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空间向量汇总


一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角 坐 标 系 中 , 由 A( x ) B( x2 , y2 , z2 ) 确 定 直 线 AB 的 方 向 向 量 是 1 , y 1 , z 1 与 ? ? ?? A B? ( 2x ? 1x , 2y? 1 ,y 2z ? .)1z ? ? 平面法向量 如果 a ? ? ,那么向量 a

叫做平面 ? 的法向量. 二、证明平行问题 ? ? 1. 证明线线平行: 证明两直线平行可用 a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) 或 ? ? a a a a // b ? 1 ? 2 ? 3 . b1 b2 b3 2.证明线面平行 ? ? ? ? ? ? 直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 l ? ? ,若 a ? n 即 a ? n ? 0 则 ? a // ? . 3.证明面面平行 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 平面 ? 的法向量为 n1 ,平面 ? 的法向量为 n2 ,若 n1 // n2 即 n1 ? ? n2 则 ? // ? . 三、证明垂直问题 1.证明线线垂直 ? ? ? ? 证明两直线垂直可用 a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 2.证明线面垂直 ? ? ? ? ? ? 直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 l ? ? ,若 a // n 即 a ? ? n 则 ? a ?? . 3.证明面面垂直 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 平面 ? 的法向量为 n1 ,平面 ? 的法向量为 n2 ,若 n1 ? n2 即 n1 ? n2 ? 0 则 ? ? ? . 四、夹角 1.求线线夹角 ? ? 设 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , ? ? (0?,90?] 为一面直线所成角,则: ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? a, b ? ; ? ? ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? ; cos? ?| cos ? a, b ?| . 2 2 2 | a |?|b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2.求线面夹角 ? 如图,已知 PA 为平面 ? 的一条斜线, n 为平面 ? 的一个法向量,过 P 作平 面 ? 的垂线 PO ,连结 OA 则 ?PAO 为斜线 PA 和平面 ? 所成的角,记为 ? 易得 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? sin ? ?| sin( ? ? OP, AP ?) | ?| cos ? OP, AP ?| 2 ? ??? ? P ? ??? ? ? ??? ? | n ? PA | n ? . ?| cos ? n, AP ?| ?| cos ? n, PA ?| ? ? ??? | n || PA | 3.求面面夹角 O ?? ?? ? α 设 n1 、 n2 分别是二面角两个半平面 ? 、 ? 的法向量, ?? ?? ? 当法向量 n1 、 n2 同时指向二面角内或二面角外时,二面角 ? 的大小为 ?? ?? ? ? ? ? n1 , n2 ? ;

θ A

?? ?? ? 当法向量 n1 、 n2 一个指向二面角内,另一外指向二面角外时,二面角 ? 的大 ?? ?? ? 小为 ? n1 , n2 ? . 五、距离 1.求点点距离
设 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 ??? ? ??? ? ??? ? | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 2.求点面距离 ? 如图, A 为平面 ? 任一点,已知 PA 为平面 ? 的一条斜线, n 为平面 ? 的一 个法向量,过 P 作平面 ? 的垂线 PO ,连结 OA 则 ?PAO 为斜线 PA 和平面 ? 所成 的角,记为 ? 易得 ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?? ??? ? | PA ? n | | PA ? n | ? ? ? ? . | PO |?| PA | ? sin ? ?| PA | ? | cos ? PA, n ?| ?| PA | ? ??? | PA | ? | n | |n| 3.求线线距离 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异 ? 面直线 a 、 b 的公垂线的方向向量为 n , 这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点, ? b 的距离.即两异面直线间的距离 则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与 公垂线的方向向量模的比值. ? ??? ? ? ??? ? n | AB ? n | ? . 直线 a 、 b 的距离 d ?| AB ? ? |? |n| |n| 4.求线面距离 一条直线和一个平面平行时, 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这 条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离 和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个 平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行 平面间的距离.平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.


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