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高三数学二次函数


题目 二次函数典型例题解题归纳总结 高考要求 1 要掌握二次函数的图象和性质,有单调性,对称轴,顶点,二次函数 的最值讨论方法,二次方程根的分布的讨论方法,特别是韦达定理的应用 2 能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件;能求二次函数的 区间最值 知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等 有着广泛的联系
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1 二次函数的图象及性质:二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象的对称轴方
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程是 x = ?
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? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? ? 2 a , 4a 2a ?

? ? ? ?

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2 二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,
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解 析 式 的 设 法 有 三 种 形 式 , 即 f ( x ) = ax 2 + bx + c(一般式),

f ( x) = a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) f ( x) = a ( x ? m) 2 + n (顶点式) ) 和
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3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实 根分布问题,用图象求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0)

?? ≥ 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /( 2a ) < α ; ?af (α ) > 0 ?

?? ≥ 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /( 2a ) > α ?af (α ) > 0 ?

?? ≥ 0 ?? ≥ 0 ? f (α ) > 0 ? ? (3)α<x1<β,α<x2<β,则 ? (4)x1<α,x2>β (α<β),则 ? f (α ) < 0 ? f (β ) > 0 ? f (β ) < 0 ? ?α < ?b /(2a ) < β ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,β)内只有一个实根,则有 f (α ) f ( β ) < 0 4 最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三 种情况讨论,即:(1)对称轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调 性; ;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数 a 的符号 对抛物线开口的影响 1 讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;② 2 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区
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间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置 5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① ? < 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax2+bx+c=0 无实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ② ? = 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax2+bx+c=0 有两个相等的 实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ③ ? > 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0
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有 两 个 不 等 的 实 根 ? ax2+bx+c>0(<0) 的 解 集 为 (α , β ) (α < β ) 或 者 是

(?∞,α ) U (β , +∞)
题型讲解
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2 例 1 函数 y = x + bx + c ( x ∈ [0, +∞)) 是单调函数的充要条件是( )

Ab≥0
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Bb≤0
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Cb>0
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Db<0
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解:∵函数 y = x 2 + bx + c ( x ∈ [0, +∞)) 的对称轴 x = ? ∴函数 y = x2 + bx + c(x ∈[0, +∞) 是单调函数 ? -

b , 2

? b ≥ 0 故选 A
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b b ? (0, +∞) ? ? ≤ 0 , 2 2

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例 2 已知二次函数的对称轴为 x = ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过 点 (0, ?1) ,求函数的解析式
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解:∵二次函数的对称轴为 x = ? 2 , 可设所求函数为 f ( x ) = a ( x + 2) 2 + b , 又∵ f ( x ) 截 x 轴上的弦长为 4 , ∴ f ( x ) 过点 (? 2 + 2, 0) 和 (? 2 ? 2, 0) , f ( x ) 又过点 (0, ?1) ,

1 ? ?4a + b = 0 ?a = ∴? , ? 2 , ? 2 a + b = ?1 ?b = ?2 ?
∴ f ( x) =

1 ( x + 2) 2 ? 2 2

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例 3
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已知函数 y = ? sin x + a sin x ?
2

a 1 + 的最大值为 2 ,求 a 的值 4 2
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分析:令 t = sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题 解:令 t = sin x , t ∈ [ ?1,1] , ∴ y = ?(t ? ) +

a 2 1 2 a (a ? a + 2) ,对称轴为 t = , 2 4 2 a 1 2 即 得 (1) ?1 ≤ ≤ 1 , ?2 ≤ a ≤ 2 时,ymax = ( a ? a + 2) = 2 , a = ?2 当 2 4 或 a = 3 (舍去) a a 2 1 2 (2)当 > 1 ,即 a > 2 时,函数 y = ?(t ? ) + ( a ? a + 2) 在 [ ?1,1] 单 2 2 4
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调递增, 由 ymax = ?1 + a ? (3)当

1 1 10 a + = 2 ,得 a = 4 2 3

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a a 1 < ?1 ,即 a < ?2 时,函数 y = ?(t ? )2 + (a 2 ? a + 2) 在 [?1,1] 2 2 4

单调递减,

1 1 a + = 2 ,得 a = ?2 (舍去) 4 2 10 综上可得: a 的值为 a = ?2 或 a = 3
由 ymax = ?1 ? a ?
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2 2 例 4 已知函数 f ( x) = x ? (2a ? 1) x + a ? 2 与非负 x 轴至少有一个交

点,求 a 的取值范围

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解法一:由题知关于 x 的方程 x 2 ? (2a ? 1) x + a 2 ? 2 = 0 至少有一个非负实 根,设根为 x1 , x2

?? ≥ 0 9 ? 则 x1 x2 ≤ 0 或 ? x1 x2 > 0 ,得 ? 2 ≤ a ≤ 4 ?x + x > 0 ? 1 2

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? f (0) > 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ≤ 0 或 ? ? > 0 ,得 ? 2 ≤ a ≤ 4 2 ? ?? ≥ 0 ?
2 2

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解法三:当函数 f ( x) = x ? (2a ? 1) x + a ? 2 与非负 x 轴没有交点时,

? f (0) > 0 9 ? ,得 a < ? 2 或 a > 则 ? < 0 或 ? ?(2a ? 1) 4 <0 ?? ? 2

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∴函数 f ( x ) = x 2 ? (2a ? 1) x + a 2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点时 a 的取 值范围为 ? 2 ≤ a ≤ 例 5

9 4

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设二次函数 f ( x) = x 2 + bx + c(b, c ∈ R ) ,已知不论α,β为何

实数,恒有 f (sin α ) ≥ 0和f (2 + cos β ) ≤ 0. (1)求证: b + c = ?1; (2)求证: c ≥ 3; (3)若函数 f (sin α ) 的最大值为 8,求 b,c 的值

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(1)由 f ( x) = x 2 + bx + c(b, c ∈ R ) 产生 b+c,只要消除差异 x , 解: 这可令 x = 1. Q ?1 ≤ sin α ≤ 1且f (sin α ) ≥ 0恒成立, ∴ f (1) ≥ 0.

Q1 ≤ 2 + cos β ≤ 3且f (2 + cos β ) ≤ 0恒成立, ∴ f (1) ≤ 0.
从而知 f (1) = 0. ∴1 + b + c = 0.即b + c = ?1. (2)由Q1 ≤ 2 + cos β ≤ 3且f (2 + cos β ) ≤ 0恒成立, ∴ f (3) ≤ 0.

9 + 3b + c ≤ 0 ,∴ 9 + 3(b + c) ? 2c ≤ 0 又因为 b + c = ?1. ∴ c ≥ 3.
即 (3) f (sin α ) = sin 2 α + (?1 ? c) sin α + c = (sin α ? Q 当 sin α = ?1时, [ f (sin α )]max = 8.

1+ c 2 1+ c 2 ) +c?( ) , 2 2

由?

?1 ? b + c = 8, ?1 + b + c = 0.

解得

b = ?4, c = 3.

点评 注意: a ≥ b 且 a ≤ b ? a = b , 这是用不等式证明等式的有效 方法,很是值得重视 2 例 6 设 f(x)=ax +bx+c(a>b>c),f(1)=0,g(x)=ax+b (1)求证:函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点; (2)设 f(x)与 g(x)的图象交点 A、B 在 x 轴上的射影为 A1、B1,求|A1B1| 的取值范围; 证明(1):∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 ∴f(1)=a+b+c=0 ∴3a>a+b+c>3c ∴a>0,c<0 又 a>b>c
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由?

? y = ax 2 + bx + c ∴ ax 2 + (b ? a) x + (c ? b) = 0 y = ax + b ?

∴Δ=(b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac>0 故函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有两个交点; 解(2):设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*) 的两根故 x1+x2=- 由题意, |A1B1|=|x1-x2|= ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

b?a c?b ,x1x2= , a a

(b ? a ) 2 ? 4a (c ? b) b?a 2 c?b ) ?4 = ( = = a a a

(b + a ) 2 ? 4ac a

=

(?c) 2 ? 4ac c 2 ? 4ac c c c = = ( ) 2 ? 4( ) = ( ? 2) 2 ? 4 a a a a a
c 1 <- a 2

∵a>b>c,a+b+c=0∴a>-(a+c)>c ∴-2< ∴|A1B1|的取值范围是(
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3 ,2 3 ) 2 例 7 是否存在实数 a,b,c 使函数 f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0),的图像经过
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M(-1,0),且满足条件“对一切实数 x,都有 x ≤ f(x) ≤ 解:因为图像经过 M(-1,0),所以 a-b+c=0

1+ x2 ” 2

又因为 x ≤ f(x) ≤

1+ x2 2
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∴当 x=1 时,1 ≤ f(1) ≤ 1 , 所以 f(1) =1 即 a+b+c=1 从而 ?

?a ? b + c = 0 ?a + b + c = 1
2

所以 b=

1 1 ,c = ? a 2 2

1+ x2 1 1 ∴ x ≤ ax + x + ? a ≤ 对一切实数 x 恒成立 2 2 2
? 2ax 2 ? x + 1 ? 2a ≥ 0 的解集为 R 即? ? 2 ?(1 ? 2a) x ? x + 2a ≥ 0 ?
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∵a=0 或 a=

1 显然不成立 , 2

∴?

2 ?? 1 = 4a ? 1) ≤ 0 ( 1 1 ? 所以 a=c= ,b= 2 4 2 ?? 2 = (4a ? 1) ≤ 0 ?

例 8 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,g(x)的图象与 f(x)的图象关于 直线 x=1 对称,而当 x ∈ [ 2,3]时, g ( x ) = ? x 2 + 4 x + c (c为常数). (1)求 f(x)的表达式
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(2)对于任意 x1 , x2 ∈[0,1]且x1 ≠ x2 , 求证:| f ( x2 ) ? f (x1 ) |< 2 | x2 ? x1 | . 解: 1)设 P(x,y)是 f(x) 图象上的任意点,则 P(x,y)关于直线 x=1 ( 的对称点为 Q (2-x ,y)必在 g(x)图像上,且 2≤2-x≤3 即 x∈[-1,0]
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∴ y = ?(2 ? x)2 + 4(2 ? x) + c = ?4 + 4x ? x2 + 8 ? 4x + c = ?x2 + 4 + c. ∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)=0, ∴c= ? 4 当 x ∈[0,1]时, ?x ∈[?1,0], f ( x) = ? f (?x) = x2 ,

x∈[-1,0]

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?? x 2 ? 所以f ( x) = ? 2 ?x ?

x ∈ [?1, 0] x ∈ (0,1].

(2)当 x1 , x2 ∈ [0,1]且x1 ≠ x2 时, 0 < x1 + x2 < 2

2 ∴ | f ( x2 ) ? f ( x1) |=| x2 ? x12 |=| ( x2 ? x1 )( x2 + x1 ) |< 2 | x2 ? x1 | .

例 9 设函数 f(x)=|x-a|-ax,其中 0<a<1 为常数 (1)解不等式 f(x)<0; (2)试推断函数 f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存 在,说明理由 解: (1)由 f(x)<0 得,|x-a|<ax,即-ax<x-a<ax,
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o

? ?x < ?(a ? 1) x > ? a, ? ∴? Q 当0 < a < 1时,∴ ? ?(a + 1) x > a. ?x > ? ?
∴不等式的解集是 (

?a a = , a ?1 1? a a . a +1

a a , ) 1+ a 1? a

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(2)∵ 0 < a < 1,∴1 ? a > 0, ?(1 + a ) < 0, f ( x ) = ?

?(1 ? a ) x ? a ( x ≥ a ); ??(1 + a ) x + a ( x < a ).
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∴ f ( x)在[a,+∞) 内是增函数, f ( x)在(?∞, a ) 内是减函数 ∴ f ( x ) min = f ( a ) = ? a .
2

若存在 x0 ∈ R , f ( x0 ) = x0 , 使 则称 x0 是 f ( x ) 例 10 对于函数 f ( x ) , 的一个不动点,已知函数 f ( x) = ax2 + (b + 1) x + (b ?1)(a ≠ 0) , (1)当 a = 1, b = ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y = f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的 不动点,且 A, B 两点关于直线 y = kx +

1 2a + 1
2

对称,求 b 的最小值

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解: (1) f ( x ) = x 2 ? x ? 3 , x0 是 f ( x ) 的不动点, 则 f ( x) = x0 ? x0 ? 3 = x0 ,得 x0 = ?1 或 x0 = 3 ,
2

函数 f ( x ) 的不动点为 ?1 和 3

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(2)∵函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点, ∴ f ( x) ? x = ax 2 + bx + (b ? 1) = 0 恒有两个不等的实根,

? = b 2 ? 4a (b ? 1) = b 2 ? 4ab + 4a > 0 对 b ∈ R 恒成立,
2 ∴ (4a ) ? 16a < 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1)
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(3)由 ax + bx + (b ? 1) = 0 得
2

x1 + x2 b =? , 2 2a


由题知 k = ?1 , y = ? x +

1 2a 2 + 1

设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 ( ? ∴?

b b 1 , + 2 ), 2 a 2 a 2a + 1

b b 1 = + 2 , 2a 2 a 2a + 1

∴b = ?

a 2a + 1
2

=?

1 2a + 1 a

≥?

2 , 4

当且仅当 2a =

1 2 (0 < a < 1) ,即 a = 时等号成立, a 2
2 4

∴ b 的最小值为 ?
源 源 源

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学生练习 1 设 x,y 是关于 m 的方程 m2?2am+a+6=0 的两个实根,则(x?1)2+(y?1)2 的最 小值是( ) (A)?12 25 (B)18 (C) 8 (D)无最小值 2 2 函数 f(x)=2x ?mx+3,当 x∈(?∞,?1]时是减函数,当 x∈[?1,+∞)时是增函数, 则 f(2)= 3 方程 x2+bx+c=0 有两个不同正根的充要条件是 ;有一正根,一负根 的充要条件是 ___ ;至少有一根为零的充要条件 ____ 4 如果方程 x2+2ax+a+1=0 的两个根中,一个比 2 大,另一个比 2 小,则实 数 a 的取值范围是
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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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5 设方程 x2?mx+1=0 的两个根为 α,β,且 0<α<1,1<β<2,则实数 m 的取值范围 是 ____ 6 直线 y=kx+1 与双曲线 x2?y2=1 的左支相交,则 k 的取值范围是 7 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是(?∞,?3)∪(2,+∞),则关于 x 的不等 式 bx2+ax+c>0 的解集是
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王王特王 新特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

8 方程 x2+(m?2)x+2m?1=0 在(0,1)内有一根,则 m∈
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

;或 m=6?2 7 )

在(0,1)内至少有一根,则 m∈ 9 线段 AB 的两个端点分别为 A(3,0),B(0,3),若抛物线 y=x2?2ax+a2+1 与线段 AB 有两个不同交点,试求实数 a 的取值范围 10 已知 f(x)=(m?2)x2?4mx+2m?6=0 的图象与 x 轴的负半轴有交点,求实数 m 的取值范围 11 已知二次函数 f(x),f(x+1)+f(x?1)=2x2?4x 对任意实数 x 都成立,试求
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王王特王 新特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

f(1? 2 )的值
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12 已知函数 f(x)=mx2+(m?3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右 侧,求实数 m 的取值范围 13 根据市场调查,某商品在最近 40 天内的价格与时间 t 满足关系:
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

?1 ? t + 11 (0 ≤ t < 20, t ∈ N ) f (t ) = ? 2 ?? t + 41 (20 ≤ t ≤ 40, t ∈ N ) ?
销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)= ?t/3 +43/3 (0≤t≤40),t∈N),求这种商品日销 售量的最大值 14 已知函数 f(x)=lg(x2?2mx+m+2) (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围 15 若二次函数 f(x)=4x2?2(p?2)x?2p2?p+1 在区间[?1,1]内至少存在一点 c?使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围 16 已知而二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)= ?bx,其中 a,b,c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证:两函数的图象相交于不同两点 A,B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 之长的取值范围 17 设 2sin2x+acosx–1≤3a 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围 18 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 AB=a,BC=b(a>b), ∠ A=60 ° , 在 F C D AB,AD,CB,CD 上分别取 AE,AH,CF,CG 都等于 x(0≤x≤b), E 求 x 取何值时, 四边形 EFGH 面积最大?最大值为多少? G 2 B A H 19 已知函数 f(x)=ax +(2a?1)x?3 (a≠0)在区间[?3/2,2]上的
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

最大值为 1,求实数 a 的值 20 已知关于 x 的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根α,β 证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么 2│a│<4+b 且│b│<4; (Ⅱ)如果 2│a│<4+b 且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2 21 已知 a、b、c 是实数,函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当?1≤x≤1 时,│f(x) │≤1 (Ⅰ)证明:│b│≤l; (Ⅱ)证明:当?1≤x≤1 时,│g(x)│≤2; 22 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(?1)=0,对于任意实数 x, 都有 f(x)?x≥0, 2 并且 x∈(0,2)时,f(x)=(x+1) /4,(1)求 f(1); (2)求 f(x) 23 若对任意实数 x,sin2x+2kcosx?2k?2<0 恒成立,求实数 k 的取值范围 24 线段 AB 的两个端点分别为 A(3,0),B(0,3),若抛物线 y=x2?2ax+a2+1 与线段 AB 有两个不同交点,试求实数 a 的取值范围 参考答案: 参考答案: 1 C 2 19 3 b2?4c>0,b<0,c>0,c<0,c=0 4 a<?1 5 2<m<5/2
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 王ckt@ 王王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

6 ? 2 ≤k<?1
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 王ckt@ 王王

7 (?3,2) (用韦达定理可得 b=a,c= ?6a,a<0,代入不等式即可)
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

8 1/2<m≤2/3, m∈(1/2,6?2 7 ]
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

有一根,分为四种情况讨论: (i)f(0)f(1)<0 ? 1/2<m<2/3;(ii)?=0,0<(2?m)/2<1 ? m=6?2 7 ; (iii) f(0)=0,则 m=1/2,另一根为 3/2 不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3,另一根为 1/3 符合题意
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

有两根,则 m∈ (2/3,6?2 7 )

新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

另法:可以观察二次函数 y=x2?2x?1 与 y= ?m(x+2)的图象得到结果 9
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

2 ≤a<9/4
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

10 (1)m=2 时,交点为(?1/4,0),m≠2 时, (i)一正一负,(m?2)(2m?6)<0,∴ 2<m<3,(ii)两负,1≤m<2,(iii)一根为零,一 根为负,无解,综合得 1≤m<3
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新

11 f(x)=x2?2x?1, f(1? 2 )=0
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

12 若 m=0,满足要求;若 m≠0,①原点两侧各一个根,x1x2=/1m<0,∴ m<0; ② 两根都在 原点右侧 ,则 Δ ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,解得 0<m≤1, 综合可得 :
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王王特王 新特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 .

m∈(?∞,1] 13 当 0≤t<20 时,日销售额 S=(t/2+11)(?t/3+43/3)= ?(t2?21t?22×43)/6 故当 t=10 或 11 时,Smax=176, 当 20≤t≤40 时,S=(t?41)(t?43)/3,故 t=20 时, Smax=161 综上,日销售额的最大值是 176 14 (1) ?1<m<2;(2) m≥2 或 m≤ ?1) 15 解 1:依题意,有 f(?1)>0,f 或(1)>0,即 2p2?p?1<0,或 2p2+3p?9<0,∴ ?1/2<p<1 或?3<p<3/2,∴ ?3<0<3/2 解 2: (补集法)令 f(?1)≤0,且 f(1)≤0,解得:p≤?3 或 p≥3/2,符合条件的 p∈(?3,3/2) 观察图象而得到 16 (1) 联 立 方 程 , 得 ax2+2bx+c=0, Δ =4(a2+ac+c2) , ∵ a+b+c=0,a>b>c, ∴ a>0,c<0,∴Δ>0,所以两函数的图象有两个不同交点; (2)设方程的两根为 x1,x2,
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王kc新王c王 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 王ckt@ 王王 w 新 c m 王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 . 新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王王特王 新特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 x t 2 .6 m 王 w @ 1 o 王kc新王c王 新 新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

则|A1B1|2=Δ/a2=4[(

c 1 2 3 + ) + ],∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>?(a+c)>c ,a>o, a 2 4

∴c/a ∈ (?2,?1/2),此时|A1B1|2∈(3,12),∴|A1B1|∈( 3 ,2 3 ) 17 解法一:原不等式可变形为 2cos2x?acosx+3a?1≥0,令 t=cosx∈[?1,1],由对 称轴分三种情况讨论; 解 法 二 : 原 不 等 式 可 变 形 为 ?a≤(2cos2x?1)/(3?cosx), 令 3?cosx=t, 则
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

a≤2t+17/t?12 (t∈[2,4],∴a≥12?2 34

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18 S=
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3? a + b 2 ( a + b) 2 ? ) + ?? 2( x ? ? 2 ? 4 8 ? ? ?

(0<x≤b)
A

D E H

F B

C G

(1)当 a≤3b 时,S 的最大值为 (2)当 a≥3b 时,S 的最大值为
新新新 新新新 源源源源源源源源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王王 特 新 w 新 c m 王 王ckt@ 王王 x 1 o 2 新 6 .

3 (a + b) 2 ; 16

3 (ab ? b 2 ) 2

19 最大值点只可能是端点或顶点讨论 f(?3/2)=1,f(2)=1,或顶点处的函数值为 1, a=3/4 或 a= ?3/2 ? 2 20 证明要点:a= ?(α+β), b=αβ ,分析转化条件 2|α+β|<4+αβ,|αβ|<4 是关键 21 (I) ?1≤a+b+c≤1,?1≤a?b+c≤1, ∴?1≤b≤1,?1≤a+c≤1, (II)极端化思想,由(1)可知|a+b|=|a+b+c?c|≤|a+b+c|+|?c|, ∴ |g(1)|=|a+b|≤2,|g(?1)|=|a?b|≤2 ,由于 g(x) (x∈[?1,1])的图象是一条线段,它
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的两个端点纵坐标都在区间[?2,2]内,从而整条线段上点的纵坐标都在区间 [?2,2]内,即?1≤x≤1 时,|g(x)|≤2; 22 f(1)=1, f(x)=x2/4 +x/2 +1/4
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2 ≤a<9/4(消去 y 可得: f (x) = x 2 + (1 ? 2a ) x + a 2 ? 2 = 0 )
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课前后备注

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