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直线与平面平行的判定2


2.2.1 直线和平面平行的判定

复习:直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内-----有无数个公共点

a ??

如图:

a

(2)直线在平面外:

a ??

?
a

①直线a和面α

相交 :

?

.

A

a ? ? ? A 如图:

有 公 共 点
无 公 共 点

②直线a和面α 平行 :

a

a // ?

如图:

?

线面位置关系

直线和平面平行:一条直线与一个 平面没有公共点,叫做直线与平面平 a 行。
直线a平行于平面 α,记作 a∥α.

α
α

画图时通常把表示直线的线段画在表示 平面的平行四边形的外面,并且使它与平 行四边形的一边平行或与平行四边形内的 一条线段平行。

动手做做看
将课本的一边AB紧靠桌面,并绕AB转动,观察AB 的对边CD在各个位置时,是不是都与桌面所在的平 面平行? C D

直线AB、CD各有什么特点呢? 有什么关系呢?
从中你能得出什么结论?

A

B

CD是桌面外一条直线, AB是桌面内一条直 线, CD ∥ AB ,则CD ∥桌面 猜想:如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理 定理:平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行,则该直线和这个 平面平行。

a ??? ? 即 b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

a
b α

例1.求证:空间四边形相邻两边中点的连

线,平行于经过另外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD中,E、F分别是 A AB、AD的中点. 求证:EF//平面BCD. F
E

分析:EF在面BCD外,要 证明EF∥面BCD,只要证明 ? EF和面BCD内一条直线平行即 可。EF和面BCD哪一条直线平 行呢?连结BD立刻就清楚了。

D B C

已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、 A AD的中点 求证:EF∥平面BCD E 证明: 连接BD,
∵ 在△ ABD中E、F分别是 AB、AD的中点
F

B

D

∴EF ∥ BD ∵ EF? 平面BCD, BD 平面BCD ∴EF ∥平面BCD


C

例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,试作出过 AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由。 解:连DB交AC于点O,取
D1D的中点M,连MA,MC, 则截面MAC即为所求作的 截面。∵MO为△ D1DB的 中位线,∴ D1B∥MO, ∵ D1B ? 平面MAC, MO ? 平面MAC, ∴ D1B∥平面MAC,则截 面MAC为过AC且与D1B平 行的截面。
A A1
M

D1

C1

B1

D

C

O
B

直线和平面平行的判定定理
定理:平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。

a ?? b? ? a∥ b 注明:

a a∥? b

?

1、定理三个条件缺一不可。 2、简记:线线平行,则线面平行。 3、定理告诉我们:要证线面平行,得在面内找 一条线,使线线平行。

练习:

1、如图,长方体的六个面都是矩形,则
(1)与直线AB平行的平面是: 平面A1C1 和 平面 DC1

(2)与直线AD平行的平面是: 平面BC1 和 平面A1C1 (3)与直线AA1 平行的平面是: 平面BC1 和 平面 DC1
2、判断说法是否正确:

╳ (1)如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行。
(2)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行。



(3) 如果一直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行。╳

2.2.2平面与平面平行

定义:如果两个平面没有公共点,那么这

两个平面互相平行,也叫做平行平面 平面α平行于平面β ,记作α∥β

演示文稿

后 等

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(1)平面β内有一条直线与平面α平 行,α,β平行吗? (2)平面β内有两条直线与平面α平 行,α,β平行吗?
A1
E D1 B1 D F C C1

A

B

平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。 a ?β, b ?β, a ? b ? P, a∥ α, b∥ α 定理的推论 ∥ ?β α. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

a
β
c P b

α

d

练习:
1)α、β、γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条
不同直线,则有一下列命题,不正确的是



a∥c b∥c

a∥b ②

a∥γ

b∥γ
α∥β ④

a∥b



α∥c
β∥c

α∥γ
β∥γ

α∥β



α∥c

a∥c

α∥a ⑥

α∥γ
a∥γ

a∥α

例题分析
例1、如图:A、B、C为不在同一直线上的
∥ CC1 三点,AA1 ∥ BB 1 = =

求证:平面ABC//平面A1B1C1
C1 A1 B1 C A B

例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平 面AB1D1∥平面C1BD。

练习:
2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证:E、F、B、D四点共面; (2)求证:面AMN∥面EFBD.
A1

D1
N M

E F B1

C1

D

C

A

B

小结:
1、直线和平面平行的定义 2、直线和平面平行的判定
定理:平面外的一条直线和平面内的一 条直线平行,则该直线和这个平面平行。

简记为:
作用:判断或证明线面平行时 关键:在平面内找(或作)一条直线与 面外的直线平行

小结
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。

定理的推论
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行

作业:

课本P68 3,7. 每课一练P26


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