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2016届 数学一轮(理科) 人教A版 课时作业 第九章 平面解析几何-3


第3讲

圆的方程

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.已知点 A(1,-1),B(-1,1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是 A.x2+y2=2 C.x2+y2=1 解析 AB 的中点坐标为(0,0), B.x2+y2= 2 D.x2+y2=4 ( )

|AB|= [1-(-1)]

2+(-1-1)2=2 2, ∴圆的方程为 x2+y2=2. 答案 A ( )

2.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ?2 ? A.(-∞,-2)∪?3+∞? ? ? C.(-2,0) 解析 ? 2 ? B.?-3,0? ? ? 2? ? D.?-2,3? ? ?

3a2 3a2 ? a?2 2 方程为?x+2? +(y+a) =1-a- 4 表示圆,则 1-a- 4 >0,解得-2 ? ?

2 <a<3. 答案 D 3.(2015· 福州质检)设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若 0<a<1,则原 点与圆的位置关系是 A.原点在圆上 C.原点在圆内 解析 B.原点在圆外 D.不确定 ( )

将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,

因为 0<a<1,所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,

即 (0+a)2+(0+1)2> 2a,所以原点在圆外. 答案 B ( )

4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 解析 B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

设圆心坐标为(0,b),则由题意知

(0-1)2+(b-2)2=1,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 答案 A

5.(2015· 东营模拟)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+4)2+(y-2)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 )

解析

4+x0 ? x = ? 2 , 设圆上任一点为 Q(x0,y0),PQ 的中点为 M(x,y),则? -2+y0 ? ?y= 2 ,

?x0=2x-4, 2 2 解得? 因为点 Q 在圆 x2+y2=4 上, 所以 x2 0+y0=4,即(2x-4) +(2y y = 2 y + 2. ? 0 +2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1. 答案 A

二、填空题 6.已知点 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所 在直线的方程是________. 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,

1-0 1),∵kCM= =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0=-(x-1),即 x+y-1 2-1 =0. 答案 x+y-1=0

7.(2015· 南京调研)已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆 C 上各点到 l 的距离的最小值为______. 解析 由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1, 1)到直线 l 的距 |1-1+4| - 2= 2. 2

离减去半径,即 答案 2

?x≥0, 8.已知平面区域?y≥0, 恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 及其 ?x+2y-4≤0
内部所覆盖,则圆 C 的方程为________. 解析 由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的

三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又△OPQ 为直角 |PQ| 三角形,故其圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径为 2 = 5,所以圆 C 的方 程为(x-2)2+(y-1)2=5. 答案 (x-2)2+(y-1)2=5

三、解答题 9.一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为 2,求 此圆的方程. 解 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

令 y=0,得 x2+Dx+F=0,所以 x1+x2=-D. 令 x=0,得 y2+Ey+F=0,所以 y1+y2=-E. 由题意知-D-E=2,即 D+E+2=0. 又因为圆过点 A,B,所以 16+4+4D+2E+F=0, 1+9-D+3E+F=0, 解①②③组成的方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 10.求适合下列条件的圆的方程: (1)圆心在直线 y=-4x 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2); (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2). ① ② ③



(1)法一

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

b=-4a, ? ?(3-a)2+(-2-b)2=r2, 则有? |a+b-1| ? ? 2 = r, 解得 a=1,b=-4,r=2 2. ∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 法二 过切点且与 x+y-1=0 垂直的直线为 y+2=x-3, 与 y=-4x 联立可求

得圆心为(1,-4). ∴半径 r= (1-3)2+(-4+2)2=2 2, ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (2)法一 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

?1+144+D+12E+F=0, 则?49+100+7D+10E+F=0, ?81+4-9D+2E+F=0.
解得 D=-2,E=-4,F=-95. ∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0. 法二 由 A(1,12),B(7,10),

1 得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=-3, 则 AB 的垂直平分线方程为 3x-y-1=0. 同理得 AC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0. ?3x-y-1=0, ?x=1, 联立? 得? ?x+y-3=0 ?y=2, 即圆心坐标为(1,2), 半径 r= (1-1)2+(2-12)2=10. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
11.已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线 y=2x+1 上的圆,其圆心到 x 轴的距离恰 好等于圆的半径,在 y 轴上截得的弦长为 2 5,则圆的方程为 A.(x+2)2+(y+3)2=9 B.(x+3)2+(y+5)2=25 ? 7?2 49 C.(x+6)2+?y+3? = 9 ? ? ? 2?2 ? 7?2 49 D.?x+3? +?y+3? = 9 ? ? ? ? 解析 由圆心到 x 轴的距离恰好等于圆的半径知, ( )

所求圆与 x 轴相切,由题意得圆的半径为|b|, 则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2. 由圆心在直线 y=2x+1 上,得 b=2a+1 由此圆在 y 轴上截得的弦长为 2 5,得 b2-a2=5 ①, ②,

2 a=3, ? ? a =- 2 , ? 由①②得? 或? (舍去).所以所求圆的方程为(x+2)2+(y+3)2= 7 b =- 3 ? ?b=3 ? 9.故选 A. 答案 A

2 12.已知圆 C 的圆心在曲线 y= x上,圆 C 过坐标原点 O,且分别与 x 轴、y 轴交 于 A,B 两点,则△OAB 的面积等于 A.2 解析 B.3 C.4 D.8 ( )

4 ? 2? 设圆心的坐标是?t, t ?.∵圆 C 过坐标原点,∴|OC|2=t2+t2,∴圆 C 的方 ? ?

4? 4 4 ? 2?2 ? 程为(x-t)2+?y- t ? =t2+t2.令 x=0,得 y1=0,y2= t ,∴B 点的坐标为?0, t ?; ? ? ? ? 1 1 令 y=0,得 x1=0,x2=2t,∴A 点的坐标为(2t,0),∴S△OAB=2|OA|·|OB|=2×

4 | t |×|2t|=4,即△OAB 的面积为 4. 答案 C 13.若圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点(x,y)都使不等式 x+y+m≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 据题意圆 x2+(y-1)2=1 上所有的点都在直线 x+y+m=0 的右上方, 所

?1+m≥0, 以有?|1+m| ? 2 ≥1.
解得 m≥ 2-1.故 m 的取值范围是[ 2-1,+∞). 答案 [ 2-1,+∞)

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上 截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 解 (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2,从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0),由已知得 |x0-y0| 2 =2. 2

?|x0-y0|=1, 又 P 在双曲线 y2-x2=1 上,从而得? 2 2 ?y0-x0=1. ?x0-y0=1, ?x0=0, 由? 2 2 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. ?y0-x0=1, ?y0=-1. ?x0-y0=-1, ?x0=0, 由? 2 2 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. ?y0-x0=1, ?y0=1. 故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.


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