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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1精要课件 空间向量的基本定理


3.1.2

3.1.2 空间向量的基本定理
【学习要求】 1. 掌握空间向量数乘运算的定义和运算律, 了解共线(平行)向量、
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共面向量的意义,掌握它们的表示方法. 2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论,并能运用它 们证明空间向量的共线和共面的问题. 【学法指导】 利用空间向量的数乘

运算,理解和表示共线向量和共面向量, 充分体现向量的工具性.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.2

1.共线向量定理

b≠0 两 个 空 间 向 量 a , b(________) , a∥b 的 充 要 条 件 是
____________________,使__________. 本 专 2.向量共面的条件 题 栏 (1)向量 a 平行平面 α 的定义 目 → 开 平行于平面α或 已知向量 a,作OA=a,如果 a 的基线 OA________________ 关

存在唯一的实数x

a=xb

a∥α 在α内 _________,则就说向量 a 平行于平面 α,记作________.
(2)共面向量的定义

同一平面 平行于____________的向量,叫做共面向量.

填一填·知识要点、记下疑难点
(3)共面向量定理

3.1.2

不共线 如果两个向量 a,b__________,则向量 c 与向量 a,b 共面
的 充 要 条 件 是 , 存在唯一的一对实数 x,y , 使 ________________________ ____________. 本 专 题 3.空间向量分解定理 栏 (1)空间向量分解定理 目 开 不共面 如果三个向量 a,b,c__________,那么对空间任一向量 p, 关

c=xa+yb

p=xa+yb+zc 存在一个唯一的有序实数组 x,y,z _________________________________,使_____________.

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3.1.2

(2)基底

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不共面的向量 如果三个向量 a,b,c 是三个________________,则 a,b,c xa+yb+zc 的线性组合____________能生成所有的空间向量,这时 a,b,c
{a,b,c} 基底 叫做空间的一个________,记作____________,其中 a,b,c

基向量 都叫做__________.表达式 xa+yb+zc,叫做向量 a,b,c 的 线性表示式或线性组合 ________________________________.

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3.1.2

探究点一 向量共线问题 问题 1 (1)两向量共线时,它们的方向有什么关系?
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(2)在两向量共线的充要条件中,为什么要求 b≠0?
答案 (1)两向量共线,则它们的方向相同或相反.

(2)由于我们已经规定了 0 与任意向量平行,所以当 b=0 时,a 与 b 是共线向量,可如果 a≠0,就不可能存在实数 λ,使 a=λb 成立.

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3.1.2

问题 2
答案
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向量共线在几何中有什么应用?
利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和三点共

线问题. 证明两直线平行要先证明两直线上的向量 a, 平行, b 还要证明直线上有一点不在另一条直线上;证明三点 A、B、 → → → → C 共线,只需证明存在实数 λ,使AB=λBC或AB=λAC即可.

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例 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 → → 中,E 在 A1D1 上,且A1E=2ED1,F 在对角 → 2→ 线 A1C 上,且A1F= FC. 3
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3.1.2

求证:E,F,B 三点共线.
→ → → 证明 设AB=a,AD=b,AA1=c. → → → 2→ ∵A1E=2ED1,A1F= FC, 3 → 2 → → 2→ ∴A1E= A1D1,A1F= A1C. 3 5 → 2→ 2 ∴A1E= AD= b, 3 3

研一研·问题探究、课堂更高效 2 → → → 2 → → → A1F= (AC-AA1)= (AB+AD-AA1) 5 5 2 2 2 = a+ b- c. 5 5 5 → → → ∴EF=A1F-A1E ? 2 4 2 2? 2 本 = a- b- c= ?a- b-c?. 专 5 15 5 5? 3 ?
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3.1.2

2 2 → → → → 又EB=EA1+A1A+AB=-3b-c+a=a-3b-c, → 2→ ∴EF= EB.所以 E,F,B 三点共线. 5 小结 判定向量 a,b 共线,只需利用已知条件找到 x,使 a =xb 即可.证明点共线,只需证明对应的向量共线.

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跟踪训练 1 如图所示,四边形 ABCD 是空 间四边形,E,H 分别是边 AB,AD 的中点, → F,G 分别是边 CB,CD 上的点,且CF= 2→ → 2→ CB, = CD.求证: CG 四边形 EFGH 是梯形. 3 3 证明 因为 E、H 分别是 AB、AD 的中点, → 1→ → 1 → 所以AE= AB,AH= AD, 2 2 → → 1 → → → 1→ 所以AE-AH=2(AB-AD),即HE=2DB. → → 2 → → → 2→ 同理CF-CG=3(CB-CD),即GF=3DB. → 3→ → → → → 所以HE=4GF,所以HE∥GF,且|HE|≠|GF|,
又 H,E,G,F 不共线,所以四边形 EFGH 是梯形.

3.1.2

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探究点二 问题 1
答案
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3.1.2

向量共面问题

如何理解向量与平面平行?
向量与平面平行, 是指向量的基线与平面平行或向量的 在三个向量共面的充要条件中,若两向量 a、b 共线,

基线在平面内,它与直线和平面平行是不同的. 问题 2 那么结论是否还成立? 答案 不成立.因为当 p 与 a、b 都共线时,存在不唯一的实

数对(x,y)使 p=xa+yb 成立.当 p 与 a,b 不共线时,不存在 实数对(x,y)使 p=xa+yb 成立.

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3.1.2

问题 3
答案
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向量共面在几何中有什么应用?
利用向量共面可以证明四点共面、线面平行等问题.

(1)证明线面平行,据题设选择平面内两个不共线向量(一组 基底), 该线所对应向量用平面内不共线向量(基向量)表示成 a=xb+yc 形式,又线不在平面内,即证线面平行.

(2)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 → → → 实数对(x,y),使MP=xMA+yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内;反之,平面 MAB 内的任一点 P 都满足 这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.

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问题 4

3.1.2

已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,满 → → → → 足向量关系式OP=xOA+yOB+zOC(其中 x+y+z=1)的 点 P 与点 A,B,C 是否共面?

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答案 原式可以变形为 → → → → OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC, → → → → → → ∴OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), → → → 即AP=yAB+zAC.∴点 P 与点 A、B、C 共面.

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3.1.2

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→ 已知斜三棱柱 ABC—A′B′C′,设AB= 例2 → → a,AC=b,AA′ =c.在面对角线 AC′上和棱 → → → BC 上分别取点 M 和 N,使AM=kAC′ ,BN= → kBC (0≤k≤1). → 求证:(1)MN与向量 a 和 c 共面; (2)MN 与面 A′AB 平行吗?

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→ → 证明 (1)显然AM=kAC′ =kb+kc, → → → → 且AN=AB+BN=a+kBC =a+k(-a+b)=(1-k)a+kb, → → → MN=AN-AM=(1-k)a+kb-kb-kc =(1-k)a-kc. → 因此,MN与向量 a 和 c 共面. → (2)由(1)知MN与向量 a,c 共面, → a,c 在面 A′AB 内,而MN不在面 A′AB 内, 所以 MN∥面 A′AB.

3.1.2

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3.1.2

小结
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证明三个向量共面、直线与平面平行或直线在

平面内、确定四点共面,都要利用共面向量定理,即 对于向量 p 来说是否存在 x、y,使 p=xa+yb 成立.

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跟踪训练 2 已知 A、B、C 三点不共线,对平面 → 1→ ABC 外的任一点 O,若点 M 满足OM= OA+ 3 1→ 1→ OB+ OC. 3 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

3.1.2

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解 (1)由已知,得 → → → → OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → → ∴向量MA、MB、MC共面.

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3.1.2

→ → → (2)由(1)知向量MA、MB、MC共面,三个向量的基线又过同一
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点 M,∴四点 M、A、B、C 共面, ∴点 M 在平面 ABC 内.

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探究点三 问题 1
答案
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3.1.2

空间向量分解定理

平面向量的基底要求二个基向量不共线, 那么构

成空间向量基底的三个向量有什么条件?
空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量

的一个基底,基底选定后,空间任意向量均可由基底唯 一表示. 问题 2 和平面向量基本定理类似, 请你思考怎样用空间 的基底来表示任何一个空间向量? 答案 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc.

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问题 3

3.1.2

若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b,b+c,

c+a}能否作为该空间的一个基底?

解 假设 a+b,b+c,c+a 共面,则存在实数 λ、μ 使得
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a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}为基底.∴a,b,c 不共面. ?1=μ, ? ∴?1=λ, 此方程组无解. ?0=λ+μ, ? ∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.

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3.1.2

例 3 如图所示,空间四边形 OABC 中,G、H → → 分别是△ABC、△OBC 的重心,设OA=a,OB 本 专 → → =b,OC=c.试用向量 a,b,c 表示向量GH. 题
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解 ∵H 为△OBC 的重心,D 为 BC 的中点, → 1 → → → 2→ ∴OD= (OB+OC),OH= OD, 2 3 1 → 2→ 2 1 → → 从而OH= OD= × (OB+OC)= (b+c). 3 3 2 3 → → → → 2→ → → → 又OG=OA+AG=OA+ AD,AD=OD-OA, 3 2→ → → 2 1 → → ∴OG=OA+ × (OB+OC)- OA 3 2 3 1 → → → 1 = (OA+OB+OC)= (a+b+c). 3 3 → → → ∵GH=OH-OG, 1 1 → 1 ∴GH= (b+c)- (a+b+c)=- a. 3 3 3

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3.1.2

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小结

表示向量要充分结合图形的几何性质.本题要注意到

重心是△ABC 的中线的一个三等分点, 为向量的模提供关系.

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3.1.2

→ 跟踪训练 3 在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中, AB → → =a,AD=b,AA′ =c,P 是 CA′的中点,M 是 CD′ 的中点,N 是 C′D′的中点,点 Q 是 CA′上的点,且 CQ∶QA′=4∶1,
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用基底{a,b,c}表示以下向量: → → → → (1)AP; (2)AM; (3)AN; (4)AQ.

解 连接 AC、AD′、AC′. → 1 → → (1)AP=2(AC+AA′) 1 → → → =2(AB+AD+AA′) 1 = (a+b+c); 2

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1 → → 1 → → → → (2)AM= (AC+AD′)= (AB+2AD+AA′) 2 2 1 1 = a+b+ c; 2 2 → 1 → → (3)AN=2(AC′+AD′) 1 → → → → → =2[(AB+AD+AA′)+(AD+AA′)] 1 → 1 → → =2(AB+2AD+2AA′)=2a+b+c; → → → → 4 → → (4)AQ=AC+CQ=AC+5(AA′-AC) 1→ 1 → 4 → 1 1 4 =5AB+5AD+5AA′=5a+5b+5c.

3.1.2

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3.1.2

1.空间的任意三个向量 a,b,3a-2b,它们一定是( B ) A.共线向量
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B.共面向量 D.既不共线也不共面向量

C.不共面向量

解析 如果 a, 是不共线的两个向量, b 由共面向量定理知, a,b,3a-2b 共面;若 a,b 共线,则 a,b,3a-2b 共线, 当然也共面,故选 B.

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3.1.2

→ → 2.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 有 6OP=OA → → +2OB+3OC,则 ( B ) A.四点 O,A,B,C 必共面
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B.四点 P,A,B,C 必共面 C.四点 O,P,B,C 必共面 D.五点 O,P,A,B,C 必共面

→ → → → 解析 由 6OP=OA+2OB+3OC, → → → → → → 得(OA-OP)=2(OP-OB)+3(OP-OC), → → → 即PA=2BP+3CP. 由共面向量定理,知 P,A,B,C 四点共面.

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3.1.2

3.设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一 个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b, c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间的基底的向
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量组有 C.3 个 D.4 个 → → → 解析 如图所示, a=AB, 设 b=AA1, c=AD, → → → → 则 x=AB1,y=AD1,z=AC,a+b+c=AC1, A.1 个 B.2 个

( C )

由 A、B1、C、D1 四点不共面,可知向量 x、y、 z 也不共面,同理可知 b、c、z 不共面,x、y、a+b+c 也不 共面.

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3.1.2

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4.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB, → → → PC 上分别取PQ=a,PR=b,PS=c,点 G 在 PQ 上,且 → PG=2GQ,H 为 RS 的中点, 则GH=__________________.(用 a,b,c 表示) 2 → → → 1 解析 GH=PH-PG= (b+c)- a. 2 3 2 1 1 答案 - a+ b+ c 3 2 2

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3.1.2

1.利用空间向量的数乘运算可以划定两个向量共线.
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2.空间三个向量 a、b、c 共面,只要找到一个向量能用其 余两个向量线性表示即可. 3.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个 基底;基底选定后,任一向量可由基底唯一表示.


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