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江苏省扬州市2017届高三上学期期中测试数学试题


江苏省扬州市 2016-2017 学年度高三第一学期期中测试

数 学 试 题 (Ⅰ)
2016.11 一:填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. sin 240 = 2.复数 z ? i(1 ? i) 的虚部为
0

。 。

3.抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的准线方程为 y ? ? 4.不等式

1 ,则抛物线方程为 2



x ?1 ? 2 的解集为 x

。 。

5.已知平行直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0, l 2 : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,则 l1 与 l 2 之间的距离为

?2 ? y ? ? 6.若实数 x, y 满足条件 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?4 x ? 5 y ? 2 ? 0 ?
7.已知向量 a ? (1, m ? 1),b ? (m,2) ,则 a // b 的充要条件是 m = 8.已知 tan(? ? 。 。



?
4

) ? 3, tan ? ? 2 ,则 tan( ? ? ?) =

9.已知函数 f ( x) ? x ? a sin x 在 (??,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是



10.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 ,直线 l : 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 与圆 C 相交于 A、B 两点,D 为圆 C 上异于 A,B 两点的任一点,则 ?ABD 面积的最大值为 11.若 a ? 0, b ? 2 ,且 a ? b ? 3 ,则使得 12.已知函数 f ( x) ? 。 。

4 1 ? 取得最小值的实数 a = a b?2

| x2 ?1| ? kx 无零点,则实数 k 的取值范围是 x ?1



13.双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,直线 y ? x 与双曲线相交于 A、B 两点。若 2 3 a b


AF ? BF ,则双曲线的渐近线方程为

14. 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) ? 1(a ? 0) , 若 f ( x ? a) ? f ( x) 对任意的 x ? R 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 。

二:解答题(本大题共 6 小题,计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos(

?

2

? x) sin x ? (sin x ? cos x) 2 。

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向 左平移

? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值。 6 3

16.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? log3 ( x 2 ? 2x ? 8) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? m 。 (1)若 m ? ?4 时, g ( x) ? 0 的解集为 B,求 A ? B ; (2)若存在 x ? [0, ] 使得不等式 g ( x) ? ?1 成立,求实数 m 的取值范围。

1 2

17.(本小题满分 14 分) 已知圆 M : x 2 ? y 2 ? 2 x ? a ? 0 。 (1)若 a ? ?8 ,过点 P(4,5) 作圆 M 的切线,求该切线方程; (2)若 AB 为圆 M 的任意一条直径,且 OA ? OB ? ?6 (其中 O 为坐标原点),求圆 M 的半径。

18.(本小题满分 16 分) 如图,某市在海岛 A 上建了一水产养殖中心。在海岸线 l 上有相距 70 公里的 B、C 两个小镇,并且 AB=30 公里,AC=80 公里,已知 B 镇在养殖中心工作的员工有 3 百人,C 镇在养殖中心工作的员工 有 5 百人。现欲在 BC 之间建一个码头 D,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与 陆路运输每百人每公里运输成本之比为 1∶2. (1)求 sin ?ABC 的大小; (2)设 ?ADB ? ? ,试确定 ? 的大小,使得运输总成本最少。 C

l
?
A D B

19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F, 过点 F 的直线交 y 轴于点 N, 交椭圆 C 于点 A、 a2 b2

P(P 在第一象限),过点 P 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于另外一点 Q。若 NF ? 2FP 。 (1)设直线 PF、QF 的斜率分别为 k 、 k ? ,求证:

k 为定值; k?

(2)若 AN ? FP 且 ?APQ 的面积为

12 15 ,求椭圆 C 的方程。 5
y P O N A F x

Q

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

ae x ? x。 x

(1)若函数 f ( x) 的图象在 (1, f (1)) 处的切线经过点 (0,?1) ,求 a 的值; (2)是否存在负整数 a ,使函数 f ( x) 的极大值为正值?若存在,求出所有负整数 a 的值;若不存 在,请说明理由; (2)设 a >0,求证:函数 f ( x) 既有极大值,又有极小值。

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题 (Ⅱ)

21.(本小题满分 10 分)已知矩阵 M ? ?

?2 3? ? 的一个特征值为 4,求实数 a 的值。 ?a 1 ?

22.(本小题满分 10 分)某校高一年级 3 个班有 10 名学生在全国英语能力大赛中获奖,学生来源人 数如下表: 班别 人数 高一(1)班 3 高一(2)班 6 高一(3)班 1

若要求从 10 位同学中选出两位同学介绍学习经验,设其中来自高一(1)班的人数为 ? ,求随机变 量 ? 的分布列及数学期望 E (? ) 。 23. (本小题满分 10 分) 如图, 在四棱锥 P – ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD, ? AB=1,PA=2,E 为 PB 的中点,点 F 在棱 PC 上,且 PF= PC。 (1)求直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值; P (2)当直线 BF 与平面 CDE 所成的角最大时,求此时 ? 的值。 F

E

A D C

B

24.(本小题满分 10 分)已知集合 A ? {a1 , a2 ,?, am } 。若集合 A1 ? A2 ? A3 ? ? ? An ? A ,则称

A1 , A2 , A3 ,?, An 为集合 A 的一种拆分,所有拆分的个数记为 f (n, m) 。
(1)求 f (2,1), f (2,2), f (3,2) 的值; (2)求 f (n,2)(n ? 2, n ? N *) 关于 n 的表达式。

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数 学 试 题 (Ⅰ)参 考 答 案
2016.11 一、填空题 1. ?
3 2

2.1

3. x 2 ? 2 y 11.

4. (??,0) ? (1, ??) 12. ?2 ? k ? 0

5.

5 2

6.8

7. ?2 或 1 8. ?

3 4

9. [?1,1]

10. 27

2 3

13. y ? ?2 x

14. [ 2, ??)

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解:(1) f ( x) ? 2cos( ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2

?

? 2 sin(2x ? ) ? 2 4
由 2k? ?

?

……4 分

?
2

8 ? 3? ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , 8 8 ? ? x? ) 2? 4

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?

?

? x ? k? ?

3? ?k ? Z ?, 8
……8 分

(2) 由 (1) 知 f (x) ? 2s i n (2

?

把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵

坐标不变),得到 y ? 2 sin( x ? ) ? 2 的图象,再把得到的图象向左平移 个单位,得到 4 3

?

?

g ( x) ? 2 sin( x ?

?
12

) ? 2 的图象,

……12 分

即 g ( x) ? 2 sin( x ?

) ? 2 ,所以 g ( ) ? 3 . 12 6

?

?

……14 分

16.解:(1)由 x2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得: x ? ? 4 或 x ? 2 ,则 A ? (??, ?4) ? (2, ??) ,…2 分 若 m ? ? 4 , g ( x) ? x2 ? 3x ? 4 ,由 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 4 ,则 B ? [?1, 4] …4 分 所以 A ? B ? (2, 4] ; …6 分

x2 ? x ? 1 1 1 (2) 存在 x ?[0, ] 使得不等式 x2 ? (m ? 1) x ? m ? ?1 成立, 即存在 x ?[0, ] 使得不等式 ?m ? 2 2 x ?1 x2 ? x ? 1 …10 分 )min x ?1 x2 ? x ? 1 1 1 因为 ? x? ? x ?1? ? 1 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 ? 1 ,即 x ? 0 时取得等号 x ?1 x ?1 x ?1
成立,所以 ?m ? ( 所以 ? m ? 1 ,解得: m ? ?1 . ………14 分

17.解:(1)若 a ? ?8 ,圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,圆心 M (1,0) ,半径为 3. ……2 分 若切线斜率不存在,圆心 M 到直线 x ? 4 的距离为 3,

所以直线 x ? 4 为圆 M 的一条切线; ………4 分 若切线斜率存在,设切线方程为: y ? 5 ? k ( x ? 4) ,化简为: kx ? y ? 4k ? 5 ? 0 ,则圆心到直线的距 | k ? 4k ? 5 | 8 ? 3 ,解得: k ? . 离 2 15 k ?1 所以切线方程为 x ? 4 或 8x ? 15 y ? 43 ? 0 ; ………7 分 (2)圆 M 的方程可化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? a ,圆心 M (1,0) ,则 OM ? 1 设圆的半径 r ? 1 ? a (a ? 1) …………9 分

???? ???? ???? ???? 因 为 AB 为 圆 M 的 任 意 一 条 直 径 , 所 以 MA ? ? MB , 且 | M A ? | | M?B | ,r 则

??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? OA ? OB ? (OM ? MA) ? (OM ? MB) ? (OM ? MB) ? (OM ? MB) ? (OM )2 ? (MB)2 ? 1 ? r 2 …12 分
??? ? ??? ? 又因为 OA ? OB ? ?6 ,解得: r ? 7 ,所以圆的半径为 7 .

………14 分

18.解:(1)在 ?ABC 中, cos ?ABC ? 所以 sin ?ABC ? (2)在 ?ABD 中,由
4 3 7

AB2 ? BC 2 ? AC 2 900 ? 4900 ? 6400 1 ? ? ? …3 分 2 AB ? BC 2 ? 30 ? 70 7
………5 分

30 AD BD AD AB BD 得: ? ? ? ? sin ? 4 3 sin ?ABD sin ? sin ?BAD 1 4 3 ? sin ? ? cos ? 7 7 7

120 3 120 3 30 120 3 cos? ? sin ? cos? 30 7 所以 AD ? 7 , BD ? 7 ? 7 ? sin ? sin ? sin ? 7

………9 分

设水路运输的每百人每公里的费用为 k 元,陆路运输的每百人每公里的费用为 2 k 元, 则运输总费用 y ? (5CD ? 3BD) ? 2k ? 8 ? k ? AD ?? 2k[5(70 ? BD) ? 3BD ? 4 AD]
12 3 12 3 c o? s 3 6 2 4 3 ?2 ? cos ? 20k[35 ? 2( 7 ? ) ? 4 ? 7 ] ? 20k[35 ? ? ? ] sin ? 7 sin ? 7 7 sin ?

……11 分

令 H (? ) ? 当0 ?? ?

2 ? cos? 1 ? 2cos? 1 ? ,则 H '(? ) ? ,设 H '(? ) ? 0 ,解得: cos? ? ,? ? 2 sin ? sin ? 2 3

?
3

时, H ?(? ) ? 0, H (? ) 单调减;当

?
3

?? ?

?
2

时, H ?(? ) ? 0, H (? ) 单调增 ……14 分

?? ?

?
3

时, H (? ) 取最小值,同时 y 也取得最小值.

120 3 cos? 30 90 90 此时 BD ? 7 ,满足 0 ? ? ? ? 70 ,所以点 D 落在 BC 之间 sin ? 7 7 7

所以 ? ?

?
3

时,运输总成本最小.

答: ? ?

?
3

时,运输总成本最小.

………16 分

19.解:(1)设 F (c,0) 且 c 2 ? a 2 ? b 2 , P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , y0 ) ,
???? ??? ? y0 y0 3 ,k'? ,因为 NF ? 2FP ,所以 c ? 2( x0 ? c) ,即 x0 ? c x0 ? c ? x0 ? c 2 y0 2 y0 y0 2 y0 k ? ? ∴k ? ,k'? ∴ k ? ?5k ' ,即 ? ?5 为定值 x0 ? c c ? x0 ? c ?5c k' ??? ? ??? ? 1 (2)若 AN ? FP ,则 AF ? 3FP ,所以 AF ? 3FP ,解得: A(? c, ?3 y0 ) 2

所以 k ?

………3 分 ………6 分

? 9c 2 y0 2 ? ? 1 () 1 ? ? 2 b2 因为点 A 、 P 在椭圆 C 上,则 ? 4a , 2 2 ? c ? 9 y0 ? 1 (2) ? b2 ? 4a 2
(1) ? 9 ? (2) 得:

80c2 c2 2 ,解得: ? 8 ? 4a2 a2 5

………10 分



y0 2 y0 2 y0 2 3 1 c2 2 ? ,代入( 1 )得: , ? ? ? 2 2 2 2 c 20 3c b 10 b 3 2

12 15 1 12 因为 S?APQ ? ? 3c ? 4 y0 ? 6cy0 且 S?APQ ? ,解得: c2 y02 ? ,则 c 2 ? 4 ……14 分 5 2 5 2 2 x y 所以椭圆方程为: ? ………16 分 ?1. 10 6

20.解:(1)∵ f '( x) ?

aex ( x ? 1) ? x2 ∴ f '(1) ? 1 , f (1) ? ae ? 1 x2

∴函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? (ae ? 1) ? x ? 1 ,又直线过点 (0, ?1) ∴ ?1 ? (ae ? 1) ? ?1 ,解得: a ? ? (2)若 a ? 0 , f '( x) ?

1 e

………2 分

aex ( x ? 1) ? x2 , x2

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (??,0) 上无极值; 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (0,1) 上无极值;
? x0 ? 1 ? 方法(一)在 (1, ??) 上,若 f ( x) 在 x0 处取得符合条件的极大值 f ( x0 ) ,则 ? f ( x0 ) ? 0 ,5 分 ? f '( x ) ? 0 0 ?

? ? (1 ) ? x0 ? 1 x0 ? x x2 ? ae ? x0 ? 0 (2) 则? ,由(3)得: ae x0 ? ? 0 ,代入(2)得: ? 0 ? x0 ? 0 ,结合 x0 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ? ae x0 ( x ? 1) ? x 2 0 0 ? ? 0 (3) 2 x ? 0 ?

(1)可解得: x0 ? 2 ,再由 f ( x0 ) ? 设 h( x) ? ?

x2 ae x0 ? x0 ? 0 得: a ? ? x00 , e x0

x( x ? 2) x2 ,则 h '( x) ? ,当 x ? 2 时, h '( x) ? 0 ,即 h( x) 是增函数, x ex e 4 所以 a ? h( x0 ) ? h(2) ? ? 2 , e
又 a ? 0 ,故当极大值为正数时, a ? (?

4 ,0) ,从而不存在负整数 a 满足条件. ………8 分 e2

方法(二)在 x ? (1, +?) 时,令 H ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x2 ,则 H '( x) ? (ae x ? 2) x ∵ x ? (1, +?) ∴ e x ? (e, +?) ∴ ae x ? 2 ? 0 ∴ H '( x) ? 0 ∵ a 为负整数 ∴ a ? ?1 ∴ ae x ? ae ? ?e

∴ H ( x) 在 (1, ??) 上单调减 …5 分

又 H (1) ? 1 ? 0 , H (2) ? ae2 ? 4 ? ?e2 ? 4 ? 0 ∴ ?x0 ? (1, 2) ,使得 H ( x0 ) ? 0 且 1 ? x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; ∴ f ( x) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ) ?
ae x0 ? x0 x0

(*)

又 H ( x0 ) ? ae x0 ( x0 ? 1) ? x02 ? 0 ∴ ∴不存在负整数 a 满足条件.

x x ( x ? 2) x ae x0 ?0 ? ? 0 代入(*)得: f ( x0 ) ? ? 0 ? x0 ? 0 0 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 x0 ? 1

………8 分

(3)设 g ( x) ? ae x (x ? 1) ? x 2 ,则 g '( x) ? x(ae x ? 2) , 因为 a ? 0 ,所以,当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;故 g ( x) 至多两个零点. 又 g (0) ? ?a ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,所以存在 x1 ? (0,1) ,使 g ( x1 ) ? 0 再由 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增知, 当 x ? (0, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2 g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2
………12 分

? ?) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 当 x ? ( x1,

所以函数 f ( x) 在 x1 处取得极小值. 当 x ? 0 时, e x ? 1 ,且 x ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x2 ? a( x ? 1) ? x2 ? x2 ? ax ? a ,

函数 y ? x2 ? ax ? a 是关于 x 的二次函数,必存在负实数 t ,使 g (t ) ? 0 ,又 g (0) ? ?a ? 0 , 故在 (t ,0) 上存在 x 2 ,使 g ( x2 ) ? 0 , 再由 g ( x) 在 (??,0) 上单调递减知, 当 x ? (??,x2 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 当 x ? ( x2 ,0) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 所以函数 f ( x) 在 x 2 处取得极大值. 综上,函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值. ………16 分

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2

江苏省扬州市 2016-2017 学年度高三第一学期期中测试


f (? ) ?





题 (Ⅱ)参 考 答 案
………4 分 ………8 分 ………10 分

21.解:解:矩阵 M 的特征多项式为

? ?2 ?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 3a ?a ? ? 1

? 2 3? 矩阵 M ? ? ? 的一个特征值为 4 ?a 1? 所以 4 为方程 f (? ) ? 0 的一个根,则 2 ? 3 ? 3a ? 0 ,解得 a ? 2 . 22.解:解:随机变量 ? 的取值可能为 0,1,2.
P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? C72 7 ? 2 C10 15
1 1 C3 C7 7 ? 2 C10 15

………3 分 ………6 分 ………9 分

C32 1 ? 2 C10 15



?

0

1

2

7 1 15 15 7 7 1 3 ? E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 5 3 答:数学期望 E (? ) 为 . …………10 分 5 23.解:(1)如图,以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 1 C (1,1,0) 、 P(0,0, 2) 、 D(1,0,0) 、 E (0, ,1) , ………2 分 2

P

7 15

从而 CE ? (?1, ? ,1), PD ? (1, 0, ?2).

??? ?

1 2

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CE ? PD ? ??? ? ? ∴ cos ? CE, PD ?? ??? | CE | ? | PD |
即 CE 与 PD 所成角的余弦值为

?1 ? 2 1? 1 ?1 ? 1? 4 4

??

2 5 5

………4 分 ??? ? ??? ? ??? ? (2)点 F 在棱 PC 上,且 PF ? ? PC ,所以 PF ? ? PC ,于是 F (? , ? , 2 ? 2? ) , BF ? (?, ? ? 1, 2 ? 2? ) , ??? ? ??? ? 1 又 CD ? (0, ?1,0) , CE ? (?1, ? ,1) . 2 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 CDE 的法向量,则

2 5 . 5

? ??? ? ?? y ? 0 ? ? ?n ? CD ? 0 ,可得 ? ,取 x ? 1 ,则 n ? (1,0,1) ? ? ? ??? ? 1 ?x ? y ? z ? 0 ? ? ?n ? CE ? 0 ? 2 设直线 BF 与平面 CDE 所成的角为 ? ,则 ??? ? ? 2?? 2?? sin ? ?| cos ? BF , n ?|? ? ? 2 ? (? ? 1)2 ? (2 ? 2? )2 ? 2 2 6? 2 ? 10? ? 5
令 t ? 2 ? ? ,则 t ? [1, 2] ,所以 sin ? ?

………6 分

………8 分

t 2 6t ? 14t ? 9
2

?

2 ? 2

1 9 14 ? ?6 t2 t

3 10 9 14 5 时, 2 ? ? 6 有最小值 , 此时 sin ? 取得最大值为 , 即 BF 与平面 CDE 10 t t 9 9 5 5 所成的角最大,此时 ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ,即 ? 的值为 . ……10 分 7 7 7

1 7 9 当 ? , 即t ? ? 2 ] , 1 [ t 9 7

24.解:(1)设 A1 ? A2 ? {a1 } ,共有 3 种,即 f (2,1) ? 3 ; 设 A1 ? A2 ? {a1 , a2 } ,若 A1 ? ? ,则有 1 种;若 A1 ? {a1} ,则有 2 种; 若 A1 ? {a2 } ,则有 2 种;若 A1 ? {a1 , a2 } ,则有 4 种;即 f (2, 2) ? 9 ; 若 A1 ? {a1} ,则 A2 ? A3 ? {a1 , a2 } 或 A2 ? A3 ? {a2 }, 所以有 f (2, 2) ? f (2,1) ? 12 ;若 A1 ? {a2 } ,则有 12 种;

………1 分

………2 分 设 A1 ? A2 ? A3 ? {a1 , a2 } ,若 A1 ? ? ,则 A2 ? A3 ? {a1 , a2 } ,所以有 f (2, 2) ? 9 种;

若 A1 ? {a1 , a2 } ,则 A2 ? A3 ? {a1 , a2 } 或 A2 ? A3 ? {a1} 或 A2 ? A3 ? {a2 }或 A2 ? A3 ? ? , 所以有 1 ? 3 ? 3 ? 9 ? 16 种;即 f (3, 2) ? 49 ; ………4 分 (2)猜想 f (n, 2) ? (2n ? 1)2 (n ? 2, n ? N *) ,用数学归纳法证明. 当 n ? 2 时, f (2, 2) ? 9 ,结论成立; 假设 n ? k 时,结论成立,即 f (k , 2) ? (2 ? 1) , 当 n ? k +1 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ?1 ? {a1 , a2 }
k 2

………5 分

当 Ak ?1 ? ? 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种; 当 Ak ?1 ? {a1} 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种, 或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a2 } ,所以有 2 k ? 1 种,共有 2k (2k ? 1) 种; 同理当 Ak ?1 ? {a2 } 时,共有 2k (2k ? 1) 种; 当 Ak ?1 ? {a1 , a2 } 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种, 或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1} ,所以有 2 k ? 1 种,或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a2 } , 所以有 2 k ? 1 种,或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? ? ,所以有 1 种,共有 2 2 k 种; 则 f (k ? 1,2) ? 4(2k ? 1)2 ? 4(2k ? 1) ? 1 ? (2k ?1 ? 1)2

所以,当 n ? k +1 时,结论成立; 所以 f (n, 2) ? (2n ? 1)2 (n ? 2, n ? N *)

………9 分 ………………10 分


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