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不等式证明


一、选择题(本题共 6 道小题,每小题 0 分,共 0 分)
1.二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|﹣1<x< },则 ab 的值为( A.﹣5 B.5 2.若直线 A.2 B.3 C.﹣6 D.6 =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( C.4 D.5 ,∠BAC= ) ,若△MBC,△MCA,△MAB 的面积 )
2





3.已知 M 是△ABC 内的一点,且 分别为 ,x,y,则 的最小值为(

A.16 B.18 C.20 D.24 4.下列函数中,最小值为 2 A. C.y=ex+2e﹣x B. D.y=log2x+2logx2
2

的是(

)

5.已知两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y≥m ﹣2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( )

A.(﹣2,4) B.[﹣2,4]C.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞)D.(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞) 6.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费 用为 4x 万元,要使一年的总费用与总存储费用之和最小,则 x=( A.10 B.20 C.40 D.80 )

二、填空题
7.若 ,则 P,Q 的大小关系为__________. .

8. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是

9.若对任意 x>0,

≤a 恒成立,则 a 的取值范围是

. . 的最

10.已知 f(x)=|log3x|,若 f(a)=f(b)且 a≠b.则
2 2

的取值范围是

11.若直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长,则 小值为 12.函数 y ? .

2 x 2 ? 5x ? 7 (x>﹣1)的最小值为 x ?1



1 / 12

13. 证明:不等式 (m≥2)

14.(2015?铜川模拟)已知 a +b =1,c +d =1. (Ⅰ)求证:ab+cd≤1. (Ⅱ)求 a+ b 的取值范围.

2

2

2

2

15.请仔细阅读以下材料: 已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数. 求证:命题“设 a,b∈R ,若 ab>1,则 题. 16.(本小题满分 12 分)已知Δ ABC 的三条边分别为 a,b,c 求证: 17.(本小题满分 12 分)
+

”是真命

a?b c ? 1? a ? b 1? c

设a, b, x, y ? R, 且a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1 求证: ax ? by ? 1
18.14 分)已知 a , b 是正实数,求证:

a b

?

b a

? a? b

2 / 12

试卷答案
1.D

【考点】一元二次不等式的解法;基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先对原不等式进行等价变形,进而利用韦达定理求得 和 的值,进而求得 a 和 b,则 ab 的值可求得. 【解答】解:∵不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|﹣1<x< }, ∴a<0, ∴原不等式等价于﹣ax ﹣bx﹣1<0, 由韦达定理知﹣1+ =﹣ ,﹣1×3= , ∴a=﹣3,b=﹣2, ∴ab=6. 故选 D 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法.注意和一元二次方程的相关问题解决. 2.C
2 2

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】不等式. 【分析】将(1,1)代入直线得: 求出即可. 【解答】解:∵直线 =1(a>0,b>0)过点(1,1), + =1,从而 a+b=( + )(a+b),利用基本不等式

∴ + =1(a>0,b>0), 所以 a+b=( + )(a+b)=2+ + ≥2+2 当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号, ∴a+b 最小值是 4, 故选:C. =4,

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【点评】本题考察了基本不等式的性质,求出 + =1,得到 a+b=( + )(a+b)是解题 的关键. 3.B 【考点】基本不等式;平面向量数量积的运算. 【专题】不等式的解法及应用;平面向量及应用. 【分析】由 ,∠BAC= ,利用数量积运算可得 ,

即 bc=4.利用三角形的面积计算公式可得 S△ABC= 的面积分别为 ,x,y.可得 = 【解答】解:∵ ∴ ∴S△ABC= = = ,∠BAC= ,∴bc=4. =1. ,

=1.已知△MBC,△MCA,△MAB

,化为 x+y= .再利用基本不等式 即可得出.

∵△MBC,△MCA,△MAB 的面积分别为 ,x,y. ∴ ∴ = ,化为 x+y= . = =18,当且仅当

y=2x= 时取等号. 故 的最小值为 18.

故选:B. 【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本 技能方法,属于中档题. 4.C 【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】A:当 x<0 时不能运用基本不等式.

4 / 12

B: sinx= 不成立.

当 sinx=

时取到最小值 2

,由三角函数的性质可得

C:此函数解析式满足:一正,二定,三相等,所以 C 正确. D:当 log2x<0 时不能运用基本不等式. 【解答】解:A:由 B: 质可得 sinx=
x

可得:当 x<0 时不能运用基本不等式,所以 A 错误. ≥2 ,当且仅当 sinx= 时取等号,由三角函数的性

不成立,所以 B 错误.
x ﹣x

C:因为 e >0,所以 y=e +2e = 一正,二定,三相等,所以 C 正确.

≥2

,当且仅当 e =

x

时取等号,此函数满足:

D:由 y=log2x+2logx2 可得:当 log2x<0 时不能运用基本不等式,所以 D 错误. 故选 C. 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值,以及三角函数、指数函数、对数函数的有 关性质,在利用基本不等式求最值时要满足:一正,二定,三相等,此题属于基础题. 5.B 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质可得 x+2y 的最小值,x+2y≥m ﹣2m 恒成立? ,即可得出. 解答: 解:∵两个正实数 x,y 满足 + =1, ∴x+2y=(x+2y) ∵x+2y≥m ﹣2m 恒成立, ∴ ∴m ﹣2m≤8, 解得﹣2≤m≤4. ∴实数 m 的取值范围是[﹣2,4]. 故选:B. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法,属于基 础题. 6.B
2 2 2

=4+

≥4+2

=8,当且仅当 x=2y=4 时取等号.



5 / 12

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式. 分析: 根据已知条件便可得,一年的总费用和总存储费用之和为 ,当 x=20 时取“=“,这便求出了使一年的总费用和总存 储费用之和最小时的 x 值了. 解答: 解:由已知条件知,一年的总费用与总存储费用之和为 ; 当 ,即 x=20 时取“=“;

即要使一年的总费用与总存储费用之和最小,则 x=20. 故选 B. 点评: 考查对基本不等式:a+b 7.P<Q ,a>0,b>0,的运用,注意等号成立的条件

解析: . 8.[9,+∞)



【考点】: 基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】: 计算题;压轴题. 【分析】: 先根据基本不等式可知 a+b≥2 程,进而求得 解:∵a+b≥2 ∴ab﹣2 ∴ ,代入题设等式中得关于 不等式方

的范围,则 ab 的最大值可得. ,ab=a+b+3,

﹣3≥0 ≤﹣1(空集)

≥3 或

∴ab≥9 故答案为:[9,+∞) 【点评】: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.考查了学生对基本不等式的 整体把握和灵活运用.

6 / 12

9.a≥

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】根据 x+ ≥2 代入 中求得 的最大值为

进而 a 的范围可得. 【解答】解:∵x>0, ∴x+ ≥2(当且仅当 x=1 时取等号),



=



=

,即

的最大值为

, 故答案为:a≥ 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 10.[2 ,+∞)

【考点】对数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意,先求函数 f(x)的定义域,再由 f(a)=f(b)可得 |log3a|=|log3b|,由对数的运算性质分析可得 ab=1,又由 a、b>0 且 a≠b,结合基本不等 式的性质,可得 =b+ ≥2 ,即可得答案.

【解答】解:根据题意,对于 f(x)=|log3x|,有 x>0, 若 f(a)=f(b),则|log3a|=|log3b|, 又由 a≠b,则有 log3a=﹣log3b, 即 log3a+log3b=log3ab=0, 则 ab=1, 又由 a、b>0 且 a≠b, ∴ 即 =b+ ≥2 ,当且仅当 b= 取等号,

的取值范围是[2

,+∞);

故答案为:

7 / 12

【点评】本题考查基本不等式的运用,注意 a≠b 的条件.属于基础题. 11. 【考点】直线与圆的位置关系;基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】由题意可知圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的圆心(2,1)在直线 ax+2by﹣2=0 上,可得 a+b=1,而 =( )(a+b),展开利用基本不等式可求最小值
2 2

【解答】解:由圆的性质可知,直线 ax+2by﹣2=0 即是圆的直径所在的直线方程 ∵圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的标准方程为(x﹣2) +(y﹣1) =13, ∴圆心(2,1)在直线 ax+2by﹣2=0 上 ∴2a+2b﹣2=0 即 a+b=1
2 2 2 2

∵ ∴

=(

)(a+b)=

=3+2

的最小值

故答案为: 【点评】本题主要考查了圆的性质的应用,利用基本不等式求解最值的问题,解题的关键 技巧在于“1”的基本代换 12. 4 2 ? 1 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 化简函数的解析式,然后利用基本不等式求解最小值即可. 解答: 解:函数 y= ∵x>﹣1,∴x+1>0, y=2(x+1)+ 当且仅当 +1≥2 即 x= . +1=4 时等号成立. , =2(x+1)+ +1,

函数的最小值为:4 故答案为:4 .

点评: 本题考查基本不等式求解函数的最值,基本知识的考查. 13.

【考点】不等式的证明.

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【专题】计算题;规律型;转化思想;推理和证明. 【分析】移项将不等式化为 分析法证明即可. 【解答】证明:要证不等式 (m≥2)成立, < ,利用

需证 需证(

< )2<(

, )2,

即证



需证(m+1)(m﹣2)<m2﹣m, 需证 m ﹣m﹣1<m ﹣m, 只需证﹣1<0 因为﹣1<0 显然成立, 所以原命题成立. 【点评】本题考查的知识点是不等式的证明,考查的知识点是分析法证明.
2 2

14.

【考点】不等式的证明. 【专题】综合题;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)利用综合法,结合基本不等式,即可得出结论; (Ⅱ)设 a+ =(a,b), =(1, ),利用| ? |≤| |?| |,可求

b 的取值范围.

【解答】(I)证明:∵a2+b2≥2ab,c2+d2≥2cd, ∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd),当且仅当 a=b=c=d= 又∵a2+b2=1,c2+d2=1 ∴2(ab+cd)≤2 ∴ab+cd≤1 (Ⅱ)解:设 ∵| ∴|a+
9 / 12

时取“=”?

? ?

=(a,b), |?| |,?

=(1,

),

?

|≤| b|≤2

=2,

∴﹣2≤a+ ∴a+

b≤2 b 的取值范围为[﹣2,2]. ? b 的取值范围,正确运用基本不等式,

【点评】本题考查不等式的证明,考查求 a+ 合理构造向量是关键. 15.

证明 因为 a,b∈R ,由 ab>1 得 a> >0. 又因为 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数, 于是有 同理有 由①+②得 故,命题“设 a,b∈R ,若 ab>1,则 请针对以上阅读材料中的 f(x),解答以下问题: (1)试用命题的等价性证明:“设 a,b∈R ,若 则:ab>1”是真命题; (2)解关于 x 的不等式 f(a 【答案】
x﹣1 + +

+

. .

① ② . ”是真命题.



)+f(2 )>f(a

x

1﹣x

)+f(2 )(其中 a>0).

﹣x

考点:抽象函数及其应用;四种命题;其他不等式的解法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)先写出原命题的逆否命题:设 a,b∈R ,若 ab≤1,则: ,由于原命题与原命题的逆否命题是等价命题,证 明原命题的逆否命题为真命题; (2)利用(1)的结论有:a
x﹣1 +

?2 >1,即:(2a) >a,再分①当 2a>1 时、②当 0<2a

x

x

<1 时、③当 2a=1 时三种情况,写出不等式的解集. 解答: 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题. 原命题的逆否命题:设 a,b∈R ,若 ab≤1,则: 下面证明原命题的逆否命题为真命题:
+



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因为 a,b∈R ,由 ab≤1,得:

+



又 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数 所以 同理有: 由(1)+(2)得: 所以原命题的逆否命题为真命题 所以原命题为真命题. (2)由(1)的结论有:a ①当 2a>1 时,即 ②当 0<2a<1 时,即 ③当 2a=1 时,即
x﹣1

?(1) ?(2)

?2 >1,即:(2a) >a

x

x

时,不等式的解集为:(log2aa,+∞) 时,不等式的解集为:(﹣∞,log2aa)

时,不等式的解集为:R.

点评:本题主要考查抽象函数的综合应用,并同时考查证明真命题的方法,其中,原命题 与原命题的逆否命题是等价命题是解决本题的关键. 16. 证明:因为 a,b,c 为Δ ABC 的三条边 所以 a + b > c > 0 所以 - - - - - 2

1 1 < a +b c
1 1 1+ a + b 1+ c +1 < +1 ,即 < - - - - - 10 a +b c a +b c

所以

所以 17.

a?b c ? - - - - - 12 1? a ? b 1? c

证明:设a=sin? ,b=cos?;x=sin? ,y=cos? ? ax+by=sin? sin? ? cos? cos? ? cos(? ? ? ) ? ? ?1,1? ? 原式成立
18.证明:要证

a b

?

b a

? a ? b ,只需证 a a ? b b ? ab( a ? b )

11 / 12

即证 (a ? b ? ab)( a ? b ) ? 即证 a ? b ? ab ? 该式显然成立,所以 略

ab( a ? b )

ab
b ? b a

即证 a ? b ? 2 ab ,即 ( a ? b ) 2 ? 0

a

? a? b

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