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变量间的相关关系、统计案例


第3讲 变量间的相关关系、统计案例

基础诊断

? 夯基释疑
? 考点一:相关关系的判断

概 要

考点突破

? 考点二:线性回归直线方程的求法

? 考点三:独立性检验

课堂小结

? 思想方法 ? 易错防范

夯基释疑
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系, 也是一 种因果关系.( ) (2) 散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和 手段.( ) (3)通过回归方程^ y =^ b x+^ a 可以估计和观测变量 y 的取 值和变化趋势.( ) (4)事件 X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.( ) (5)由独立性检验可知, 有 99%的把握认为物理成绩优秀 与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有 99%的可能物 理优秀.( )

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考点突破 考点一 相关关系的判断
例 1 (1)在一组样本数据(x1, y1), (x2, y2),?, (xn, yn) (n≥2, x1, x2,?,xn,不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi, yi) 1 (i=1,2,?n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数据的样本相关系 2 1 数为 ( )A.-1 B.0 C. D.1 ((2)见下页) 2

解析(1)所有点均在直线上
则样本相关系数最大即为 1

答案

1

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考点突破 考点一 相关关系的判断
(2)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得 散点图(1);对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10), 得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
解析由图(1)可知,各点整体呈递减趋势,x 与 y 负相关;由图

(2)可知,各点整体呈递增趋势,u 与 v 正相关.答案
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C
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考点突破 考点一 相关关系的判断

规律方法
判断变量之间有无相关关系, 一种简便可行的方法就是绘制 散点图, 根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性, 是不是存在线性相关关系,是正相关还是负相关,相关关系是 强还是弱.

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考点突破 考点一 相关关系的判断
【训练 1】(1)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之 间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y =2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y =-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y =5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y =-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④
解析

(1)由回归方程y =b x+a 知 ^ 当b >0 时,y 与 x 正相关,

^

^

^

当b <0 时,y 与 x 负相关,

^

∴①④一定错误.
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考点突破 考点一 相关关系的判断
【训练 1】(2)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3, 2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) ;变量 U 与 V 相对应的一组数 据为(10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) (13,1) 。r1 表示变 量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相 关系数,则 ( ) A.r2< r1<0 B.0<r2< r1 C.r2<0< r1 D.r2= r1
解析 对于变量 X 与 Y 而言,Y 随 X 的增大而增大,

故 Y 与 X 正相关, 即 r1>0;

对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减小,
故 V 与 U 负相关, 即 r2<0,所以选 C.

答案

C

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考点突破 考点二 线性回归直线方程的求法
例 2 (2015· 重庆卷)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增
长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 2010 2011 2012 2013 2014 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10 (1)求 y 关于 t 的回归方程y=bt+a; (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款.
^ ^ ^

? t iy i- n t y
附:回归方程y=bt+a中, b =
^ ^ ^ ^ i= 1 2 ? t2 i -n t i= 1 n

n

t. a = y - b t

^

^

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考点突破 考点二 线性回归直线方程的求法
解析 (1)列表计算如下
i 1n 15 1n 36 1 这里 n=5,t = ?ti= =3,y = ?yi= =7.2. ni=1 ni=1 5 5 2 n 3 2 2 2 又 ?ti -n t =55-5×3 =10, 4 i= 1 n 5 ?tiyi-n t y =120-5×3×7.2=12. ∑ =
i 1

ti 1 2 3 4 5 15

yi 5 6 7 8 10 36

t2 i 1 4 9 16 25 55

t iy i 5 12 21 32 50 120

? t iyi- n t y
从而b =
^ i= 1 2 ? t2 i -n t i= 1
^

n

n

^ ^ 12 t= =1.2, a = y -b t =7.2-1.2×3=3.6, 10

故所求回归方程为y=1.2t+3.6. (2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为

y=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).
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^

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考点突破 考点二 线性回归直线方程的求法 规律方法
(1)正确理解计算b,a的公式和准确的计算是求线性回归方程 的关键. ^ ^ ^ (2)回归直线方程y =bx+a必过样本点中心( x , y ). (3)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点 图来确定两个变量之间是否具有相关关系, 若具有线性相关关系, 则可通过线性回归方程来估计和预测.
^ ^

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考点突破 考点二 线性回归直线方程的求法
【练习 2】从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得 第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据 资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184, ?x2 i =720.
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 10 10 10 10

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程y =b x+a ; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

^

^

^

?xiyi-n x y
附:线性回归方程y =b x+a 中,b =
^ ^ ^ ^ ^ ^ i= 1 2 ?x2 i -n x i= 1 n

n



a = y -b x ,其中 x , y 为样本平均值.
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考点突破 考点二 线性回归直线方程的求法
1n 20 1n 80 解(1) 由题意知 n=10,x =n ?xi= =8, y =n ?yi=10=2, 10 i=1 i= 1
2 2 又 x2 i -n x =720-10×8 =80. i= 1 10

?

n

?xiyi-n x y =184-10×8×2=24.
i= 1

n

?xiyi-10 x y
2 ?x2 i -10 x i= 1 10

由此得b =

^

i= 1

24 = =0.3, 80
^

a = y -b x =2-0.3×8=-0.4,故所求回归方程为 y =0.3x-0.4. ^ (2) 由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b =0.3>0), 故 x 与 y 之间是正相关. (3) 将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 ^ y =0.3×7-0.4=1.7(千元).
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^

^

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考点突破 考点三 独立性检验
【例题 3】 某学生对其亲属 30 人的饮食习惯 进行了一次调查,并用下图所示的 茎叶图表示 30 人的饮食指数.(说 明:图中饮食指数低于 70 的人, 饮食以蔬菜为主; 饮食指数高于 70 十位 的人,饮食以肉类为主) 饮食指数 个位 个位 (1) 根据以上数据完成下列 主食蔬菜 主食肉类 合计 2×2 列联表: 50 岁以下 4 8 12 (2) 能否有 99% 的把握认为 50 岁以上 2 16 18 其亲属的饮食习惯与年龄有 20 30 合计 10 参考数据: 关?并写出简要分析.
P(K ≥k ) 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解析 (1) 2×2 列联表如上: 2 30 × ? 8 - 128 ? (2) 因为 K2= =10>6.635, 12×18×20×10 所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
2 0 0

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考点突破 考点三 独立性检验

规律方法
(1)独立性检验的关键是正确列出 2× 2 列联表,并计算出 K2 的值. (2)弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系,根 据题目要求作出正确的回答.

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考点突破 考点三 独立性检验
训练 3 (2016· 石家庄模拟)为了判断高中 三年级学生选修文理科是否与性别有关, 现随机抽取 50 名学生,得到 2×2 列联表 男 如下: 女 2 已知 P(K ≥3.841)≈0.05, 总计 2 P(K ≥5.024)≈0.025. 理 科 13 7 20 文 总计 科 10 23 20 27 30 50

2 50 ×( 13 × 20 - 10 × 7 ) 根据表中数据,得到 K2= ≈4.844,则认 23×27×20×30

为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________.

解析 由 K2=4.844>3.841. 故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为 5%. 答案 5%
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课堂小结

思想方法
1.求回归方程,关键在于正确求出系数^ a ,^ b ,由于^ a ,^ b 的计算 量大, 计算时应仔细谨慎, 分层进行, 避免因计算而产生错误.(注 意线性回归方程中一次项系数为^ b ,常数项为^ a ,这与一次函数的 习惯表示不同.) 2.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决:(1) 确定特定量之间是否有相关关系,如果有就找出它们之间贴近的 数学表达式;(2)根据一组观察值,预测变量的取值及判断变量取 值的变化趋势;(3)求出线性回归方程.

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课堂小结

易错防范
1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方 法,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际 意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义 .根据回归方程进行 预报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值. 2.独立性检验中统计量 K2 的观测值 k 的计算公式很复杂,在 解题中易混淆一些数据的意义,代入公式时出错,而导致整个计 算结果出错.

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(见教辅)

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