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离散型随机变量的均值和方差


2.3.1 离散型随机变量的期望

2.3 .1 离散型随机变量的期望
问题引入

某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?

4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

能否根据分布列估计射手n 次射击

的平均环数? 在n 次射击中,预计有约: P(? ? 4) ? n ? 0.02n 次得4环, P(? ? 5) ? n ? 0.04n 次得5环, …… P(? ? 10) ? n ? 0.22n 次得10环. n 次射击的总环数约等于 (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? ? ? 10 ? 0.22) ? n n 次射击的平均环数约等于4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32

2.3.1 离散型随机变量的期望
新授课 一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布为

?
P

x1 p1

x2 p2

… xn …
pn





则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p2 ? ? ? ? ? x n pn ? ? ? ? 为 ? 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.

反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.3.1 离散型随机变量的期望
新授课 若 ? ? a? ? b ,其中a ,b 常数,则 ? 的分布列为

?
P

ax1 ? b ax2 ? b p1 p2



axn ? b pn



… …

则称 E? ? (ax1 ? b ) p1 ? (ax2 ? b ) p2 ? ? ? ? ? (axn ? b ) pn ? ? ? ? ? a ( x1 p1 ? x 2 p2 ? ? ? ? ? x n pn ? ? ? ?) ? b( p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? ? ? ?)

? aE? ? b 即 E (a? ? b) ? aE? ? b

2.3.1 离散型随机变量的期望
新授课 两种特殊分布的均值 (1)若随机变量X服从两点分布,则 EX ? (2)若 X ~ B(n, p) ,则 EX ?

p

np

2.3.1 离散型随机变量的期望
证明:服从二项分布? ~ B( n, p) 的随机变量的期望 E? ? np.
k k k k n? k 证明:?   P (? ? k ) ? C n p (1 ? p)n?k ? C n p q 0 0 n 1 1 n?1 k k n? k n n 0 ?  E? ? 0 ? C n p q ? 1? Cn p q ? ? ? ? ? kCn p q ? ? ? ? ? nC n p q

0 0 n?1 1 1 n? 2 k ?1 k ?1 ( n?1 )?( k ?1 ) ? np(C n p q ? C p q ? ? ? ? ? kC q ?1 n?1 n?1 p n?1 n?1 0    ? ? ? ? ? Cn q ) ?1 p

? np( p ? q )n?1 ? np

所以,
若? ~ B( n, p ), 则E? ? np

2.3.1 离散型随机变量的期望
例题讲解 例1、有一批数量很大的产品,其次品率是15%.对这批产 品进行抽查,每次抽出1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则 继续抽查,直到抽出次品,但每次抽查次数最多不超过10 次.求抽查次数 ? 的期望(结果保留三个有效数字).

例2:(广东.16)(本小题12分) 某运动员射击一次所得环数X的分布如下:
X P 0~6 0 7 0.2 8 0.3 9 0.3 10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩, 记为? .⑴求该运动员两次都命中7环的概率;⑵求?的分布列; ⑶求?的数学期望E? .

2.3. 离散型随机变量的方差

引入 一组数据的方差: 在一组数:x1, x2 ,… x n 中,各数据的 平均数为 x,则这组数据的方差为:
2 + ( x – x )2 +…+ ( x – x )2 ( x – x ) 1 2 n S2= n

方差反映了这组 数据的波动情况

二、新课 1、离散型随机变量的方差
若离散型随机变量的分布列为

ξ

x1

x2

Pn P1 P2 P D ξ =(x1-Eξ)2· P1+ (x2-Eξ)2· P2 + … + (xnEξ)2· Pn + …
注 叫随机变量ξ的均方差,简称方差。

… …

xn

… …

①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差,记σξ; ②、标准差与随机变量的单位相同;

③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动, 集中与分散的程度。

2、对方差的几点说明
(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于 均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值 的平均程度越小.
说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值;方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. (2)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本的不同 而变化的,因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来 越接近总体方差,因此常用样本方差来估计总体方差.

3、离散型随机变量的方差的性质

D( aξ+ b)= a2·Dξ
若η=aξ+ b,则η的分布列为 η P ax1+b P1 ax2+b P2 … … axn+b

Pn

… …

Dη=[ax1+b -E(aξ+ b)]2· P1+ [ax2+b -E(aξ+ b)]2· P2

+ …+ [axn+b -E(aξ+ b)]2· Pn + …

4、两个特殊分布的方差
(1)若 X 服从两点分布,则 证明提示:

DX ? p(1 ? p)

(2)若 X ~ B(n, p) ,则 DX ? np(1 ? p)
n

第一步求

?k C
2 k ?0
n k ?0 n

k n

p (1 ? p)
k

n?k

2 n ( n ? 1) p ? np ?

k k 2np ? kCn p (1 ? p)n ?k ? 2 2

2n2 p2

n p
第二步得

k k n?k 2 2 C p (1 ? p ) ? n p ? n k ?0

DX ? np(1 ? p)

四、小结 1、离散型随机变量的方差

D ξ =(x1-Eξ)2· P1+ (x2-Eξ)2· P2 Eξ)2· Pn + …
D( aξ+ b)= a2·Dξ

+ … + ( x n-

2、满足线性关系的离散型随机变量的方差 3、服从二项分布的随机变量的方差 Dξ=q Eξ=n p q,(q=1-p)

思考: (07安徽.20)(本小题13分) 在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇 的笼子里,不慎混入了2只苍蝇(此时笼内有8只蝇子:只果蝇和 6 2只苍 蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只 ? ? 苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.⑴写出ξ的 ? ? ? ? ? 分布列; (不要求写计算过程)⑵求数学期望Eξ;⑶求概率P(ξ ? Eξ)






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