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高考总复习动能和动能定理


(对应学生用书 P83) 一、动能 (Ⅱ ) 1.定义:物体由于运动而具有的能. 1 2 2.公式: Ek= mv . 2 3.单位:J,1 J=1 N· m= 1 kg· m2/s2. 4.矢标性:动能是标量,只有正值.

动能是状态量,其表达式中的v是瞬时速度,但动能的变化量是过 程量. 问题探究1 [提示] 物体速度改变了动能一定变化吗? 不一定.<

br />
二、动能定理 (Ⅱ ) 1. 内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程 中动能的变化. 1 2 1 2 2.表达式: W= Ek2- Ek1= mv2- mv1. 2 2 3.物理意义:动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体动能 变化量之间的关系,即合力的功是物体动能变化的量度. 4.动能定理的适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动,也适用于曲线运动; (2)既适用于恒力做功,也适用于变力做功; (3)力可以是各种性质的力,既可以同时作用,也可以不同时作 用.

问题探究2

用牛顿第二定律解题时,我们常常采用建立直角坐标

系,把力或加速度分解到x、y轴上,然后沿x方向列出F合x=max,沿y方 向列出 F 合 y = may 求解的方法.那么用动能定理解题时,能否运用类似 的方法,建立直角坐标系,把力和速度沿 x轴、y轴分解,然后沿 x 方向 列出W合x=ΔEkx,沿y方向列出W合y=ΔEky求解?

[提示]

将合外力分解到 x、 y轴上,相当于两个分力做功.合外力

所做的总功可以由两个分力所做的功的代数和求得,也可直接求合外 力所做的功.由于速度为矢量,动能为标量,动能的变化为 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ΔEk= mv 2- mv 1= m(v 2x+ v 2y)- m(v 1x+ v 1y)= m(v 2x- v 1x)+ 2 2 2 2 2 2
2 m(v2 2y- v1y)

所以合外力所做的功等于物体在 x轴方向上由于速度变化而引起的 动能的变化与在 y轴方向上由于速度变化而引起的动能的变化的代数 和.这个结论也可以分别在x轴、 y轴方向上运用牛顿运动定律和运动 学公式进行推导,但要注意动能不能分解,只是等于两个数值的代数 和.

(对应学生用书P84)

要点一
关系.

对动能定理的理解

1.一个物体的动能变化 ΔEk与合外力对物体所做功W具有等量代换

(1) 若 ΔEk>0 ,表示物体的动能增加,其增加量等于合外力对物体
所做的正功. (2) 若 ΔEk<0 ,表示物体的动能减少,其减少量等于合外力对物体

所做的负功的绝对值.

(3)若ΔEk=0,表示合外力对物体所做的功等于零.反之亦然.这 种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法. 2.动能定理公式中等号的意义 等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系: (1)数量关系:即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换 关系.可以通过计算物体动能的变化,求合力的功,进而求得某一力的 功. (2)单位相同:国际单位都是焦耳.

(3)因果关系:合外力的功是物体动能变化的原因.

3.动能定理中涉及的物理量有 F、x 、 m、 v、W、Ek等,在处理 含有上述物理量的力学问题时,可以考虑使用动能定理.由于只需要从 力在整个位移内所做的功和这段位移始末两状态的动能变化去考虑,无 需注意其中运动状态变化的细节,同时动能和功都是标量,无方向性, 所以无论是直线运动还是曲线运动,计算都会特别方便. 4.动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般 以地面为参考系.

一个质量为0.3 kg的弹性小球,在光滑水平面上以6 m/s的速度垂 直撞到墙上,碰撞后小球沿相反方向运动,反弹后的速度大小与碰撞前 相同,则碰撞前后小球速度变化量的大小 Δv 和碰撞过程中墙对小球做 功的大小W为( A.Δv=0 C.W=1.8 J ) B.Δv=12 m/s D.W=10.8 J

[解析]

取末速度的方向为正方向,则 v2= 6 m/s, v1=-6 m/s, m/s, A错误,B正确;小球与墙碰撞过程

速度变化 Δv= v2- v1= 12

1 2 1 2 中,只有墙对小球的作用力做功,由动能定理得: W= mv 2 - mv1 = 2 2 0,故 C、D均错误.

[答案]

B

要点二 1.基本步骤

应用动能定理的解题步骤和注意的问题

(1)选取研究对象,明确它的运动过程; (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况;

(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2;
(4)列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的解题方程,进 行求解.

2.注意的问题 (1)动能定理的研究对象是单一物体,或者是可以看做单一物体的 物体系统. (2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式.当题目中涉及 到位移时可优先考虑动能定理;处理曲线运动中的速率问题时也要优先 考虑动能定理. (3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程,既可分段考虑,也 可整个过程考虑.但求功时,有些力不是全过程都作用的,必须根据不

同的情况分别对待求出总功.
(4)应用动能定理时,必须明确各力做功的正、负 . 当一个力做负 功时,可设物体克服该力做功为W,将该力做功表达为- W,也可以直

接用一字母表示该力做功,使其字母本身含有负号.

(1)应用动能定理解题,关键是对研究对象进行准确的受力分析及 运动过程分析,并画出物体运动过程的草图,借助草图理解物理过程和 各量关系.有些力在物体运动全过程中不是始终存在的,在计算外力做 功时更应引起注意. (2)高考对该类问题常综合各种力及平抛、圆周运动、牛顿运动定 律等知识,考查学生的理解、推理、分析综合能力.

(2011·保定联考)“头脑风暴法”是上个世纪风靡美国的一种培养
学生创新思维能力的方法,某学校的一个“头脑风暴实验研究小组”以

保护鸡蛋为题,要求制作一个装置,让鸡蛋从高处落到地面而不被摔坏;

鸡蛋要不被摔坏,直接撞击地面的速度最大不能超过 1.5 m/s.现有一位
学生设计了如右图所示的一个装置来保护鸡蛋,用 A、 B 两块较粗糙的 夹板夹住鸡蛋,鸡蛋夹放的位置离装置下端的距离 s=0.45 m,A、B夹

板与鸡蛋之间的摩擦力都为鸡蛋重力的 5倍,现将该装置从距地面某一
高度处自由下落,装置碰地后速度为0, 且保持竖直不反弹,不计装置与 地面作用时间.(g=10 m/s2)求: 刚开始装置的末端离地面的最大 高度H.

[解析]

解法一:分阶段:

设装置落地瞬间速度为 v1,鸡蛋着地瞬间速度为 v2= 1.5 m/s,则从 装置开始下落到着地过程,对鸡蛋应用动能定理有: 1 mgH= mv2 2 1 在装置着地到鸡蛋撞地过程,对鸡蛋应用动能定理有: 1 2 1 2 mgs- 2Ffs= mv2- mv1,其中 Ff= 5mg. 2 2 代入相关数据解得: H= 4.16 m.

解法二:全过程: 从装置开始下落到鸡蛋撞地全过程,对鸡蛋应用动能定理有: 1 2 mg(H+ s)-2Ffs= mv2-0, 2 代入数据解得: H=4.16 m.

[答案]

4.16 m

(对应学生用书P85)

题型一

利用动能定理求变力做功

用动能定理求解变力做功的注意要点:

(1)分析物体受力情况,确定哪些力是恒力,哪些力是变力.
(2)找出其中恒力的功及变力的功. (3)分析物体初末状态,求出动能变化量.

(4)运用动能定理求解.

例1 总质量为80 kg的跳伞运动员从离地500 m的直升机上跳下, 经过2 s拉开绳索开启降落伞. 如下图所示是跳伞过程中的v-t图象,试根 据图象求:(g取10 m/s2) (1)t=1 s时运动员的加速度和所受阻力的大小; (2)估算14 s内运动员下落的高度及克服阻力做的功; (3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间.

[思路诱导]

(1)运动员在前2 s内做匀加速直线运动,阻力恒定;

(2)v-t图象与t轴所围的面积表示运动员下落的高度; (3)2 s~14 s内阻力是变力.
[尝试解答] (1)从图中可以看出,在 t= 2 s内运动员做匀加速运

动,其加速度大小为 v 16 a= = m/s2= 8 m/s2 t 2 设此过程中运动员受到的阻力大小为 Ff,根据牛顿第二定律,有 mg- Ff= ma 得 Ff= m(g- a)= 80× (10- 8)N= 160 N.

(2)从图中由面积估算得出运动员在 14 s内下落了 h= 39.5×2×2 m= 158 m 1 根据动能定理,有 mgh- Wf= mv2 2 1 所以有 Wf= mgh- mv2 2 1 = (80× 10× 158- × 80×62)J≈ 1.25×105 J. 2 (3)14 s后运动员做匀速运动的时间为 H- h 500- 158 t′= = s= 57 s v 6 运动员从飞机上跳下到着地需要的总时间为 t总 = t+ t′= (14+ 57) s= 71 s.

[答案]

(1)8 m/s2

160 N

(2)158 m

1.25×105 J

(3)71 s

运动员在2 s~14 s内受到的阻力是变力,不注意这一点,易出现 克服阻力做的功Wf=Ffh=2.528×104 J的错误结果.

如下图所示,一个质量为 m的圆环套在一根固定的水平直杆上,环 与杆的动摩擦因数为 μ,现给环一个向右的初速度 v0,如果在运动过程 中还受到一个方向始终竖直向上的力 F的作用,已知力 F的大小 F= kv(k为常数, v为环的运动速度 ),则环在整个运动过程中克服摩擦力所 做的功 (假设杆足够长 )可能为 ( 1 A. mv2 2 0 1 2 m3g2 C. mv0+ 2 2 2k B. 0 1 3 m3g2 D. mv0- 2 2 2k )

[解析]

mg 当 mg= kv0时,即 v0= 时,环做匀速运动,Wf= 0,环 k mg 时,环在运动过程中,速度减小, F减小, k

克服摩擦力所做的功为零; 当 mg>kv0时,即 v0<

1 1 2 摩擦力 Ff增大,最终环静止 Wf= 0- mv 0 ,环克服摩擦力所做的功为 2 2 mv2 0. mg 当 mg<kv0时,即 v0> 时,环在运动过程中,速度减小, F减小, k 1 2 1 2 m3g2 摩擦力 Ff减小到 mg= kv时,环做匀速运动, Wf= mv - mv0 = 2 - 2 2 2k 1 2 1 2 m3 g2 mv ,即环克服摩擦力所做的功为 mv0- 2 . 2 0 2 2k

[答案]

ABD

题型二

动能定理在多过程问题中的运用

物体在运动过程中若包含几个不同的过程,应优先考虑对全过程 运用动能定理,这样比分段运用动能定理求解简单.因为运用动能定理 以及初、末状态的动能,所以对于多过程、往复运动问题,对全过程运 用动能定理比较简便. 运用动能定理解题的思路可以概括为八个字: “一个过程,两个

解题时无需考虑中间过程的细节,只需考虑全过程中合外力做功的情况,

状态”.所谓一个过程是指做功过程,应明确问题涉及的过程中各外力
所做的总功.两个状态是指初、末两个状态的动能.

例2

(18分)(2011· 石家庄质检 )如右图所示,竖直固定放置的粗糙

斜面 AB的下端与光滑的圆弧 BCD的 B点相切,圆弧轨道的半径为 R,圆 心 O与 A、 D在同一水平面上, C点为圆弧轨道最低点,∠ COB= θ,现 Rcosθ 将质量为 m的小物体从距 D点为 的地方无初速度地释放,已知小 4 物体恰能从 D点进入圆轨道.求: (1)为使小物体不会从 A点冲出斜面,小物体与斜面间的动摩擦因 数至少为多少?

sinθ (2)若小物体与斜面间的动摩擦因数 μ= ,则小物体在斜面上 2cosθ 通过的总路程为多少? (3)小物体通过圆弧轨道最低点 C时,对 C点的最大压力和最小压力 各是多少?
[解题样板] mg (1)为使小物体不会从 A点冲出斜面,由动能定理得 Rcosθ - ________= 0(2分 ) 4

sinθ 解得动摩擦因数至少为 μ= .(1分 ) 4cosθ (2)分析运动过程可得,最终小物体将从 B点开始做往复运动,由 动能定理得 Rcosθ mg( + Rcosθ)- ________= 0(2分 ) 4

5Rcosθ 解得小物体在斜面上通过的总路程为 s= .(1分 ) 2sinθ (3)由于小物体第一次通过最低点时速度最大,此时压力最大,设 为 Nmax,由动能定理得 Rcosθ 1 2 mg( + R)= mv (2分 ) 4 2 v2 由牛顿第二定律得 ________= m (2分 ) R 1 联立以上两式解得 Nmax= 3mg+ mgcosθ(1分 ) 2 最终小物体将从 B点开始做往复的运动,则有 1 mgR(1- cosθ)= mv′ 2 (2分 ) 2 v′ 2 ________= m (2分 ) R

联立以上两式,解得 Nmin= mg(3- 2cosθ)(1分 ) 由牛顿第三定律,得小物体通过圆弧轨道最低点 C时,对C点的最 1 大压力 N′max= Nmax= 3mg+ mgcosθ(1分 ) 2 最小压力 N′ min= Nmin= mg(3-2cosθ). (1分 )
[答案] Rcosθ (1)μmgcosθ sinθ (2)μmgscosθ (3)Nmax-mg Nmin-mg

(2011·中山模拟 )如右图所示,倾角为θ的斜面上只有 AB段粗糙, 其余部分都光滑,AB段长为3L. 有若干个相同的小方块 (每个小方块视 为质点)沿斜面靠在一起,但不粘接,总长为L. 将它们静止释放,释放 时下端距A为2L. 当下端运动到A下面距A为L/2时物块运动的速度达到最 大. (1)求物块与粗糙斜面的动摩擦因数; (2)求物块停止时的位置;

(3)要使所有物块都能通过B点,由静止释放时物块下端距A点至少
要多远?

[解析] 量为 m,则

(1)当整体所受合外力为零时,整体速度最大,设整体质

1 mgsinθ= μ mgcosθ,得 μ= 2tanθ. 2 (2)设物块停止时下端距 A点的距离为 x,根据动能定理 1 mg(2L+ x)sinθ- μmgcosθL- μmgcosθ(x- L)= 0,解得 x= 3L,即 2 物块的下端停在 B端.

(3)设静止时物块的下端距 A的距离为 s,物块的上端运动到 A点时 速度为 v,根据动能定理 1 1 mg(L+ s)sinθ- μmgcosθL= mv2,物块全部滑上 AB部分后,小 2 2 方块间无弹力作用,取最上面一小块为研究对象,设其质量为 m0,运 动到 B点时速度正好减到 0,根据动能定理 1 m0g3Lsinθ- μm0g3Lcosθ= 0- m0v2,得 s= 3L. 2

[答案]

(1)2tanθ

(2)停在B端

(3)3L

(对应学生用书P86) 易错点1:过程分析不清楚导致错误

将质量m=2 kg的一块石头从离地面H=2 m高处由静止开始释放, 落入泥潭并陷入泥中h=5 cm深处,不计空气阻力,求泥对石头的平均 阻力.(g取10 m/s2)

[ 易错分析 ]

在解答本题时易犯错误具体分析如下:没有分析清

楚石头在整个运动过程中的受力情况,认为石头下落时仅在空中受到重 力作用.实际上整个过程分为两个阶段,第一阶段是空中的自由下落运 动,只受重力作用;第二阶段是在泥潭中的运动,受重力和泥的阻力.
[正确解答] 对石头整个运动过程应用动能定理,

则:mg(H+ h)- F h= 0- 0 H+ h 2+ 0.05 所以泥对石头的平均阻力: F = mg = 2×10× N= 0.05 h 820 N.

(2011·长沙模拟)如图所示,轻弹簧左端固定在竖直墙上,右端点 在O位置.质量为m的物块A(可视为质点)以初速度v0从距O点右方x0的P 点处向左运动,与弹簧接触后压缩弹簧,将弹簧右端压到O′点位置后, A又被弹簧弹回,A离开弹簧后,恰好回到 P点,物块A与水平面间的动 摩擦因数为μ.求: (1)物块A从P点出发又回到P点的过程,克服摩擦力所做的功. (2)O点和O′点间的距离x1.

[解析]

(1)A从 P点出发又回到 P点的过程中根据动能定理得克服摩

1 擦力所做的功为 WFf= mv2 2 0 (2)A从 P点出发又回到 P点的过程中根据动能定理 1 2 2μmg(x1+ x0)= mv0 2 v2 0 得: x1= - x0 4μg
[答案] 1 (1) mv2 2 0 v2 0 (2) - x0 4μg

易错点2:未能理解机车牵引力做的功而出错 一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶,经过时间 t ,其速度由 0 增 大到 v. 已知列车总质量为 M ,机车功率 P 保持不变,列车所受阻力 Ff 为 恒力.求这段时间内列车通过的路程. [易错分析] 机车以恒定功率起动时,误认为牵引力恒定.由P= Fv知,在P一定的情况下,随着v的变化,F是变化的.机车以恒定功率 起动时虽然牵引力在变化,是变力,但牵引力所做的功可用 W=Pt来计

算.

[正确解答]

以列车为研究对象,列车水平方向受牵引力和阻 1 Mv2- 0.因为列 2

力.设列车通过的路程为 x.根据动能定理有 WF- Wf= W 车功率一定,据 P= 可知牵引力做的功,即 WF= Pt t 1 2 Pt- Mv 2 联立解得 x= . Ff

一辆汽车的质量是5×103 kg,发动机的额定功率为60 kW,汽车 所受阻力恒为5000 N,如果汽车从静止开始以0.5 m/s2的加速度做匀加 速直线运动,功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离,最终汽车 达到了最大速度.在刚达到最大速度时,汽车运动了125 m,问在这个 过程中,汽车发动机的牵引力做了多少功?

[解析 ]

在刚达到最大速度的整个过程中,汽车的运动可分为两个

阶段,第一阶段是功率越来越大的匀加速直线运动,第二阶段是以额定 功率行驶的变加速直线运动 当汽车做匀加速直线运动时,首先由牛顿第二定律 F- f= ma,求 得牵引力 F= ma+ f= 7500 N
3 P 60×10 汽车匀加速直线运动结束时的速度 vt= = m/s= 8 m/s; F 7.5× 103

v2 82 t 此时前进的位移 s1= = m= 64 m 2a 2× 0.5 第一阶段汽车的牵引力恒定,牵引力做功 W1= F· s1= 4.8× 105 J

第二阶段汽车保持额定功率不变,最终匀速运动时牵引力 F′和 P 阻力为平衡力, P= F′ vm= fvm,所以 vm= = 12 m/s;由动能定理得 f 1 2 1 2 W2- f(s- s1)= mvm- mvt ,所以 W2= 5.05× 105 J 2 2 在整个过程中,汽车发动机的牵引力做功 W= W1+ W2= 9.85× 105 J.

[答案]

9.85×105 J

(对应学生用书P86) 1.质量为 m的物体在水平力 F的作用下由静止开始在光滑地面上 运动,前进一段距离之后速度大小为 v,再前进一段距离使物体的速度 增大为2v,则( ) A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量 B.第二过程的动能增量是第一过程的动能增量的 3倍 C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功 D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的 2倍

[解析]

1 2 第一过程: W合 1= mv 2

1 1 2 3 2 2 第二过程: W合 2= m(2v) - mv = mv ,故 W合 2= 3W合 1 2 2 2

[答案]

AB

2.某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用,由静止 开始做直线运动,力F1、F2与位移 x的关系图象如右图所示,在物体开 始运动后的前4.0 m内,物体具有最大动能时对应的位移是( A.2.0 m C.3.0 m B.1.0 m D.4.0 m )

[解析] [答案]

合外力为零时,动能最大,由图知2.0 m时速度最大. A

3.(2011·广州模拟)如右图所示,一辆汽车从A点开始爬坡,在牵 引力不变的条件下行驶45 m的坡路到达B点时,司机立即关掉油门,以

后汽车又向前滑行15 m停在C点,汽车的质量为5×103 kg,行驶中受到
的摩擦阻力是车重的 0.25倍,取g= 10 m/s2,求汽车的牵引力做的功和 它经过B点时的速率.
[解析] BC段加速度为 aBC mgsin30° + 0.25 mg aBC= = 7.5 m/s m vB= 2aBCxBC= 15 m/s 在 AB段,由动能定理得: 1 2 W- (mgsin30° + 0.25 mg)xAB= mvB 2 ∴ W= 2.25× 106 J

[答案]

2.25×106 J

15 m/s

4.(2011·石家庄模拟)质量m=1 kg的物体,在水平拉力F(拉力方 向与物体初速度方向相同)的作用下,沿粗糙水平面运动,经过位移4 m 时,拉力F停止作用,运动到位移是8 m时物体停止,运动过程中 Ek-x的图线如图所示.(g取10 m/s2)求: (1)物体的初速度多大? (2)物体和水平面间的动摩擦因数为多大? (3)拉力F的大小.

[解析]

1 2 (1)从图线可知初动能为 2 J, Ek0= mv = 2 J, v= 2 m/s. 2

(2)在位移为 4 m处物体的动能为 Ek= 10 J,在位移为8 m处物体的 动能为零,这段过程中物体克服摩擦力做功. 设摩擦力为 Ff,则 - Ffx2= 0- Ek= 0- 10 J=- 10 J - 10 Ff= N= 2.5 N -4 因 Ff= μmg Ff 2.5 故 μ= = = 0.25 mg 10

(3)物体从开始到移动 4 (F- Ff)· x1= Ek- Ek0

m这段过程中,受拉力 F和摩擦力 Ff的作

用,合力为 F- Ff,根据动能定理有 Ek- Ek0 10- 2 故得 F= + Ff= ( + 2.5) N= 4.5 N. 4 x1

[答案]

(1)2 m/s

(2)0.25

(3)4.5 N


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