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【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第06章不等式与推理证明6.1不等关系与不等式Word版含解析


第 1 课时

不等关系与不等式

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.

[对应学生用书 P93]

【梳理自测】 1.(教材改编)给出下列命题:①a>b?ac >bc ;②a>|b|?a >b ;③a>b?a >b ; ④|a|>b?a >b .其中正确的命题

是(
2 2 2 2 2 2 3 3

)

A.①② C.③④ D.①④

B.②③

2.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是(

)

A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d
3.已知 a,b,c,d 均为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(教材改编)已知 a>b>0,且 c>d>0,则 5.若- a 与 d b 的大小关系是________. c

π π <α <β < ,则 α -β 的范围是________. 2 2 2.D 3.B 4. a > d b c

答案:1.B

5.(-π ,0) ◆以上题目主要考查了以下内容: (1)比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a a a a -b<0?a<b.另外,若 b>0,则有 >1?a>b; =1?a=b; <1?a<b. b b b (2)不等式的性质 ①对称性:a>b?b<a; ②传递性:a>b,b>c?a>c; ③可加性:a>b?a+c>b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; ④可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; ⑤可乘方:a>b>0?a >b (n∈N,n≥2); ⑥可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 【指点迷津】 1.两点常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m 2.三点注意 (1)注意不等式推导方向有单向“?”和双向“?”之分. 在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传 递不过去的.如:a≤b,b<c?a<c.反之不成立. (2)在乘法法则中, 要特别注意“乘数 c 的符号”, 例如当 c≠0 时, 有 a>b?ac >bc ; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac >bc 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). (3)“a>b>0?a >b (n∈N , n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数, a>b>0”,
n n * 2 2 2 2 n n

n

n

假如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件,取 n=-1,a=3,b=2,那么就会出现“3
-1

-1

>2 ”的错误结论;假如去掉“b>0”这个条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就会出现 “3 >(-4) ”的错误结论.
2 2

[对应学生用书 P94]

考向一

比较大小

(2014·吉林联考)已知实数 a、b、c,满足 b+c=6-4a+3a ,c-b=4-4a +a ,则 a、b、c 的大小关系是( A.c≥b>a C.c>b>a 【审题视点】 负. 【典例精讲】 ∴c≥b (b+c)-(c-b)=2a +2,∴b=a +1, ∴b-a=a -a+1>0,∴b>a. 【答案】 A (1)作差法
2 2 2 2

2

) B.a>c≥b

D.a>c>b 转化作差运算、直接判断 c-b 的正负,构造 b-a 的表达式,判断正

c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0

【类题通法】

其一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、 因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,也可 以先平方再作差. (2)作商法 其一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值法探路.

1.已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是(

)

A.M<N B.M>N

C.M=N D.不确定
1 1 1 解析:选 B.(特值法)取 a1= ,a2= ,则 M= ,N=0,故 M>N. 2 2 4 考向二 不等式性质的应用

(1)(2014·包头模拟)若 a>0>b>-a;c<d<0,则下列命题;(1)ad>bc; a b (2) + <0;(3)a-c>b-d;(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( d c )

A.1 B.2 C.3 D.4
a +b (2)“ ≤-2”是“a>0 且 b<0”的( ab
2 2

)

A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
【审题视点】 【典例精讲】 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假. (1)∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,

∴ad<bc,∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c>b-d,∴(3)正确.∵a >b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,故选 C.
2 2 2 2 2 ? ?a<0 ? ?a>0 a +b a +b (a+b) (2) ≤-2? +2= ≤0?ab<0?? 或? ,故选 A. ab ab ab ?b>0 ? ?b<0 ?

【答案】

(1)C

(2)A 在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性

【类题通法】

质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还 要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的性质等.

2.(2014·温州市高三质检)设 a,b∈R,则“a>1 且 b>1”是“ab>1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件

解析:选 A.a>1 且 b>1?ab>1;但 ab>1,则 a>1 且 b>1 不一定成立,如 a=-2,

b=-2 时,ab=4>1.故选 A.

考向三 设 a>b>c,求证: 【审题视点】 【典例精讲】 先确定 1

简单不等式的证明

1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a 1 >0,再根据 b-c>0 证得.

a-b c-a



∵a>b>c,∴-c>-b. 1

∴a-c>a-b>0,∴ ∴ 1 + 1

a-b a-c



1

>0. 1 >0.

a-b c-a

>0.又 b-c>0,∴

b-c

1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a 【类题通法】 不等式证明,就是利用不等式性质或已知条件,推出不等式成立.

e e 3.若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: 2> 2. (a-c) (b-d) 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c) >(b-d) >0.∴0<
2 2

1 1 2< 2. (a-c) (b-d)

e e 又∵e<0,∴ 2> 2. (a-c) (b-d)

[对应学生用书 P95]

不等式性质应用不当致误
? ?3≤2x+y≤9 (2011·高考课标全国卷)若变量 x,y 满足约束条件? ,则 z=x+ ?6≤x-y≤9 ?

2y 的最小值为________. 【正解】 令 z=x+2y=λ (2x+y)+μ (x-y)

=(2λ +μ )x+(λ -μ )y,
? ? ?2λ+μ =1 ?λ=1 ∴? ,∴? ,∴z=(2x+y)-(x-y), ?λ -μ =2 ?μ =-1 ? ?

又∵3≤2x+y≤9,-9≤-(x-y)≤-6, ∴-6≤(2x+y)-(x-y)≤3,即-6≤z≤3, ∴zmin=-6. 【答案】 【易错点】 ② ①+②得,3≤x≤6, ①-2×②得,-2≤y≤-1, 从而得-1≤x+2y≤4, 认为 zmin=-1. 其错因是使用不等式性质时,等号不同时成立. 【警示】 等价转换. 此类题要注意 2x+y、x-y 的整体应用,注意等号成立条件,题目运算要 -6
? ?3≤2x+y≤9 由? ① ?6≤x-y≤9 ?

1.(2013·高考天津卷)设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

2

)

D.既不充分也不必要条件
2

解析:选 A.分别判断由(a-b)·a <0 是否能得出 a<b 成立和由 a<b 是否能得出(a -b)·a <0 成立. 由不等式的性质知(a-b)·a <0 成立,则 a<b 成立;而当 a=0,a<b 成立时,(a-
2 2

b)·a2<0 不成立,所以(a-b)·a2<0 是 a<b 的充分而不必要条件.
2.(2013·高考北京卷)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A.ac>bc C.a >b
2 2

)

1 1 B. <

a b
3 3

D.a >b

解析:选 D.利用作差比较法或取特殊值排除法. A 项,c≤0 时,由 a>b 不能得到 ac>bc,故不正确; 1 1 B 项,当 a>0,b<0(如 a=1,b=-2)时,由 a>b 不能得到 < ,故不正确;

a b

C 项, 由 a -b =(a+b)(a-b)及 a>b 可知当 a+b<0 时(如 a=-2, b=-3 或 a=2,

2

2

b=-3)均不能得到 a2>b2,故不正确;

2 2 ?? b? 3 2? ? b? 3 2 3 3 2 2 D 项,a -b =(a-b)(a +ab+b )=(a-b)·??a+ ? + b ?,因为?a+ ? + b >0, ? 2? 4 ?? 2? 4 ?

所以可由 a>b 知 a -b >0,即 a >b ,故正确. 3. (2013·高考浙江卷)设 a, b∈R, 定义运算“∧”和“∨”如下: a∧b=?
?b,a≤b, ? a∨b=? ?a,a>b. ? ? ?a,a≤b, ?b,a>b, ?

3

3

3

3

若正数 a,b,c,d 满足 ab≥4,c+d≤4,则( A.a∧b≥2,c∧d≤2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 D.a∨b≥2,c∨d≥2

)

解析:选 C.不妨设 a≤b,c≤d,则 a∨b=b,c∧d=c. 若 b<2,则 a<2,∴ab<4,与 ab≥4 矛盾, ∴b≥2.故 a∨b≥2. 若 c>2,则 d>2,∴c+d>4,与 c+d≤4 矛盾, ∴c≤2.故 c∧d≤2.故选 C. 4.(2012·高考四川卷)设 a,b 为正实数.现有下列命题: ①若 a -b =1,则 a-b<1; 1 1 ②若 - =1,则 a-b<1; b a ③若| a- b|=1,则|a-b|<1; ④若|a -b |=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 1 2 2 2 2 解析:①中,∵a -b =1,∴a-b= ,而 a>0,b>0,又 a =b +1>1,∴a>1, a+b 1 从而 <1,即 a-b<1,∴①正确. a+b 5 ②中,取 a=5,b= ,验证知②错误. 6 ③中,取 a=4,b=1,验证知③错误. ④中,不妨设 a>b,∵a -b =1,又(a-b) =a -3a b+3ab -b =1+3ab(b-a)<1, 故 a-b<1,∴④正确. 答案:①④
3 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2


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