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全国高中数学联赛模拟试题8


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全国高中数学联赛模拟试题(八)
(选题人:李潜)

第一试
一,选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1,设 logab 是一个整数,且 log a
1 > b > a2 ; b ③0 <a <b <1 ; 其中正确结论的个数是 (A)1 (B)2 1 > log a b > log b a 2 ,给出下列四个结论 b



②logab+logba=0; ④ab1=0. (C )3 (D)4

a 2 a 2b 2c = 0 2,若△ABC 的三边长 a,b,c 满足 ,则它的最大内角度 a + 2b 2c + 3 = 0
数是 (A)150°
3,定长为 l( l >

(B)120°

(C)90°

(D)60°

2b 2 x2 y2 )的线段 AB 的两端点都在双曲线 2 2 = 1 (a>0, a a b

b >0 ) ,则 AB 中点 M 的横坐标的最小值为

(A)

al 2 a +b
2 2

(B)

a+l 2 a2 + b2 a(l + 2a ) 2 a2 + b2

(C )

a(l 2a ) 2 a2 + b2

(D)

4,在复平面上,曲线 z4+z=1 与圆|z|=1 的交点个数为 (A)0 (B)1 (C )2 (D)3 5,设 E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x4}是直角坐标平

x + x 2 y1 + y 2 面上的两个点集, 则集合 G= 1 , ( x1 , y1 ) ∈ E , ( x 2 , y 2 ) ∈ F 所 2 2

组成的图形面积是 (A)6 (B)2π (C)6.5 (D)7 6,正方形纸片 ABCD,沿对角线 AC 对折,使 D 在面 ABC 外,这时 DB 与 面 ABC 所成的角一定不等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

二,填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
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1,已知 α =

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sin α sin α sin α sin α + + + 的值等 24 cos 4α cos 3α cos 3α cos 2α cos 2α cos α cos α 于 . 1 1 1 = . 2, 1 + + ++ 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + + 2004 3,在 Rt△ABC 中,AB=AC,以 C 为一个焦点作一个椭圆,使这个椭圆的 另一个焦点在 AB 内, 且椭圆过 A, 点, B 则这个椭圆的离心率等于 . 4,从{1,2,3,…,20}中选出三个数,使得没有两个数相邻,有 种 不同的选法.

π

, 则

z + z z = a + bi 5,设 a,b 均为正数,且存在复数 z 满足 ,则 ab 的最大值 z ≤1 等于 . 8 n 7 < 对惟一的一个整数 k 成立的最大正整数 n 为 . 6,使不等式 < 15 n + k 13

三, (20 分)
已知实数 x,y 满足 x2+y2≤5.求 f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y3x18|的最 大值与最小值.

四, (20 分)
经过点 M(2,1)作抛物线 y2=x 的四条弦 PiQi(i=1,2,3,4),且 P1,P2, P3,P4 四点的纵坐标依次成等差数列. 求证:

PM PM P1 M P2 M > 3 4 . MQ1 MQ2 MQ3 MQ4

五, (20 分)
n 为正整数,r>0 为实数.证明:方程 xn+1+rxnrn+1=0 没有模为 r 的 复数根.

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第二试
一, (50 分)
设 C(I)是以△ABC 的内心 I 为圆心的一个圆,点 D,E,F 分别是从 I 出发垂直于边 BC,CA 和 AB 的直线 C(I)的交点. 求证:AD,BE 和 CF 三线共点.

二, (50 分)
非负实数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1. 求证:1≤ x y z + + ≤ 2. 1 + yz 1 + zx 1 + xy

三, (50 分)
对由 n 个 A, 个 B 和 n 个 C 排成的行, n 在其下面重新定义一行 (比 上面一行少一个字母) ,若其头上的两个字母不同,则在该位置写上第三 个字母;若相同,则写上该字母.对新得到的行重复上面的操作,直到 变为一个字母为止.下面给出了 n=2 的一个例子. A C B C B A B A A A C C A A B B A C C B A 求所有的正整数 n,使得对任意的初始排列,经上述操作后,所得的 大三角形的三个顶点上的字母要么全相同,要么两两不同.

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参考答案
第一试
一,选择题: 题号 答案 二,填空题: 1,
3 ; 3 2,
4008 ; 2005

1 A

2 B

3 D

4 A

5 D

6 D

3, 6 3 ; 1 5, ; 8

4,816; 6,112.

三,最大值 27 + 6 5 ,最小值 27 3 10 . 四,证略. 五,证略.

第二试
一,证略; 二,证略. 三, n=1.

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