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2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛


2013 年全国高中数学联赛黑龙江省预赛

一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U=R,集合 N= 集合为( ). (A) ≤ 0 (B) 2 ≤ ≤ 4 (C) 0 < ≤ 2 或 x ≥ 4 (D) 0 ≤ < 2 或 x > 4
2 3 4 2013 1 2

≤ 1 M= 2 ? 6 + 8 ≤ 0 ,则图中阴影部分所表示的

N

M

(第 1 题) 2. i 为虚数单位,则 i+ + + ?+ =(). (A)i (B)-i (C)0 (D)1 3. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( ). (A) 所有实数的平方都不是正数 (B) 有的实数的平方是正数 (C) 至少有一个实数的平方不是正数 (D) 至少有一个实数的平方是正数 4. 直线 l 过抛物线 C: 2 =4y 的焦点且与 y 轴垂直, 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( (A)

) .

4 3

(B)2

(C)

8 3

(D)

16 2 3

5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名 学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为( ). (A)24 (B)30 (C)36 (D)81 6.设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( ) (A)4+ (C)4+

5π 2 π 2
2 2 3 1

(B)4+

3π 2

(D)4+

2

2 1 侧视图

2 2 俯视图

正视图

7.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,

开始

输入 X

n=1

则输出的 x 不小于 55 的概率为( (A)

).

1

3 2 (B) 3
(C) (D)

3 8 5 8

8.定义在 R 上的函数 f(x)在(?∞,2)上是增函数, 且 f(x+2)的图像关于 y 轴对称,则( ). (A) f (-1) < f (3) (B) f (0) > f (3) (C) f (-1) = f (3) (D) f (0) = f (3)

9.化简

4 sin 2 ( 4 +α ) tan

sin 4

( 4 ?α )



=(

).

(A)cos 2 (C)cos

(B)sin 2 (D)sin

10.设1 ,2 分别是双曲线 2 — 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在 一点 P,使( + 2 ) ? 2 = 0,O 为坐标原点,且 1 = 3 2 ,则该双曲线的离心 率为( ). (A) 6+ 2 (B) 3+1 (C)

2

2

3+1 2

(D)

6+ 2 2

11.在直三棱柱 A1 B1 C1—ABC 中,∠BAC= ,AB=AC=A A1.已知 G 与 E 分别为 A B1 和 CC1 的中



2

点,D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点).若 GD⊥EF,则线段 DF 的长度的 取值范围为( ). (A)[

1 5

,1)

(B)[ ,2) (D)[

1

(C)[1,2)

5 1

5

, 2)

12.已知正项等比数列{ }满足7 =6 +25 , 若存在两项 、 使得 =41 , 则 的最小值为( (A) ). (B)

1



+

4

25 3

25 6

(C)

5 3

(D)

3 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

? + 2 ≤ 0, 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ≥ 1, + ? 7 ≤ 0,

则 取值范围是_________.

y



14.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x .若对任意的 x∈[a, a+2], 不等式 f(x+ a)≥ 2f(x)恒成立,则实数 a 取值范围是_________. 15. 已知 =1, =3, ? = 0, 点 C 在∠AOB内, 且∠AOC=30° , 设=m +n(m, n∈ R),则

2

m

=_________.
2

16.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两个顶点在抛物线 y= x 上,则该正 方形面积的最小值_________. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知函数 f(x)= (1)当 x∈[-

3 1 sin 2 -cos 2 - ,x∈R. 2 2

,5 ]时,求函数 f(x)的最小值和最大值; 12 12 (2)设三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,且 c= 3,f(c)=0, A 若向量=(1, sin )与向量=(2, sin )共线,求 a、b 的值.
18.(12 分)如图,在正三角形 ABC 中,点 D、E 分别在边 AC、AB 上,且 AD=

1 2 AC,AE= 3 3
E F B

D

AB,BD、CE 相交于点 F. (1)求证:A、E、F、D 四点共圆; (2)若正三角系 ABC 的边长为 2,求 A、E、 F、D 所在圆的半径.
*

C 第 18 题

19.(12 分)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球(n≥ 2,且 n ∈ N ) ,每次从袋中摸出两 个球 (每次摸球后把这两个球放回袋中) , 若摸出的两个球颜色相同为中奖, 否则为不中奖。 (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P; (2)若 n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p) ,当 n 为何值时,f(p)取最大值. 20.(12 分)数列{ }的前 n 项和为S ,满足1 =1,3tS —(2t+3)S?1 =3t,其中 t >0, * n∈ N 且 n≥ 2. (1)求证:数列{ }是等比数列; (2)设数列{ }的公比为 f(t) ,数列{ }满足1 =1, =f( 项式; (3) 记 = 1 2 - 2 3 + 3 4 - 4 5 + ? +2?1 2 - 2 2 +1 , 求证: ≤ ?
1
?1

)(n≥ 2),求 的通

20 . 9

21.(12 分)已知1 (-1,0) 、2 (1,0) ,圆2 :(x ? y) + y 2 = 1,一动圆在 y 轴右侧

2

与 y 轴相切,同时与圆2 相外切,此动圆的圆心轨迹为曲线 C,曲线 E 是以1 、2 为焦点 的椭圆. (1)求曲线 C 的方程; (2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P,且 1 =

7 ,求曲线 E 的标准方程; 3

(3)在(1) 、 (2)的条件下,直线 l 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点 M 在曲 线 C 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 22.(12 分)设 f(x)=

ln (1+x) (x>0) .

(1)判断函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式ln (1 + x)< ax 在(0,+∞)上恒成立, 若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,试说明理由; (3)求证(1+ )

1

n

< e,n ∈ N (其中 e 为自然对数的底数).

*

解答 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.A 12.D 13.[

9 5

, 6]

14.[ 2 , +∞ )

15. 3

16.80

17. f(x)=

3 1 sin 2 -cos2 2 2 1 3 = sin 2cos 2 -1 2 2 = sin (2 ? )-1 6 ,5 ],所以 12 12

因为 x∈[-

2 ≤ 2x ≤ 3 6 3 3 ≤ sin (2 ? )≤ 1,从而 2 6

所以-1 -

3 ≤ sin (2 ? )- 1 ≤ 0 2 6 3 ,最大值是 0. 2

则,f(x)的最小值是 -1 (2)f(C)= sin (2 ?

)- 1 = 0 ,则 sin (2 ? )= 1 6 6 11 因为 0 < C < ,所以 < 2C < ,所以 2C = ,解得 C= 6 6 3 6 6 2
因为向量 =(1, sin )与向量 =(2, sin )共线,所以 sin = 2 sin ,由正 弦定理得, b = 2 由余弦定理得, 2 = 2 + 2 -2 bcos ,即

3

2 + 2 - 2=3 解得 = 1,b = 2

18.(1)因为 AE=

1 2 AB,所以 BE= AB. 3 3 1 AC,所以 AD=BE. 3

因为在正三角形 ABC 中,AD=

又因为 AB=BC,∠BAD = ∠CBE,所以三角形 BAD?三角形 CBE,所以∠ADB = ∠BEC即 ∠ADF + ∠AEF=π,所以 A、E、F、D 四点共圆. (2)如图,取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=DE= AE 因为 AE= AB, 所以 AG=GE= AB= AG = AD =

1 2

2 3

1 3

由于 A、E、F、D 四点共圆 G,其半径为

2 ,所以点 G 是三角形外接圆的圆心且圆 G 的半径为 . 3 3 2 3

2 , ∠DAE = 60° ,所以?AGD 为正三角形,所以 GD = 3 A 2

.

G E F B

D

2 19.(1)一次摸球从 n+2 个球中任选两个,有 +2 种选法, 2 2 其中两球颜色相同有 +2 种选法;一次摸球中奖的概率

C 第 18 题

2 + 2 2 2 ?+2 P= 2 = 2 +2 +3+2

.

(2)若 n=3,则一次摸球中奖的概率 P= 有一次中奖的概率是
1 3 (1)= 3 ? P? (1 ? P)2 =

2 ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球中恰 5

54 125

.

1 (3) 设一次摸球中奖的概率是 p ,则三次摸球恰有一次中奖的概率是 f ( p ) = 3 ?p? 2 3 2 (1 ? p) =3 -6 +3p,0<p<1. 因为 f‘(p)=92 -12p+3=3(p-1) (3p-1) ,

所以 f(p)在(0, )是增函数,在( ,1)是减函数,所以当 p= 时,f(p)取最

1 3

1 3

1 3

大值. 所以 p= 2 = (n≥ 2,n ∈ N ),所以 n=2,故 n=2 时,三次摸球中恰有一 3 +3+2 次中奖的概率最大. 20.(1)当 n≥2 时,3tS —(2t+3)S?1 =3t, ① 3tS +1 —(2t+3)S =3t ②

2 ?+2

1

*

+1 2+3 ②-①得:3t +1 -(2t+3) =0,所以 = .


3

所以{ }是首项为 1,公比为 (2)f(t)=

2 +3 3

的等比数列.

2 +3 3

,代入得 = ?1 +

2 3

,所以 - ?1 =

2 3

,则

= 1+(n-1)?

2 3

=

2 3

n +

1 3

(3) =2 ( 1 -3 ) + 4 (3 -5 ) + ? +2 (2?1 - 2 +1 ) = -

4 (2 +4 + ? +2 ) 3

4 = 3
= -

?

(3 + 3 ) 2
= -

5 4 +1

2n (4n+6) 9

4 9

(22 + 3)

当 n ≥ 1 时,22 + 3递增,所以 ≤-

20 9

21.(1)设动圆圆心的坐标为(x,y) (x>0). 因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切,同时与圆 2 相外切,所以 2 -x=1 ,所以 (x ? 1) + 2 = x + 1,化简处理得 2 = 4 ,曲线 C 的方程 2 = 4 (x>0). (2)依题意,c=1, 1 = 得 2 = 1 + 2 = 4 , = 2 . 所以2 = 2 ? 2 =3,所以曲线 E 的标准方程为
2

7 3

,可得 =

2 3

,所以 2 =

5 3

,又由椭圆的定义

2 2 + =1; 4 3 2 =1 联立得 3


(3)设直线 l 与椭圆 E 焦点 A(1 ,1 ) 、B(2 ,2 ) ,A、B 的中点的坐标为(0 ,0 ). 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠ 0,m ≠ 0)与 (3+4 2 ) 2 +8kmx+42 -12=0 由?>0 得, 4 2 - 2 +3 > 0. 由根与根的关系得1 +2 =? 将 M(?

2 4

+

,所以0 = 3+4 2

8

?

,0 = 3+4 2

4

?

3 3+4 2

.

4 3+4 2

,?

3 3+4 2

)代入 2 = 4 ,整理得
2

m = -

16(3+4 ) . 9 8 3



将②代入①得 162 2 (3+4 2 )< 81. 令 t=4 2 (t>0)则 64 2 + 192t -81 < 0,所以 0<t< .所以22.(1)因为 f(x)= f’(x)=

6 6 <k< 且 k≠ 0. 8 8

ln (1+x) (x>0),所以 ?ln (1+x) +1 2
(x>0)
+1

设 g(x)= g’(x)=

? ln (1 + x)(x≥ 0).所以
2

1+?

( +1)

-

1 +1

=

?

( +1)

2 ≤ 0,

所以 y= g(x)在[0,+∞ )上为减函数,所以 g(x)= 所以
?ln (1+x) +1 f’(x)= ≤0 2



+1

? ln (1 + x) ≤g(0)=0

所以函数 f(x)=

ln (1+x) 在[0,+∞ )上为减函数.
1

(2)ln 1 + x < 在(0,+∞ )上恒成立, 设h (x) =ln 1 + x - ,则 h (0) =0, 所以 h’ (x) = +1 – , 若 ≥1, 则 x≥ 0 时,h’ (x) = +1 – ≤ 0 恒成立,所以 h(x)= ln 1 + x - 在[0,+∞ )上为减函数. 所以 ln 1 + x - < h(0) =0 在(0,+∞ )上恒成立,若 a≤ 0,h’(x)= +1 – >0,所以 h(x)= ln 1 + x - 在[0,+∞ )上为增函数. ln 1 + x - > h(0) =0 不符合题 意. 若 0< <1,则 h’(x)=
1 1

1 1 1 – =0 时,x= +1 – 1,所以 x∈[0, –1)时,h’(x) 1 1

≥ 0, 所以 ( h x) =ln 1 + x - 在[0, –1)上为增函数, 当 x∈[0, –1), (x) h =ln 1 + x - >0, 不能使ln 1 + x < 在(0,+∞ )上恒成立,所以 ≥ 1. (3)由(2)可知,
1

ln (1+x )

<1 在(0,+∞ )上恒成立,所以ln 1 + x <1,即

1

(1 + x) <e 对一切正整数 n 成立.

9


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