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广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末试题数学理


深圳市高级中学高三理科期末测试题
一、选择题: 1.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,则 z ?

z2 在复平面内所对应的点位于( z1



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合 A={-1, 0, 1},集合 B={0, 1, 2, 3},定义 A

*B={(x, y)| x∈A∩B, y∈A∪B},则 A*B 中 元素个数是( ) 5 2 A.7 B.10 C.2 D.5 开始 3.在右图的程序框图中,输出的 s 的值为 ( ) A. 12 B. 14 C. 15 D. 20 4.已知 f ( x ) 是定义(-3,3)在上的偶函数,当 0<x<3 时, f ( x ) 的图象如图所 示,那么不等式 f ( x)sin x ? 0 的解集是 A. (?3, ?1) ? (0,1) C. ( ?3, ?1) ? ( ( ) s=0 i=5 s=s+i i=i-1 i<1 是 输出 s 结束 ) 否

B. (?3, ?1) ? (0,1) ? (1,3) D. ( ?3, ?

?
2

,3)

?

) ? ( ,3) 2 2

?

5.值域为{2,5,10},其对应关系为 y ? A . 1 B. 27 C.

x

2

? 1的函数的个数
D. 8





39

6.设函数 f (x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N ,则满足方程 f (x) ? log2 x 根的个 数是( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 7.在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( A

2 3 ? R3 9

B

4 3 ? R3 9

C

2 3 ? R3 3

D ?R

4 9

3

8.袋中装有 m 个红球和 n 个白球, m ? n ? 4 ,现从中任取两球,若取出的两球是 同色的概 率等于取出的两球是异 色的概率 ,则 满足关系 m ? n ? 40 的 数组

?m, n? 的个数为 A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题,考生只能从 中选做一题.

?4 x ? y ? 9 ? 0, ? 9.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x -3 y 的最大值是 ?y ? 3 ?
10.如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? 2 ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )= 11.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn .若 a3 ? 20 ? a6 ,则 S8 等于

.

. .

12.已知曲线 y ? x2 ?1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x3 在 x ? x0 点处的切线互相平行,则 x0 的值 为 . 13.给出下列命题中 ① 向量 a、 满足 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为 30 ; b
0

? ?

?

?

? ?

? ? ?

② a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件; b ③ 将函数 y = x ? 1 的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y = x ; ④ 若 ( AB? AC) ? ?( AB? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形; 以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) . 14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,圆 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 上的动点到直线
?? ??
?? ??

? ?

? cos? ? ? sin ? ? 7 ? 0 的距离的最大值是
若 AD=1, ?ABC ? 30? ,则圆 O 的面积是_________。

15. (几何证明选讲选做题)如图, 是圆 O 的直径, AB 直线 CE 和圆 O 相切于点 C,AD ? CE 于 D,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分) △ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 设向量 m ? (a,cos B), n ? (b,cos A)且m// n m ? n. , (1) 求 sin A ? sin B 的取值范围;(2)若 abx ? a ? b, 试确定实数 x 的取值范围.

??

?

?? ? ?? ?

17. (本小题满分12分) 计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格” ,两 部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书” 。甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概
3 2 5 7 3 9 率分别为 , , ;在上机操作考试中合格的概率分别为 , , 。所有考试是否合格相互之间没 4 3 6 8 5 10

有影响。 (Ⅰ)甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大? (Ⅱ)求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率; (Ⅲ)用 ? 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数,求 ? 的分布列和数学期望 E? 。

B1 C1
1

A1 AA AA
1

D

18. (本小题满分14分) 正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面边长为 4, 侧棱长为 4,D 为 AA A1 的中点, 1 (1)求 AB 与 CD 所成角的余弦值; (2)求二面角 B ? CD ? A 的大小的正切值; (3)求三棱锥 C1 ? BCD 的体积。 19. (本小题满分14分) 已知数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 {bn }中, b1 = 1 ,点 P(bn , bn+ 1) 在直 线 x ? y ? 2 ? 0 上。 ⑴求 a1 和 a2 的值; ⑵求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; ⑶ 设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 20. (本小题满分14分) 已知曲线 C : 比为 ? A B C

??? ? y2 ? x2 ? 1 ; (1)由曲线 C 上任一点 E 向 x 轴作垂线,垂足为 F ,点 P 分 EF 所成的 m

1 。问:点 P 的轨迹可能是圆吗?请说明理由; 3

(2) 如果直线 l 的斜率为 2 , 且过点 M (0, ?2) , 直线 l 交曲线 C 于 A ,B 两点, | MA | ? | MB |? 又 求曲线 C 的方程。 21. (本小题满分14分) 已知集合 D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k (I)设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.

????

????

9 , 2

? .其中 k

为正常数.

1 1 k 2 (II)求证:当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; x1 x2 2 k 1 1 k 2 2 对任意 ( x , x ) ? D 恒成立的 k 的范围. (III)求使不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 1 2 x1 x2 2 k

理数答案 1. 解: z ?

4 3 z2 1 ? 2i (1 ? 2i )(2 ? i ) 4 ? 3i ,故 z 在复平面所对应的点的坐标为 ( , ) ,选 A。 ? ? ? 5 5 z1 2?i (2 ? i )(2 ? i ) 5

2.解:A∩B={ 0, 1},A∪B {-1, 0, 1, 2, 3},x 有 2 种取法, y 有 5 种取法由乘法原理得 2×5=10, 故选 B。 3.C 4.解:由已知 f ( x ) 在 (0,3) 图像我们可以得到在(-3,3)上的整体图像,加上正弦函数的图像性质由数 形结合思想可得到答案 A. 5.解:分别由 x
2

? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 5, x2 ? 1 ? 10 解得 x ? ?1, x ? ?2, x ? ?3 由函数的定义,定义域中元

素的选取分四种情况:
1 1 1 1 1 ○取三个元素:有 C2 ? C2 ? C2 ? 8 C2 种

1 1 1 2 ○取四个元素:先从 ?1, ?2, ?3 三组中选取一组 C3 再从剩下的两组中选两个元素 C 2 ? C 2 ,故共有

1 1 1 C3 ? C2 ? C2 ? 12种; 5 3 ○取五个元素: C6 =6 种;

4 ○取六个元素:1 种。 由分类计数原理,共有 8+12+6+1=27 种。 6.方法一:详细画出 f(x)和 g(x)在同一坐标系中函数图象,由图 5 中不难看出有三个交点,故选 C

方法二:①当 n ? 0 时, f ( x) ? ?1, x ? [0,1) ,则 log 2 x ? ?1 ? x ? ②当 n ? 1 时, f ( x ) ? 0, x ? [1,2) ,则 log2 x ? 0 ? x ? 1?[1,2) ③当 n ? 2 时, f ( x ) ? 1, x ? [2,3) ,则 log2 x ? 1 ? x ? 2 ?[2,3) ④当 n ? 3 时, f ( x ) ? 2, x ? [3,4) ,则 log2 x ? 2 ? x ? 4 ?[3,4) ⑤当 n ? 4 时, f ( x ) ? 3, x ? [4,5) ,则 log2 x ? 3 ? x ? 8 ?[4,5)

1 ? [0,1) 2

由此下区 x 的解成指数增长,而区间成正比增长,故以后没有根了!所以应选 C。 7.解:设圆柱的高为 h,则圆柱的底面半径为 R2 ? h2 ,圆柱的体积为 V= ? ( R2 ? h2 )h = ?? h ? ? R h
3 2

(0<h<R), V ? ? ?3? h ? ? R ? 0 , h ?
2 2

R 2 3 时 V 有最大值为 V ? ? R3 。 9 3

8.记“取出两个红球”为事件 A, “取出两个白球”为事件 B, “取出一红、一白两球”为
2 2 2 2 1 1 2 事件 C,则 P? A? ? C m / C m? n , P?B? ? C n / C m?n , P?C ? ? C m C n / C m? n 。依题意得: P? A? ? P?B ? ? P?C ? ,得 2 2 1 1 C m ? C n ? C m ? C n 。所以 m ? n ? ?m ? n?2 ,由 m ? n ? 4 , m ? n ? 40 ,得

9 ? m ? n ? 40。解得 ?m, n ? ? ?6,3?, ?10,6?, ?15,10?, ?21,15? ,故符合题意的数组 ?m , n ? 有 3 个。

y 9.解:作出不等式组表示的平面区域如图: 作直线 l: x-3y=0, 平移直线 l,当直线 l 经过 4x+y-9=0 与 x-y -1=0 的交点 P(2, 1)时,目标函数 z=x-3y 取得最大值 z=2-3× 1=-1,∴x-3y 的最大值为-1. 4x+y-9=0 x- y -1=0
3 1

l1 P(2, 1) 2 l:x-3y=0 x

o 10.解析:如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,
2

? P( ?3 ? ? ? ?1 )= ?(

?1 ? (?1)

?

) ? ?(

?3 ? (?1)

?

2 2 ) ? 0.5 ? ?(? ) ? ?( ) ? 0.5 ,

?

?

2 1 ? (?1) 2 ∴ ?( ) ? 0.9 , ∴P( ? ? 1 )= 1 ? ?( ) ? 1 ? ?( ) ? 0.1 。 ? ? ? 11. 80 .

12.

x0 ? 0 或 x0 ? ?

2 3



13. 【标准答案】 对于 ① 取特值零向量错误,若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概念正确; 对②取特值夹角为直角错,认识数量积和夹角的关系,命题应为 a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的必 b 要条件; 对于③,注意按向量平移的意义,就是图象向左移 1 个单位,结论正确; 对于④;向量的数量积满足分配率运算,结论正确; 14. 4 2 ?2 15. ____ 4? _____。 .

? ?

16.解:因为 m ? (a,cos B), n ? (b,cos A)且m// n , 所以 a cos A ? b cos B ,-------------------------------------------1 分 由正弦定理,得 sin A cos A ? sin B cos B , 即 sin 2 A ? sin 2 B -------------------------------------------------2 分 又 m ? n, 所以 2 A ? 2B ? ? , 即

??

?

?? ?

??

?

A? B ?

?
2

.--------------------------------------------------------3 分

(1) sin A ? sin B = sin A ? sin(

? A) ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ------4 分 2 4 ? ? ? 3? ? 0 ? A ? ,? ? A ? ? , 2 4 4 4

?

?

?1 ? 2 sin( A ? ) ? 2 4 因此 sin A ? sin B 的取值范围是 ?1, 2 ? -----------------------------6 分 ? a?b (2)若 abx ? a ? b, 则 x ? , ab a ? b sin A ? sin B sin A ? cos A ? ? 由正弦定理,得 x ? --------------8 分 ab sin A ? sin B sin A ? cos A 2 设 sin A ? cos A = t ? ?1, 2 ? ,则 t ? 1 ? 2sin A cos A ,
?

?

所以 sin A cos A ? 即x?

t ?1 -------------------------------------------10 分 2
2

t 2t 2 2 ? ? ? ?2 2 1 t 2 ?1 t 2 ?1 t ? 1 2? t 2 2 所以实数 x 的取值范围为 ?2 2, ?? ? .----------------------------------12 分 ?

17.解:记“甲理论考试合格”为事件 A , “丙理论考试合格”为事件 A3 , 1 “乙理论考试合格”为事件 A2 , 记 Ai 为 Ai 的对立事件, i ? 1, 2,3 ;记“甲上机考试合格”为事件 B1 , “乙上机考试合格”为事件 B2 , “丙 上机考试合格”为事件 B3 。 (Ⅰ)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A,记“乙计算机考试获得合格证书”为事件 B,记

2 7 7 3 9 27 3 5 5 “丙计算机考试获得合格证书”为事件 C,则 P( A) ? ? ? , P( B) ? ? ? , P(C ) ? ? ? , 5 10 50 4 6 8 3 8 12 有 P( B) ? P(C ) ? P( A) ,故丙获得“合格证书”可能性最大; ??3 分
(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件 D 。

P ? D ? ? P ?? A1 ? B1 ? ? ? A2 ? B2 ? ? ? A3 ? B3 ? ? ? ?

? P ? A1 ? B1 ? ? P ? A2 ? B2 ? ? P ? A3 ? B3 ? ? P ? A1 ? ? P ? B1 ? ? P ? A2 ? ? P ? B2 ? ? P ? A3 ? ? P ? B3 ?
3 9 3 5 2 7 × × × × × 5 10 4 6 3 8 63 = , 320
= 所以,这三人该课程考核都合格的概率为
63 。???????7 分 320

(Ⅲ)用 ? 表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数,则 ? 可以取 0,1,2,3,故 ? 的分布列如下:

?
P( ? )

0
1 30

1
13 60

2

3
3 10

9 20
??10 分

? 的数学期望:
E? =0×
1 13 9 3 19 +1× +2× +3× =2 ???????12 分 60 20 10 30 60

18.作 CE∥AB,AE∥BC,CE 与 AE 交于 E,则∠DCE 是 AB 与 CD 所成角,AA1⊥平面 ABC,∴△ACD 和△AED 都是直角三角形,由勾股定理可求得 CD=ED= 20 , 由余弦定理可求得 cos∠ECD=

5 , (4 分) 5
B1 M1 C1 H O B M C F

A1

(2)面 ACC1A1⊥面 ABC,交线为 AC,作 BF⊥ AC 于 F,则 BF⊥面 ACC1A1。 作 FO⊥CD 于 O,连 BO,由三垂线定理知,BO ⊥CD,则∠BOF 是二面角 B-CD-A 的平面角。 由△COF∽△CAD 可求得 OF=

D

2 5



A

正三角形 ABC 中,BF=

2 3 ,在△BFO 中,

E

可求得 tan∠BOF= 15 , (8 分) (3)可证 B1C1∥平面 BCD,取 B1C1 中点 M1,则 C1 、M1 与平面 BCD 距离相等,取 BC 中点 M,连 AM、M1M、 M1 A1, 可证面 AMM1A1⊥面 BCD, M1H⊥MD 于 H, M1H⊥面 BCD, 作 则 ∵可求得∠DMA= 30 , ∴∠M1MD= 60 ,1H=4sin M
0 0

∠M1MD=2 3 ,∴VC1-BCD=

1 16 3 S△BCDM1H= 。(12 分) 3 3

19. (1)∵ an 是 S n 与 2 的等差中项, ∴ S n ? 2an ? 2 。 ∴ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2,解得a1 ? 2。 ????1 分

a1 ? a2 ? S2 ? 2a2 ? 2,解得a2 ? 4。
(2)? Sn ? 2an ? 2, Sn?1 ? 2an?1 ? 2,

????3 分

又Sn-Sn?1=an,(n ? 2, n ? N * )
? an ? 2an ? 2an?1 , ? an ? 0,
?


an ? 2,(n ? 2, n ? N * ),即数列?an ? 是等比数列。 an?1
????6 分

∵a1=2,∴ an ? 2 n 。

?点(bn , bn?1 )在直线x-y+2=0上, bn ? bn?1+2=0 。 P ?
∴ bn ?1 ? bn ? 2,即数列 bn ? ? 是等差数列,又 1 ? 1, bn ? 2n ? 1。 b ? (3)?cn= n ?1)2n , (2 ????8 分

?Tn=a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ?1)2n , ?2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ?? (2n ? 3)2n ? (2n ?1)2n?1 。
因此: ?Tn ? 1? 2+(2 ? 22+2 ? 23+?+2 ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 , 即: ?Tn ? 1? 2 ? (23 ? 24 ? ?? 2n?1) (2n ?1)2n?1 , ? ∴ Tn ? (2n ? 3)2 n?1 ? 6 。 20. (1) 设E( x0 , y0 ), P( x, y), 则F ( x0 ,0)

????10 分

12 分

??? ? ??? ? ? 1 1 ??? ?点P分 EF所成的比为 ? ,? EP ? ? PF 。 3 3

? x0 ? x 1 ? ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? ? ( x0 ? x, ? y ) 。? ? 2 3 ? y0 ? 3 y ?
代入

??? 3 分

y0 2 4 y2 ? x0 2 ? 1中, 得 ? x 2 ? 1为P点的轨迹方程 。 m 9m
??? 6 分

4 当m ? 时,轨迹是圆. 9
(2) 由题设知直线l的方程为 y ? 、

2x ? 2 ,

? y ? 2x ? 2 ? , 消去y得 : (m ? 2) x 2 ? 4 2 x ? 4 ? m ? 0 。 设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 联立方程组 ? y 2 2 ? x ?1 ? ? m
?方程组有两解 ,? m ? 2 ? 0且? ? 0 。
? m ? 2或m ? 0且m ? ?2 。
???? ???? 9 又已知 | MA | ? | MB |? , M 、 A 、 B 三点共线 , 2
???10 分

??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ???? ? 由向量知识得 | MA | ? | MB |? MA ? MB或 | MA | ? | MB |? ?MA ? MB 。

??? ???? ? 而MA ? MB ? x1x2 ? ( y1 ? 2) ? ( y2 ? 2) ? x1x2 ? 2x1 2x2 ? 3x1x2 。
? x1 x2 ? 3 3 (或 ? ) 。 2 2 4?m 4?m 3 3 又 ? x1 x2 ? ? (或 ? ) 。 ,? m?2 m?2 2 2 2 解得m ? (舍)或m ? ?14 。 5

y2 ?曲线C的方程是x ? ?1。 14
2

???14 分

21.(I) x1 x2 ? (

k x1 ? x2 2 k 2 ) ? ,当且仅当 x1 ? x2 ? 时等号成立, 2 2 4

k2 ] . 分) (3 4 x x 1 1 1 (II) 变形,得 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1
故 u 的取值范围为 (0,

? x1 x2 ?

2 x2 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? 1 ? x1 x2 ? ?2?u? ? 2 . (5 分) x1 x2 x1 x2 x1x2 u

k2 k 2 ?1 k2 2 ? 2 在 (0, ] 上是增函数, ,又 k ? 1 , k ? 1 ? 0 ,∴ f (u ) ? u ? u 4 4 2 2 2 2 k k ?1 k 4 2 k k ?1 1 1 ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 . ?2 ? 所以 ( ? x1 )( ? x2 ) ? u ? k 4 4 k k 2 u x1 x2 4 1 1 k 2 2 即当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 成立. (9 分) x1 x2 2 k
由0 ? u ? (III)令 (

1? k 2 k 2 k2 1 1 ? 2 ? f (u ) ,则 ( ? ) 2 ? f ( ) , ? x1 )( ? x2 ) ? u ? u 2 k 4 x1 x2 k2 k2 ) 对 u ? (0, ] 恒成立的 k 的范围. (10 分) 4 4

即求使 f (u ) ? f (

由(II)知,要使 (
2

1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立,必有 0 ? k ? 1 , x1 x2 2 k
2

因此 1 ? k ? 0 ,∴函数 f (u ) ? u ? 1 ? k ? 2 在 (0, 1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递增,
u

要使函数 f (u ) 在 (0,

k k2 k2 ] 上恒有 f (u ) ? f ( ) ,必有 ? 1 ? k 2 , 4 4 4
5?2 . (14 分)

2

4 2 即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2


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