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3.3.1两条直线的交点坐标


几何元素及关系

代数表示

点A
直线 l

A(a, b)

l : Ax ? By ? C ? 0

点 A在直线 l上

Aa ? Bb ? C ? 0

?A a ? B b ? C ? 0 ? A11x ? B11y

? C11 ? 0 直线 l1与直线 l2的交点 A ? ? ?A a ? B b ? C ? 0 ? A22x ? B22y ? C22 ? 0

已知两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 相 交, 如 何 求 这 两 条 直 线 交 的 坐 标? 点

一、两条直线的交点:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
(1)若方程组有唯一解, (2)若方程组无解, (3)若方程组有无数解, 则l1与l2相交; 则l1与l2平行; 则l1与l2重合.

例1:求下列两直线交点坐标:
l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0; l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 解:解方程组 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0


x ? ?2, y ? 2

M

所以l1与l2的交点坐标为

l1 l2

M(-2,2).(如图所示)

练习1:求下列各对直线的交点坐标,并画出图形
(1)l1 : 2 x ? 3 y ? 12, (2)l1 : x ? 2,
答案: (1)(
36 4 , ) 7 7

l2 : x ? 2 y ? 4; l2 : 3x ? 2 y ? 12 ? 0.
(2)(2,3)

例2 判断下列各对直线的位置关系,如果相 交,求出交点坐标。

?1?

l1 : x ? y ? 0 l2 : 3x ? 3 y ? 10 ? 0

5 ? ?x ? 3 有唯一解 ? 5 ?y ? 3 ?

?2?

 l1 : 3x ? y ? 4 ? 0 l2 : 6 x ? 2 y ? 1 ? 0
l1 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 l2 : 6 x ? 8 y ? 10 ? 0

相交,交点坐标为

?5 5? ? , ? ?3 3?

无解

平行

?3?

重合

3.3.2两点间的距离

平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P1P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 :

| OP |?

x ?y
2

2

练习

P1P2 ?

?x2 ? x1 ? ? ?y2 ? y1 ?
2

2

1、求下列两点间的距离:
(1)、A(6,0),B(-2,0) (2)、C(0,-4),D(0,-1)

(3)、P(6,0),Q(0,-2)

(4)、M(2,1),N(5,-1)

解: (1) | AB |? (?6 ? 2) 2 ? (0 ? 0) 2 ? 8
(2) | CD |? (0 ? 0) 2 ? ( ?4 ? 1) 2 ? 3

(3) | PQ |? (6 ? 0) ? (0 ? 2) ? 2 10
2 2

(4) | MN |? (2 ? 5) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 13

例3 已知点A(?1,2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使 得 | PA |?| PB |, 并求 | PA | 的值.
解:设所求点为P(x,0),于是有
2 2 |PA|? (x ? 1) ?(0 ? 2) ? x2 ? 2x ? 5 2 |PB|? (x ? 2) ?(0 ? 7 )2 ? x2 ? 4x ? 11

P1P2 ?

?x 2 ? x1 ? ? ?y2 ? y1 ?
2

2

由|PA|?|PB|得 x ? 2x ? 5 ? x ? 4x ? 11
2 2

解得x=1,所以所求点P(1,0)
2 2 |PA|? (1 ? 1) ?(0 ? 2) ? 2 2

P1P2 ?
离是17,求a的值.

?x2 ? x1 ? ? ?y2 ? y1 ?
2

2

练习2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距

解: | AB |? (a ? 0) 2 ? (?5 ? 10) 2 ? 17

解得:a ? ?8

例2、证明平行四边形四条边的平方和和等于两条对 角线的平方和。 证明:以A为原点,AB为x轴 y 第一步:建立坐 D (b,c) C (a+b,c) 建立直角坐标系。 标系,用坐标表 示有关的量。 则四个顶点坐标分别为
x | AB |2 ? 坐标法? a 2 a 2 | CD |2 A (0,0) B (a,0) | AD |2 ? b2 ? c2 | BC |2 ? b2 ? c2 第二步:进行有 2 2 2 | AC | ? (a ? b) ? c | BD |2 ? (b ?关代数运算 a)2 ? c2 | AB |2 ? | CD |2 ? | AD |2 ? | BC |2 ? 2(a 2 ? b2 ? c 2 ) 2 2 2 2 2 | AC | ? | BD | ? 2(a ? b ? c ) 第三步:把代数 2 2 2 2 2 2 | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

运算结果翻译成 几何关系。 因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关 的量; 第二步:进行有关的代数运算;

第三步:把代数运算结果“翻译”所几 何关系.

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过两直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0
?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0

1? ? 3 1? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? 11 ?k ? ? ? ?2 ? ?2 4
所以直线的方程为: x ? 3 y ? 6 ? 0 4

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (3)和直线2x-y+6=0平行
解: (3) 设经过两直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0
?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0

1? ? 1? ? ?? ? 2 ?? ? 1 ?k ? ? ? ?2 ? ?2
所以直线的方程为:2 x ?

y?2?0

当?变化时, 方程 3 x ? 4 y ? 2 ? ? ( 2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形? 图形有何特点?
l1:3x+4y-2=0 l2: 2x+y+2=0. ∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

二、过两直线交点的直线系方程:
经过直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为:

( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ??为待定系数?
此直线系方程 少一条直线l2

例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点, 且满足下列条件的直线l的方程。 (1)过点(2,1)
解: (1) 设经过两直线交点的直线方程为:

x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 2) ? 0 ?(1 ? ? ) x ? (? ? 2) y ? (4 ? 2? ) ? 0
? (1 ? ? )2 ? (? ? 2)1 ? (4 ? 2? ) ? 0 ? ? ? ?4
所以直线的方程为:x ? 2 y ? 4 ? 0


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