x2 ) ? 6kx0 ? 0 ??15 分

36k (k 2 ? 1) 12k 3 ( x0 ? 3) ? ? 6kx0 ? 0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
解得 x0 ? 6 ,所以存在一点 (6,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0.?16 分
-7-

23.解: (1)在数列 {an } 中,取 n ? 1 ,则 具有“ m 性质” ;??2 分

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①,所以数列 {an } 不 2

在数列 {bn } 中, 1 ? 1 , 2 ? 3 , 3 ? 2 , 4 ? 3 , 5 ? 1 , b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , 则 b b b b b

b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 , 所 以 满 足 条 件 ① ; bn ? 2 sin
( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn } 具有“性质 m ” 。??4 分 (2)由于数列 {cn } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 ,将 c 3 ? 代入 S 3 ?

n? ?2 6

1 4

c3 c3 7 ? ? c3 ? 得, 2 q 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去)???????????????6 分 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 ??????????????????8 分 2 2

6q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ?

对于任意的 n ? N * ,

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

所以数列 {S n } 满足条件①和②,所以数列 {S n } 具有“ m 性质”????????10 分 (3)由于 d n ? 3t ?

tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? ???11 分 n n ?1 2 2 2 n?2
*

由于任意 n ? [3, 100] 且 n ? N ,数列 {dn } 具有“性质 m ” ,所以 d n ? d n?2 ? 2d n?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 ? ? 2? ,化简得, t (n ? 2) ? 1 , n n?2 2 2 2 n ?1 1 * 即t ? 对于任意 n ? [3, 100] 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ??①??????14 分 n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 d n ?1 ? d n ? n ? = 由于 n ? [3, 100] 及①,所以 d n?1 ? d n 2 2 n ?1 2 n ?1 100 t ? 1 即 n ? [3, 100] 时,数列 {dn } 是单调递增数列,所以 {dn } 最大项的值为 d 100 ? 3t ? 2100 100 t ? 1 ?M 即 可 , 所 以 这 样 的 M 存 在 满 则 条 件 ② 只 需 3t ? 2100
即 ②?????????????17 分 所以 t ? 1 即可。??????????????18 分

-8-


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