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人教版高中数学必修1至5说课稿(详稿)


正、余弦函数图像的教学设计 本节内容是在初中函 数图像及高中数学 必修 1 中初等基本函数之后的又一函数类型, 是三角函数 的 起始课,在整个 知识系统中起着承上启下的作用。 学情分析: 学生已具有从函数图像 着手研究函数的意识和用描点法、关键点法作函数图像的能 力。因此 ,本 节课我们从描点 法探究锐角函数图像着手,用几何 法(利用正弦函数线)完善正弦函 数(x 为实数)的 图

像,最后用关键点 法(五点法)及图 像的平移变换来提高学生作有关正弦 函数图像 的能力。 教学目标: 知识与技 能 1.能借助正弦线画出正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像; 2.弄清正弦 、余弦函数的图像之间 的关系;记住正弦、余弦函数图像的特征; 3.会用五点画正弦、余弦函数的图像; 4.通过组织学 生观察、猜想、 验证与归纳,培养学生的数学能力。掌握利用数形结合思想分析问题、 解决问题的技能。 过程与方法 利用三角函数线,作正弦函数的图像;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公 式,自主 探究出余 弦函数的图像;能学以致用,尝试用五点作图法作余弦函数的图像,并能结 合图像分析得到余弦函数的 性质。 情感、态度与价值观 1.通过作正弦函数和余弦函数图像,培养学生认真负责,一丝不苟的学习精神; 2.会用联系的观点看问题 ,培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想, 使学生理解动与静 的辩证关系.,激发学生的学习积极性; 3.培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使 学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事 求是的科学态度和锲而不舍的钻研精 神。 4.通过对函数图像的欣赏 ,增强学生欣赏数学美的意识。 教学准备:多媒体课件、圆规、波动演示仪、 教学重点:正、余弦函数图像 教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点,正余弦函数图像间的关系。 教学方法 :启发与探究相结合 教学过程: 一、课题引语 :(用幻灯片展示) 一个学生在数学本上这样写道: 老师,你总说数学好玩、数学好美、数学好有用。可我总觉得她繁琐、枯燥、甚至可恶。就画函 数图像来说吧,你总说它美丽,可我总觉得它们是一条条光滑的泥鳅、我就是抓也抓不着… 师:看了这段话,我沉思良久,自责自己没能很好的激发同学们学习数学的兴趣,只顾自己对数学感

受,而忽视了你们对数学的感受。今天,我想和同学们一起走近数学,寻找函数图像之美。我们都希望看 到一条波澜起伏、周而复始、连绵不断的优美曲线。 二、活动:鼓励学生试着画出符合条件的图像(如:心电图,波动路线等)。 三、活动探究 师:初中所学以及我们刚学的三类(指数函数、对数函数、幂函数)函数的图像都不符合这种要求。 曾记否,初中所学的哪一类函数,我们还未曾研究过它的图像?(锐角三角函数) 活动一、请同学们作锐角正弦函数的图像 (根据特殊角的三角函数,极其连续性单调性及其作用。) 活动二、请同学们作 y=sinx,x?[0,2π ]的图像 (之后,教师用 flash 课件演示图像的活动过程) 活动 三、请同学们作 y=sinx,x?[2π ,4π ]的图像 活动四、请同学们作 y=sinx,x?[-2π ,0]的图像 活动五、请同学们作 y=sinx,x? R 的图像 活动六、引导学生欣赏 y=sinx,x? R 的图像(y=sinx 的图像叫做正弦曲线) 让学生切身体会到其波澜起伏、连绵不断、特别优美(轴对称、中心对称)的特点。 (教师用物理器材演示正弦曲线的动中有静之美,这种美在蛇舞中的应用) 思考 1:如何作正弦函数图像?(作函数图像的基本方法:关键点法)。 练习: 用五点法作下列函数的简图 1、 y=1+sinx 2、 y=sin(x+
?
2

x?[0,2π ] ) x?[0,2π ]

(学生作图后,教师引导用平移变换作图) 思考 2:如何作函数 y=cosx 的图像? 活动 7、请同学们观察正、余弦函数图像的异同(鼓励学生用自己的语言表达) 欣赏:用函数作图器在同一直角坐标系上作正、余弦函数图像让学生欣赏(像 DNA 链条) 练习:作函数 y=-cosx x?[0,2π ] 的图像 师:艾滨浩斯的遗忘曲线揭示了人类的遗忘规律。正、余弦函数图像揭示的是人类或自然界的何种规 律?日后,我们将继续探索。(设置教学悬念) 四、学习小结 请学生谈谈本节课的收获。 五、作业 分别用五点法和平移变换作下列函数的图像 1、 y=1-sinx , x?[-2π ,2π ]

2、 y=cos(x+π ) , x?[-π ,3π ]

活 活 动 一




?
2

容 ]的图像

请同学们作锐角正弦函数 y=sinx, x?[0,
?
6

x y

0

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4

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3

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2

请同学们作 y=sinx,x?[0,2π ]的图像 x 活 y 动 二 y 0
1 2
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2? 12

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0

0

x

请同学们作 y=sinx,x?[2π ,4π ]的图像 活 动 三 y

0

x

请同学们作 y=sinx,x?[-2π ,0]的图像 活 动 0 四 x y

请同学们作 y=sinx,x? R 的图像 活 动 五 0 x y

用五点法作下列函数的简图: 1、y=1+sinx 练 y x?[0,2π ]

x y

0

?
2

?

3? 2

2?



0
?
2

x x ) x?[0,2π ] y 0 1 0 -1 0



2、y=sin(x+ y

0

x

练 习

作函数 y=-cosx x?[0,2π ] 的图像 y 0 x



分别用五点法和平移变换作下列函数的图像 3、 y=1-sinx x?[0,2π ] y

0 作 4、 y=cos(x+π ) , x?[-π ,3π ] y

x

0 业 定 义 域 最 大 值 最 小 值 值 域 奇 偶 性 单调区间 对 称 轴 对称中心 六、课后反思: y=sinx y=cosx 本节课收获

x

2009 年 4 月 10 日上午,我在高一(1)班上了一节《正弦函数、余弦函数的图象》公开课。在这之前, 我先后在校内公开课初、复赛中讲解了《几何概型》、《同角三角函数关系(1)》两个课题。在此过程 中,通过数学组的集体评课,我获益匪浅,清楚了自己的优、劣势以及改进方向。比如,对学情的把握, 师生的互动,对细节方面的处理,过渡性语言的设计,等等。总体而言,这是两节令我满意的课,在课堂 教学有效性方面对我的启迪很大,为我参加区公开课比赛奠定了基础。 然而,这次区公开课的准备过程并没有我想象的那样顺利。首先,三角函数这部分内容知识点较为琐 碎,对学生的要求较高,而我们的学情是学生基础差,底子薄,理解、计算能力不强;其次,涉及到作图 问题,我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给我教学环节的设计和教学语言的组织带来了困 难。如何提升他们的学习兴趣,科学有效地引导他们,使他们“听得懂,学得会”,是我面临的最大问题。 为了上好这节课,我在集体备课时进行说课,请大家批评指正,并在我的另一个班级先试讲再与老师 们充分交流,最后确定了这堂公开课的主线:充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性,认真梳理好讲解 的顺序(包括推导步骤和图象、简图的画法安排),通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象特点。 自我感觉这节课的亮点有以下几个方面:

1、整堂课的教学设计体现了充分备学生的特点。根据我校平行班学生数学基础比较薄弱的实际情况, 对偏难繁杂的内容大胆地删减,如:利用正弦线作图的方法,将函数性质留待下节课讲解等等,使得教学 难度适中,真正做到了因材施教。 2、数学总是要在游戏中学习的,本课采用计算机绘图来增加学生的新鲜感,充分调动起学生的学习 兴趣。在这四十分钟里,我先后采用让学生在电子白版上作图、利用计算机技术绘图、学生上台板演及用 投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段,使学生积极而充分地参与到课堂活动中来,符合新课改的 理念。 3、在处理教材上,我先让学生在函数 y=sinx,x?[0,2π ]的图象上直接找和读关键点的坐标,从而直 观感知正弦曲线,再结合特殊角的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知,让学生来探索余弦曲 线及其作图方法。这种由特殊到一般,由结论到实例的直线型思维模式,一反数学的严格推理论证模式, 由浅入深,使我们的学生在思维上易于理解与接受。 4、板书设计工整,善于运用多媒体辅助教学;普通话标准,教态自然大方,有较好的教学基本功。 尽管公开课上得比较顺利,但并没有达到最好的效果,主要存在以下几个方面的不足,需要我认真反 思,并在今后不断努力改进: 1、在重点知识的强调上稍快,给学生的思考和发挥的空间不足。比如开头讲函数 y=sinx,x?[0,2π ] 的图象时,给学生寻找关键点的时间不够长;应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程,而且可以 用小组讨论的方法调动他们去想问题,这样才能使他们对知识的理解更为深刻。 2、时间安排上不够精当。在“师生探索”中给学生作正弦曲线的时间过长,而“学生活动”中给学 生作余弦曲线的时间又相对显得短了点。应当反过来,这样学生才能有充分的独立思考时间;同时也可避 免“变式练习”讲解时间不够和拖堂两分钟的遗憾。 好在我从之前的试讲中汲取教训,考虑到每个班接受能力不同,实际情况可能有变,老师讲多讲少必 须根据课堂情况随机应变。所以我补充了一道变式题:“用五点法作 y=2cosx 的简图”备用。虽然这节课 没用上,但也可作为一道不错的思考题,给学生留下了回味的空间。 3、教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位,不能含糊其 辞, 因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响。 比如, 我在描述直角坐标系的作法时, “作[0,2π ] 说: 区间上的图象时,x 轴左边可取短一点,右边可取长一点”。规范的语言应当是:“x 轴负半轴画短一点, x 轴正半轴画长一点”。在校级比赛时也出现过类似问题,我当时曾把“区间长度”说成“横坐标长度”。 这些细节方面都需要严格把关,平时要反复琢磨。因为说到底,教师是要靠语言艺术去感染学生的。 4、板书需要提高。教师的魅力不仅仅是借助口头语言展示出来,摆在学生面前的板书也是重要的一 环。优秀的教师,粉笔字潇洒大方,作图时一气呵成,让学生赏心悦目,叹为观止。而我虽然经过半年多 的锻炼,板书设计上工整了许多,但字体不够美观,作图时擦擦改改,因此这方面还需多下功夫去练习。

教育人生的精彩源于课堂,新课改也对教师提出了越来越高的要求。面对过去自己经历过的刻板、死 气、严肃的灌输式教育法,现在更提倡多给学生一点爱,让学生积极地参与到课堂活动中来;同时老师要 做有效课堂的引导者,不断优化教学策略,体现良好的示范作用。作为一名教龄不足一年的年轻教师,我 肩负着崇高的使命。必须不断学习,不断改进和超越自己,才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这段时间 的公开课提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台,我会以此为契机,在平日的教学实践中不断思考和 创新,争取早日脱胎换骨,成为一名成熟并且优秀的数学教师!

正弦函数和余弦函数的图像与性质 课题:正弦函数和余弦函数的图像与性质(1) 一、教材地位和作用 本节课的内容是选自上海教育出版社出版的高中一年级第二学期(试用本)中第六章《三角函数》第 一节。三角函数是把已经学习过的三角比的知识和函数知识结合起来,是刻画生活中周期现象问题的典型 的函数模型,在高中数学知识体系中占有十分重要的地位。本节课作为《三角函数》开篇的第一课时,主 要解决了正弦、 余弦函数的定义和其图像的画法问题, 为后面更好地学习三角函数的性质打下牢固的基础。 二、教学目标分析 教学目标: 1.掌握正弦函数和余弦函数的概念。 2.学会利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 ? 0, 2 ? ? 上的图像的方法;并正确运用五点法作出正弦 函数在 ? 0, 2 ? ? 上的大致图像。 3.利用诱导公式,通过图像平移作出余弦函数的图像。

4.进一步形成数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点:五点法作出正弦函数在 ? 0, 2 ? ? 上的大致图像;通过图像平移作出余弦函数的图像。 难点:利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在 ? 0, 2 ? ? 上的图像。 三、教学问题诊断 高一学生对函数概念的理解本身就是难点,再加上三角比知识,就要求学生有较高的理解和综合的能 力。关于作图方面,在前面函数的章节中,学生已经学习了画函数图像的一些方法,如幂函数、指数函数、 对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况,预测学生对于本节课的 内容,会有以下的一些困难: 1.概念的引出,把三角与函数两个概念结合起来,正确理解正弦函数和余弦函数。 2.利用单位圆的正弦线作出正弦函数在 ? 0, 2 ? ? 上的图像。 3.正确掌握五点法的作图步骤与要求。 4.按照正弦函数的作图方法,学生自己解决画余弦函数图像的一些方法。 四、教学特色 1.引例的设计意图 学生在物理学中已学习过圆周运动,创设摩天轮情境更能贴近学生实际,在解决这一问题的过程中, 学生经历了运用数学模型来刻画周期现象的整个过程,既体会到三角函数的本质又调动了学生学习积极 性。另外,从实际问题中抽象出的单位圆进行研究,起到了承上启下的作用,既复习了三角比的内容,又 为正弦函数作图时所用到的正弦线打下伏笔。 2.处理一般方法与特殊方法的关系 (1)在讲到作正弦函数的图像时,突出函数作图的一般方法(列表求值)与三角函数特殊作图方法(利 用单位圆中的三角函数线)相结合,从代数和几何的角度实现描点。 (2)在学生掌握了正弦曲线的形状后,利用连续函数的特点,抓住一个周期内五个关键点的位置进行 五点作图的教学。使学生了解一般中蕴含特殊,用特殊体现一般的辩证关系。 3.以问题驱动方式贯穿整节课 以问题调动学生思维,以问题带动课堂教学。充分体现了教师主导作用,学生自主探究的教学方法。 主要问题例举如下: 其一:正弦函数的概念 引例解决后:得 h ? sin t ( t ≥ 0 ) ,教师提问:“这是否为函数关系式?”

〖说明〗启发学生从函数定义去思考。 当学生肯定了引例中 h ? sin t ( t ≥ 0 ) 是函数关系式后,教师再问:“如果把 t 改为 x,把 h 改为 y, 将定义域范围变为 R,那么还是函数吗?” 〖说明〗这样就从引例很自然的过渡到了正弦函数的定义。 其二:作正弦函数的图像 在开始引入正弦函数作图时,教师提问:“如何作出正弦函数 y ? sin x 的图像?” 〖说明〗让学生回忆对于函数作图的一般方法。 在肯定了列表描点法是作函数图像的一般方法之后,教师再问:“那么,是否还有其他作图的方法? 能不能不算出正弦值?三角比中的正弦三角比是否有其几何意义呢?” 〖说明〗体现一般与特殊的关系,代数与几何的两个不同的角度思考问题。 在引出利用单位圆的正弦线作图之后,教师再问:“在作图中,我们是否直接作出整个定义域上正 弦函数的图像?” 〖说明〗目的是为了简化作图,同时也体现了三角函数是解决周期现象的典型的数学模型。 在学生已经了解了正弦函数图像的大致形状,也发现这是个连续的函数图像之后,教师再问:“那 么,当作图的精确度要求不太高的时候,我们是否可以通过确定一些关键点的位置来快速的作出正弦函数 的大致图像?请再来观察一下刚才在 ? 0, 2 ? ? 上作的图像,其中有哪几个关键点?并请说出它们的坐标。” 〖说明〗解决问题要抓住事物的主要矛盾,这也是为了简化作图。 其三:作余弦函数的图像 在掌握了正弦函数的作图方法后,教师提问:“如何作出 y ? co s x , x ? R 图像?”,学生思考后教师 再问: “正余弦之间关系密切, 那么能不能利用正弦函数的图像通过图形变换, 来作出余弦函数的图像呢?” 〖说明〗引出余弦函数的图像可以说是本节课的高潮部分了。在这里,学生们可以畅所欲言,想出各 种解决方法,也是学生综合能力地体现。 4.计算机辅助教学与教师板书示范相结合 本节课的重、难点是作函数的图像。因此,在教学中借助几何画板制作的动态作图演示,具有非常形 象的效果。通过课件的动态表现,使抽象的问题具体化、形象化,有利于学生的理解和认知。 数学课的教学离不开黑板上的规范板演,通过黑板的例题示范,弥补了课件演示一闪即过的不足,加 深学生对正弦函数的印象,特别是五点确定以后,如何用光滑的曲线描点,在描点中应该注意图像递增递 减的趋势,以求实现多媒体和传统黑板教学两者的相互结合,互为补充,发挥彼此最大优势。 五、预期效果分析

在本堂课的教学中,以问题驱动为主,师生共同进行分析探究。着重体现了学生的独立思考,小组讨 论和亲手体验作图的整个过程。教师通过提问、课件动态展示、黑板规范板书、学生练习点评等等多种教 学形式,组织学生积极参与课堂活动,将教与学有效地结合起来。从思维深度上和动手实践上,充分激发 了学生的学习和钻研兴趣,调动了学习热情。

附:简案 教学 教学过程 环节 引例:如图,质点 P 在圆周上 创设 情景 引入 概念 作逆时针的匀速圆周运动。设半径
O

师生活动 教师引导学生 共同分析。

P
A 平台

r 为 1 个单位长, 角速度ω =1 弧度/
分钟,当时刻 t
?0

时, P 在 A 处,

求经过 t( t ≥ 0 )分钟后, P 到平台所在平面的相对高度 h 与 t 的关系式。 1.正弦、余弦函数的定义 正弦函数 y ? sin x , x ? R 。 余弦函数 y ? co s x , x ? R 。 2.正弦、余弦函数的图像 (1)正弦函数的图像 教师引导学生 共同探究。

讲授 新课 探究

思考:如何作出正弦函数 y ? sin x 的图像? 探究: 借助单位圆中的正弦线作出正弦函数在 ? 0, 2 ? ? 上的 图像,再作出正弦函数在 R 上的图像。

方法 (2)五点法 思考: 是否可以通过确定一些关键位置的点来作出正弦函 数在 ? 0, 2 ? ? 上的大致图像?

? 0, 0 ? , ?

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? ? 3? ? ,1 ? , ? ? , 0 ? , ? , ?1 ? , ? 2 ?, 0 ? ? 2 ? ? 2 ?

(3)余弦函数的图像

探究:如何作出余弦函数 y ? co s x , x ? R 图像? 例题:作出函数 y ? sin x ? 1, x ? ? 0, 2 ? ? 上的大致图像。 例题 示范 练习 巩固 练习:作出函数 y ? 2 ? sin x , x ? ? 0, 2 ? ? 上的大致图像。 教师与学生共 同完成例题, 并纠正常见错 误,学生通过 练习加以巩 固。 课堂 小结 提炼 精华 课后 作业 作业:书本 P83 练习 6.1(1) 小结:知识点、思想方法。 学生小结,教 师总结。

正弦、余弦函数的性质---周期性 一、教材分析 1、教材的地位和作用 对三角函数又一深入探讨.正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质,是研究三角函 数的其它性质的基础,是函数性质的重要补充.通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、 推理论证能力,分析问题和解决问题的能力,而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去,为以 后研究三角函数的其它性质打下基础.所以本课既是前期知识的发展,又是后续有关知识研究的前驱,起 着承前启后的作用. 2、教学重点和难点 重点:周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 难点:周期函数定义及运用定义求函数的周期. 二、目标分析 学情分析: 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法;在能力上已经具备了一 定的形象思维与抽象思维能力;在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想. 本课的教学目标: (一)知识与技能 1.理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性. 2.会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景的分析与 y=sinx 图形的比 较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数 y=sinx 的周期性,通过类比研究余弦函 数 y=cosx 的周期性. (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活,体会从感性到理性的思维过程,体会数形结合思想;让学生亲身经历数 学研究的过程,享受成功的喜悦,感受数学的魅力. 三、教法分析 1.教学方法:引导发现法、探索讨论法 为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维发展,着力于知识建构, 就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索 知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程.

2.学法指导: 问题探究法 根据课程标准“倡导积极主动,勇于探索的学习方式”理念,教材内容的特点以及学生的知识、能力、 情感等因素,本节课宜采用问题探究法.

3.教学手段:借助多媒体辅助教学,增强课堂教学的生动性与直观性.

四、教学过程 教学程序 教学内容 设计意图

创 设 问 题 情 境 学生举例 生活中有哪些周而复始现象 ?

从实际问题引入,使学生了 解数学来源于生活. 问题的提出为学生的思 维提供强大动力, 激发学生的探 究欲望.

引导学生回顾旧知为新课做 复 习 回 顾 引导学生回顾: 1.诱导公式(一) 2.正弦线 3.利用正弦线画正弦函数图象(动画演示) 由动画演示观察可得: 正弦函数图象具有周而复始的变化规律 问题:图象具有周而复始的变化规律如何用数学表达式来 表达? 正弦函数 y=sinx 图象 准备. 通过动画演示让学生直观感 知周而复始的变化规律.

y

y

通过对正弦函数 y=sinx 图 象观察、分析,结合诱导公式,

构 建 周 期 函 数 定 义

? 2?

0

O

? 2

2?

5? 2

3?

x

由生活中的周期现象到数学中 的周期现象, 由具体到抽象, 构 建出周期函数的定义, 这样设计

观察正弦函数 y=sinx 图象特征可知: 在区间 ? 0 , 2 ? ? 、 ? 2 ? , 4 ? ? 、 ? 4 ? , 6 ? ? ?内重复. 由三角函数图象和诱导公式可得:sin(2π +x)=sinx, 问: 对于 sin(2π +x)=sinx,若记 f(x)=sinx,则对于任意 x?R,都有 f( )=f( )

主要是立足于从学生的最近思 维区入手, 着力于知识建构, 培 养学生观察、 分析和抽象概括能 力,并进一步渗透数形结合思想 方法.

若记 f(x)=sinx,则对于任意 x?R,都有 f(x+2π )=f(x)

周期函数及周期的定义 周期函数定义如下:一般地,对于函数 f(x),如 果存在一个非零的常数 T, 使得定义域内的每一个 x 值, 都满足 f(x+T)=f(x), 那么函数 f (x) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期. 设计意图

教学内容 教学程序

函数 y=sinx 的周期: 2 ? 、 4 ? 、 6 ? 、?? 正弦函数的周 期和最小正周 期的定义. 2kπ (k?Z 且 k≠0). 最小正周期的概念. 对于一个函数 f(x), 如果它所有的周期中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数叫 f(x)的最小正周期. 上面的函数 y=sinx 的最小正周期为 2 ? .

让学生理解最小正周期的 定义,培养学生的数形结合能 力.

判断题: 1.因为 s in ( ? ? ? ) ? s in ? ,所以 ? 是 y ? sin x 的周期.
4 2 4
2

2.周期函数的周期唯一. 理 解 周 期 函 数 定 义 个别的 x 值满足: f ( x 的周期. 2.周期函数的周期不唯一. 3.周期函数不一定存在最小正周期. 说明:今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期.
? T ) ? f ( x ) ,不能说 T

设计判断题让学生去讨论 主要是为了帮助学生正确理解 周期函数概念, 防止学生以偏概 全,让学生学会怎样学习概念; 培养学生透过现象看本质的能 力, 使学生养成细致、 全面地考 是y
? f (x)

3.函数 f(x)=5 是周期函数. (分四人一组进行讨论,再由学生发表看法) 体会: 1. 周期的定义是对定义域中的每一个 x 值来说的,只有

虑问题的思维品质. 让学生在自主探索、 自由想 象和充分交流的过程中, 不断完 善自己的认知结构, 充分感受成 功与失败的情感体验.

问题: 探 究 余 弦 函 数 的 周 期 余弦函数 y=cosx 是周期函数吗?即能否找到非零常数 T, 使 cos(T+x)= cosx 成立?若是,请找出它的周期,若不 是,请说明理由. 通过对定义的理解、 余弦函 数图象, 类比正弦函数, 可以得 到余弦函数是周期函数, 这样使 学生加深对定义的理解, 培养学 生类比思想和数形结合能力.

教学程序

教学内容

设计意图



例 1.求下列函数的最小正周期 T. (1) f ( x ) ? 3 sin x , x ? R ;



(2) f ( x ) ? sin 2 x , x ? R ; (3) f ( x ) ? 2 sin(
1 2 x?

设计例 1 使学生加深对定 义的理解, 培养学生的数形结合

?
4

) ,x? R ;

能力.

方法:①函数图象观察得到周期

②周期函数定义

1.等式 sin (3 0 0 ? 1 2 0 0 ) ? sin 3 0 0 是否成立?如果这个等 课 式 成 立 , 能 否 说 120 堂 反 馈 的一个周期? 2.求下列函数的周期:
(1) y ? c o s 4 x , x ? R (2) y ? cos 1 2 x, x ? R
0

是 正 弦 函 数 y ? sin x

通过课堂反馈能准确、 及时 地了解学生对本节课的掌握情 况,做到及时反馈、 评价,及时查 漏补缺,达到堂堂清.

回 顾 反 思

1.周期函数、周期概念. 2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 是周期函数,且周期均为 2 π. 3.周期的求法: ①图象法 4.探索问题的思想方法 ②定义法 引导学生对所学知识进行 小结,有利于学生对已有的知识 结构进行编码处理,加强记忆.

课外作业: 求下列函数的周期: (1) y ? 3 s in 课 外 作 业 与 课 外 思 考 2.求下列函数的周期: (1) y ? | sin x | , x ? R ;(2) y ? | cos 2 x | , x ? R 课外思考: 1.求函数 f ( x ) ? A sin (? x ? ? ) 和 f ( x ) ? A co s( ? x ? ? ) (其中 A , ? , ? 为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期. (3) y
x 4
? cos(2 x ?

, x ? R ;(2) y ? s in ( x ?
?
3 ),x? R

?
10 1 2

)

,x? R ;
?
4 )

(4) y ?

3 s in (

x?

,x ? R

课外作业的布置是为了进 一步巩固课堂所学知识; 课外思考题的布置是让学 生把课堂探索拓展到课外探索, 进一步激发学生探究欲望, 进一 步培养学生创造性思维.

附:板书设计

课题:正弦、余弦函数的周期性 1. 周期函数定义 2. 正弦函数 y=sinx 的周期为 2 ? 余弦函数 y=cosx 的周期为 2 ? . 3. 例 1 版演及学生演示区

设计意图

为了使学生全 面系统地了解本节 内容的知识结构, 达到突出重点,简 洁明了的目的.

五.评价分析: 1.个别学生建构周期函数概念时有困难,特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的 周而复始变化”的本质学生感到有一定困难.上课时虽然借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到 抽象思维,但是还是有部分学生理解起来有困难.这方面的训练以后要加强. 2.部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难,课后要及时对他们加强辅导. 3.学生运用定义求函数周期掌握得不是很好. 上黑板板演的学生都出现了不同程度的错误.在以后 的教学中还需进一步加强.

《从位移、速度、力到向量》教学设计说明

本节课的内容是北师大版数学必修 4,第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向 量》两部分,所需课时为 1 课时。

一、

教材内容分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁,对更新和 完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身,有着极其丰富的实际背景,在现实生活中 随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景,有向线段是它的几何背景。向量就 是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念,经过研究,建立起完整的知识体系之后,向量又作为数学 模型,广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题,因此它在整个高中数学的地位是不言而喻 的。 本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用。本节内容,重要的不是向量的形式化定义 及几个相关概念,而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路,进而提高提出问题,解 决问题的能力。

二、

教学目标分析 根据以上的分析,本节课的教学目标定位:

1)、知识目标 ⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念; ⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征; ⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。 2)、能力目标 ⑴培养用联系的观点 ,类比的方法研究向量; ⑵获得研究数学新问题的基本思路,学会概念思维; 3)、情感目标 ⑴运用实例,激发爱国热情; ⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”;

⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中,享受寓教于乐。 重难点: 重点:向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念; 难点:让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程;

三、教学诊断分析 本节是平面向量的第一堂课,属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,也是难点。为了帮助学 生建立向量的概念,与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中,与本课内容相 关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、单位长度、0 和 1 的特殊性、线段的 平行与共线等。具体教学中,要设计一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例中领悟 向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识向量的集合,类比直 线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路,而不是停留在某个 具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。 由于数学概念的高度抽象性,学生往往要费很多周折才能理解,教师应从学生的认知水平出发,针对 学生的理解困难来展开教学,保证学生参与概念本质特征的概括活动,确保学生有自己想明白的机会和时 间,这是至关重要的。 本课的教学,我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程,了解为什么要引入这个概念,怎样 定义这个概念,怎样入手研究一个新的问题。因此,在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和 总体思路,使学生能“抬头看路”,知道往哪里走,这是起始课的重要任务;微观上,引导学生通过类比, 有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量 及其相关概念的学习过程中,应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”,不轻易打断学生的思维和活 动,恰如其分地“以问题引导学习”,在质疑——反思的过程中深化概念的理解,使概念的理解成为学生 自己主动思维的结果。 本课中出现的特殊向量——零向量,很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间,原因 是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现:首先,规定零向量与 任何向量平行是完善概念系统的需要;其次,就像数零的作用在于运算一样,零向量的作用在于运算及其 表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义,也不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析 在学生建立向量的概念之初,与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中, 与本课内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、单位长度、0 和 1 的特

殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中,我设计了一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们 经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认 识向量的集合,类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思 路,而不是停留在某个具体的概念学习上。 在向量的几何表示中,我让学生大胆探索,而不是“全包全揽”,教师引导,学生补充改进,最终明 确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与,自我教育,互帮互学,课堂气氛生动活泼。 当同学们能将向量正确的几何表示时,我又适时地提出问题:大家画出的线段长短不一,怎么解决? 由此自然过渡到单位长度上,使得单位向量的引入也就顺理成章了。 为了帮助学生学习相等向量、平行(共线)向量的概念,本课设计了“传花游戏”,通过学生之间传 递花朵所产生的位移向量,让学生积极参与,仔细观察,自己概括出概念的本质特征,将课堂气氛推向一 个新的高潮。 在结束本课之前,为了让同学对向量加深印象,我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌,再让学生在课 外动笔写出自己对向量的感受。 本节课是从现实世界的常见实例出发,以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上,创建了一个以全 班学生共同参与的向量游戏平台,让学生在轻松愉悦的课堂环境中,共同参与,共同讨论,共同分析,让 学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。整节课,我留给学生充足的时间,让学生参与概念本质特 征的概括活动过程,从而达到培养学生创新精神和实践能力的最终目的!

《向量的加法》教学设计说明

《向量的加法》是人教版高一下第五章第二节第一课时《向量的加法》。下面,我从三个方面来对本节课 的设计进行说明: 1. 教材分析 教材的地位和作用 向量是近代数学中重要和基本的数学概念,它是沟通代数、几何、三角的一种工具,其工具作用主要

体现在向量的运算方面.向量的加法运算是向量运算的基础,它在学生已学物理知识后,以力的合成、位 移的合成等物理模型为背景抽象出的一种数学运算.向量的加法不同于数的加法,运算中包含大小与方向 两个方面,向量加法的法则––––画图求和法,是一种全新的数学技术,从这个角度来看,研究向量加法是 学生学习过程中的一种突破.是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础,为进 一步理解其他的数学运算(如函数、映射、变换、矩阵的运算等等)创造了条件,因此我认为,向量的加 法在这里起着承上启下的作用。 教学目标 根据学生已有的知识结构及本节课教材的作用和地位,依据新课程标准的具体要求,我从三方面确定 本节课的教学目标: (1)知识与技能方面:使是学生经历从实际问题抽象为数学问题的过程,掌握向量的加法定义,会用向 量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量;掌握向量加法的运算律,并会用它们进行 向量计算,养成敢高于探索勇于创新的良好习惯,以及善于用数学方法解决实际问题的能力 (2)能力目标 在具体的分析过程中,使学生经历向量加法法则的探究和应用过程,体会数形结合、分类讨论等数学思 想方法,进一步培养学生归纳、类比、迁移能力,增强学生的数学应用意识和创新意识。 (3)情感目标 注重培养学生积极参与、 大胆探索的精神以及合作意识; 通过让学生体验成功, 培养学生学习数学的信心。 教学重点和难点 重点:向量加法的两个法则及其应用; 难点:对向量加法定义的理解。 突破难点的关键是抓住实例,借助多媒体动画演示,不断渗透数形结合的思想,使学生从感性认识升华到 理性认识。 2. 学情分析 本节内容总体来说比较简单,学生理解接受的难度也不大。学生在高一学习物理中的位移和力等知识时, 已初步了解了矢量的合成,认识了矢量与标量的区别,在生活中对位移与路程也有了一定的体验,这为学 生学习向量知识提供了实际背景。所以对数学中向量与数量的概念是比较容易理解接受的.并能够从物理 的力和位移的合成中去感受向量的加法的含义,总结出向量加法的三角形法则和平行四边形法则.通过与 数的加法的类比,学生也能够较容易的猜想出向量加法的交换律与结合律. 学生在学习过程中会遇到的困难 由于学生对向量的理解还处于初级阶段,会有部分学生忽略零向量与数零的区别,以及向量的表示不 是很规范.有些学生对向量加法法则的运用还停留机械模仿的水平,表现在平移向量时,不能够根据情况

灵活地选择起点,特别是共线反向向量在求和向量的时候会遇到问题。对交换律与结合律的验证,学生也 存在一定的误区,在具体操作过程中,他们往往不能在同一个图形中来研究这个问题,这就给说明两个向 量的相等带来了困难.对向量式的化简过程中,对交换律、结合律运用不够灵活,不善于抓住向量式的特 点来解决问题.我会在在课堂教学过程中给学生以适时的点拨与提醒. 教法特点: 1. 内容重组 教学的过程,不能只是对教材上知识点和结论的简单罗列与再现,而应是对教材知识的重组,是一个再 加工,再创造的过程,是把已经浓缩为结论的这一本来富有生命力的知识的形成过程重新演绎的过程, 因此在本节课中, 我对教材的知识进行了重组, 根据学生在已有的平行四边形法则求合力的知识基础上, 引出不共线的两个向量用平行四边形求和向量,再让学生自己发现,对于共线向量,平行四边形法则不 适用,则要用三角形法则。 2.不断探究 让学生随意画出两个向量,长度和方向由学生自己确定,然后用平行四边形法则求和向量,此时我发 现在这个过程中,有的同学画成不共起点、不平行;共起点、不平行;同向;反向几种情况,此时的情况 刚好是我想要的。让同学们自己去黑板上展示怎样用平行四边形法则去求它们的和向量。在此过程中,同 学们不仅自己能总结出平行四边形法则的特点,还发现:对于共线向量,此法则已经不适用了,顺势引出 向量加法的定义:三角形法则。 引导学生发现平行四边形法则与三角形法则在作图时的区别,通过动画演示:两者在求和的本质上是 相同的,当向量不共线时,两种法则都适用,同时在动画演示平行四边形变三角形的过程中,让学生发现 向量加法的运算律 3.大胆创新 本节课最大的亮点就是实现让学生大胆创新。在给学生的巩固练习中,学生很顺利地完成向量加法的运 算,我通过引导让学生发现,任何一个向量都可以拆成多个向量的和向量。以此激发学生的好奇心与求 知欲。这是一个逆向思维的训练过程,并且这种思维在立体几何里面得到加强,为学生学习以后的知识 奠定了基础。 总体来说,本课围绕学生的发展进行教学设计,使问题贯穿始终,思想贯穿始终,探究贯穿始终,联 系,发展贯穿始终.学生在老师的启发下发现当前所面临的问题,成为探究活动的主线,沿着这条主线带 领学生找区别、找联系.关注学生的成长发展的全过程,使他们在过程中形成能力,在过程中掌握方法, 在过程中发展基本数学能力,在过程中培养健康向上的情感、态度和价值观. 通过本节课教学,可使不同层次的学生都能掌握给定任意两个向量求和的基本方法,能够视具体情况 灵活地作出两个或者多个向量的和;能运用向量加法的交换律和结合律解决向量式的化简和计算问题;并

能运用向量的加法法则解决了一些实际问题

平面向量的坐标运算 说课提纲 一、教材分析: 向量是现代数学中重要基本概念之一,是研究数学的重要工具,它与三角函数、复数、平面几何、解 析几何等数学内容有着密切的联系,在物理上的应用犹为显著。本节内容《平面向量的坐标运算》又是典 型的数型结合,它是用代数的方法解决几何问题。实现的是由图形向数的转化。引入向量坐标后,向量加 减法、 实数与向量的乘法、 向量的数量积都可以通过向量的坐标运算得以解决。 它将数与型紧密结合起来, 这样很多几何问题可转化为学生熟知的数量的运算,从而使几何问题的研究插上了代数的翅膀,解决问题 更便捷,刻划问题更深刻,教师要用向量的坐标表示的优越性,调动学生学习积极性。 本节在本章的地位: 本章平面向量的第一大部分——向量及运算, 按向量的表示来分, 可分为两部分: (一)向量的几何表示(有向线段),(二)向量及运算的代数表示(坐标)。 本节主要内容:平面向量的坐标表示和运算,重点是平面向量的坐标运算,难点是平面向量的坐标表 示的理解。 二、教学目标的确定 根据《大纲》要求,和本节所处的地位,我认为通过本节课学习,应使学生达到: 1、进一步理解数型结合思想,体会用数量来表示图形。从而使学生对坐标系和映射概念以及有向线 段的理解更深刻。 2、理解向量的坐标表示,使学生对上一节中介绍的平面向量的基本定理的理解更透彻、更具体、更 形象。从而培养学生应用数学理论的意识。 3、掌握向量的坐标运算,使学生体会坐标表示的优越性、调动学生学习的积极性,从中体会数学的 内在美,激发学生的学习兴趣,培养学生解决问题的能力。

4、引导学生学会联想、对比、归纳、总结等数学研究的思想方法。 5、通过适当设疑,自学指导对学生进行主动探索学习精神的培养。 三、教学方法和教学手段的使用: 根据本节课内容的特殊性和学生的实际水平,我采用的是“自学指导法”,其主导思想是以启发式教 学思想为主导,由教师提出一系列精心设计的问题,在教师的启发指导下,让学生自己去学习、分析、探 索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而使学生即获得知识又发展智能的目的。“自学指导法”是 认知性学习与研究性学习的整合。这也积极的投身到我校开展的“三元教学法”的探索之中。 为什么要采用这种方法呢?①这种方法属于启发式教学,有利于学生知识的获得和能力发展。②这种 方法即体现了教师的主导作用和学生的主体地位,它符合内因是变化的根据,外因通过内因而起作用的哲 学原理。③这种方法也符合教学论中的传授知识与培养能力相结合的原则。 教学手段:多媒体计算机 通过计算机模拟演示,使学生获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样做,可以使学生 饶有兴趣地学习,注意力也容易集中,符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。 四、关于学法的指导: 通过多年的教学实践,我深深体会到,必须在给学生传授知识的同时教给他们好的学习方法,就是说 让他们“会学习”。 通过本节课的教学使学生“学会设疑、学会发现、学会尝试、学会联想、学会总结”。学习有得必有 疑,只有产生疑问,学习才有动力,本节课共提出三个问题;通过对它们的解决和处理,从中培养了学生 发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力。 提出问题后,鼓励学生通过分析、探索,尝试解决问题的方法,通过自己亲自尝试,学生的思维能力 得到了培养, 本节主要表现在 “概念让学生自己去总结、 规律让学生自己去探索、 题目让学生自己去解决” 。 当然在教学过程中学生还潜移默化地学到了“发现法”、“模仿法”、“归纳法”等学习方法。 五、教学程序设计: 1、问题的提出: 教师首先引导学生回顾前面所学的内容,然后引出问题。问题的设计具有诱惑性和鼓动性以调动学 生的兴趣,这样引入符合教学论中的激发性原则 2、自学指导: 首先提出本节要解决的问题。教师组织学生自学,并巡回视察,根据情况给予指导,这样设置的目 的,主要通过学生自己亲自尝试、体验,才能深刻理解向量坐标表示的概念,掌握坐标运算的方法。使学 生打下的基础更扎实,这样即符合教学论中的巩固性原则,也符合素质教育理论面向全体的要求。 3、方法讲解:

虽然平面向量的内容本身并不是很难,它可以把以前的数学思想方法平行迁移过来,但是部分学生处 理的并不一定很好,少部分学困生理解起来还可能有一定困难,因而在自学后,教师应对开始所提问题给 予解决,部分内容应给予适当讲解。这样符合教育理论中因材施教分层次教学的原则。帮助这部分学生从 感性上到理性上加深理解。这也符合人们认识事物的一般规律。 4、例题与练习的处理: 通过对例题的处理(主要由学生完成),根据学生回答教师给予修正,从而得出一个规范肯定的解 答,这样安排符合教学论中的巩固性原则,练习是在例题基础上的进一步加深,由学习较好的学生完成, 为学生进一步学习做了铺垫,符合教学论中的循序渐进和量力性原则。 5、归纳总结 完成了本节课的教学内容后,在教师的引导下,师生共同归纳总结,目的是让学生在头脑中更深刻 更清晰地留下思维的痕迹,在此基础上,归纳出本节的主要内容和数学思想方法。同时师生共同总结,容 易调动学生的学习积极性和主动参与意识,符合教学论中的激发性原则。 6、作业布置 通过本节课的教学内容,布置相应的作业,通过作业反馈本节课知识掌握的效果,以便下节课查漏 补缺,这符合教学论中的程序原则和反馈原则。作业中还布置了少量选做题,供学生选做,这符合分层次 教学的原则。

平面向量数量积的物理背景及其含义 说课内容:普通高中课程标准实验教科书(人教 A 版) 《数学必修 4》第二章第四节“平面向量的数量积” 的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。 下面,我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计 六个方面对本节课的思考进行说明。 一、 背景分析

1、学习任务分析 平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算, 也是高中数学的一个重要概念, 在数学、 物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二 课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。 本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念,在此基础上探究数 量积的性质与运算律,使学生体会类比的思想方法,进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其 中数量积的概念既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中,既 有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛,而且很好的体现 了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为本节课的核心概念,自然也是本节课教学的重点。 2、学生情况分析 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算,具备了功等 物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念, 然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺 垫,使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解,一方面,相对于线性运算而言, 数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点 是很难接受的;另一方面,由于受实数乘法运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是 对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。 二、 教学目标设计 《普通高中数学课程标准(实验)》 对本节课的要求有以下三条: (1)通过物理中“功”等事例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 (3)能用运数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 从以上的背景分析可以看出,数量积的概念既是本节课的重点,也是难点。为了突破这一难点,首 先无论是在概念的引入还是应用过程中,物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次,作为数量积概 念延伸的性质和运算律,不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念,同时也是进行相关计算和判断的理 论依据。最后,无论是数量积的性质还是运算律,都希望学生在类比的基础上,通过主动探究来发现, 因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。 综上所述,结合“课标”要求和学生实际,我将本节课的教学目标定为: 1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的性质和运算律, 并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断; 3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、课堂结构设计 本节课从总体上讲是一节概念教学,依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念,结合 本节课的知识的逻辑关系,我按照以下顺序安排本节课的教学:
?回 顾向 量的 线的线性 ? ?回顾向量线性运算的研 ? ? 物理背景 ? ? ? 功

创设问题情景

究方法

抽象概念

? 定 义义分 ? ? 几何意 义 ? ? 物理意 义
? 探究性质 ? ? 证明性质

探究性质

探究运算律

? 探究运算律 ? ? 证明运算律

应用概念 小结提升

例题与练习

即先从数学和物理两个角度创设问题情景,通过归纳和抽象得到数量积的概念,在此基础上研究数 量积的性质和运算律, 使学生进一步加深对概念的理解, 然后通过例题和练习使学生巩固概念, 加深印象, 最后通过课堂小结提高学生认识,形成知识体系。 四、 教学媒体设计 和“大纲”教材相比,“课标”教材在本节课的内容安排上,虽然将向量的夹角在“平 面向量基本定理”一节提前做了介绍,但却将原来分两节课完成的内容合并成一节,相比较而言本节课的 教学任务加重了许多。 为了保证教学任务的完成, 顺利实现本节课的教学目标, 考虑到本节课的实际特点, 在教学媒体的使用上,我的设想主要有以下两点: 1、制作高效实用的电脑多媒体课件,主要作用是改变相关内容的呈现方式,以此来节约课时,增加 课堂容量。 2、设计科学合理的板书(见下),一方面使学生加深对主要知识的印象,另一方面使学生清楚本节 内容知识间的逻辑关系,形成知识网络。 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、 数量积的概念 二、数量积的性质 1、 概念: 2、 概念强调 (1)记法 (2)“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义:

四、应用与提高 例 1: 例 2: 例 3:

4、物理意义:
五、 教学过程设计 课标指出:数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程,是教师和学生间互动的过程,是师 生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学,本节课我主要安排以下六个活动: 活动一:创设问题情景,激发学习兴趣 正如教材主编寄语所言,数学是自然的,而不是强加于人的。平面向量的数量积这一重要概念,和 向量的线性运算一样,也有其数学背景和物理背景,为了体现这一点,我设计以下几个问题: 问题 1:我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么? 问题 2:我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的? 期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用 问题 3:如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, (1)力 F 所做的功 W= 。 F (2) 请同学们分析这个公式的特点: W(功)是 量, F(力)是 量, S(位移)是 量, α S α 是 。 问题 1 的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景,让学生明白本节课所要研究的数量积与向量 的加法、减法及数乘一样,都是向量的运算,但与向量的线性运算相比,数量积运算又有其特殊性,那就 是其结果发生了本质的变化。 问题 2 的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序,为教学活 动指明方向。 问题 3 的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景,让学生知道,我们研究数量积绝不仅仅是为 了数学自身的完善,而是有其客观背景和现实意义的,从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时,

也为抽象数量积的概念做好铺垫。 活动二:探究数量积的概念 1、概念的抽象 在分析“功”的计算公式的基础上提出问题 4 问题 4:你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量,其 结果又该如何表述? 学生通过思考不难回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积;两个向量的大小及其夹角余弦 的乘积。这样,学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了,在此基础上,我进一步明晰数量积的概念。 2、概念的明晰 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积),记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 在强调记法和“规定”后 ,为了让学生进一步认识这一概念,提出问题 5 问题 5: 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?并完成下 表: ? =90° 角 ? 的范围 0°≤ ? <90° 0°< ? ≤180°
a · b 的符号

通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同,而且认识到向量的 夹角是决定数量积结果的重要因素,为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。 3、探究数量积的几何意义 这个问题教材是这样安排的:在给出向量数量积的概念后,只介绍了向量投影的定义,直到讲完例 1 后,为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生,我觉得这样安排似乎不太自然,还不如 在给出向量投影的概念后,直接由学生自己归纳得出,所以做了调整。为此,我首先给出给出向量投影的 概念,然后提出问题 5。 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=│ b │cos ? 问题 6:数量积的几何意义是什么? 这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念,从中体会数量积与向量投影的关系,同 时也更符合知识的连贯性,而且也节约了课时。 4、研究数量积的物理意义 数量积的概念是由物理中功的概念引出的,学习了数量积的概念后,学生就会明白功的数学本质就是 力与位移的数量积 。为此,我设计以下问题 一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积 的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔。 问题 7: (1) 请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积 。 (2)尝试练习:一物体质量是 10 千克,分别做以下运动: ①、在水平面上位移为 10 米; ②、竖直下降 10 米; ③、竖直向上提升 10 米; ④、沿倾角为 30 度的斜面向上运动 10 米; 分别求重力做的功。 活动三:探究数量积的运算性质 1、性质的发现 教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的,为了很好地完成这一探究活动,在完成上述 练习后,我不失时机地提出问题 8: (1)将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量,你能得到哪些结论?

(2)比较︱ a · b ︱与︱ a ︱×︱ b ︱的大小,你有什么结论? 在学生讨论交流的基础上,教师进一步明晰数量积的性质,然后再由学生利用数量积的定义给予证 明,完成探究活动。 2、明晰数量积的性质

数量积的性质 设 a 和 b 都是非零向量,则 1、 a ⊥ b
a

数量积的性质

〃 b =0

2、当 a 与 b 同向时,︱ a 〃 b ︱=︱ a ︱︱ b ︱;当 a 与 b 反向时, ︱ a 〃 b ︱= -︱ a ︱︱ b ︱, 特别地, a 〃 a =︱ a ︱2 或︱ a ︱= a ? a 3、︱ a 〃 b ︱≤︱ a ︱×︱ b ︱
3、性质的证明 这样设计体现了教师只是教学活动的引领者,而学生才是学习活动的主体,让学生成为学习的研 究者,不断地体验到成功的喜悦,激发学生参与学习活动的热情,不仅使学生获得了知识,更培养了 学生由特殊到一般的思维品质。 活动四:探究数量积的运算律 1、运算律的发现 关于运算律,教材仍然是以探究的形式出现,为此,首先提出问题 9 问题 9:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用? 通过此问题主要是想使学生在类比的基础上,猜测提出数量积的运算律。 学生可能会提出以下猜测: ① a · b = b · a ②( a · b ) c = a ( b · c )

③( a + b )· c = a · c + b · c 猜测①的正确性是显而易见的。 关于猜测②的正确性,我提示学生思考下面的问题: 猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一定相等吗? 学生通过讨论不难发现,猜测②是不正确的。 这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律: 2、明晰数量积的运算律

数量积的运算律 已知向量 a 、 (1) a 〃 b = (3)( a +
b b b

、 c 和实数λ,则: 〃a (2)(λ a )〃 b =λ( a 〃 b )=
a

〃(λ b )

)〃 c = a 〃 c + b 〃 c

3、证明运算律 学生独立证明运算律(2) 我把运算运算律(2)的证明交给学生完成,在证明时,学生可能只考虑到λ >0 的情况,为了帮 助学生完善证明,提出以下问题:

当λ <0 时,向量 a 与λ a ,b 与λ b 的方向 的关系如何?此时,向量λ a 与 b 及 a 与λ b 的夹角 与向量 a 与 b 的夹角相等吗? 师生共同证明运算律(3) 运算律(3)的证明对学生来说是比较困难的,为了节约课时,这个证明由师生共同完成,我想 这也是教材的本意。 在这个环节中,我仍然是首先为学生创设情景,让学生在类比的基础上进行猜想归纳,然后教师 明晰结论,最后再完成证明,这样做不仅培养了学生推理论证的能力,同时也增强了学生类比创新的 意识,将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。 活动五:应用与提高 例 1、(师生共同完成)已知︱ a ︱=6,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角为 60°,求 ( a +2 b )·( a -3 b ),并思考此运算过程类似于哪种运算? 例 2、(学生独立完成)对任意向量 a ,b 是否有以下结论: (1)( a + b ) = a +2 a · b + b
2 2 2 2 2

(2)( a + b )·( a - b )= a — b

例 3、 (师生共同完成) 已知︱ a ︱=3, b ︱=4, 且 a 与 b 不共线, 为何值时, ︱ k 向量 a +k b 与
a -k b 互相垂直?并思考:通过本题你有什么收获?

本节教材共安排了四道例题,我根据学生实际选择了其中的三道, 并对例 1 和例 3 增加了题后反 思。例 1 是数量积的性质和运算律的综合应用,教学时,我重点从对运算原理的分析和运算过程的规 范书写两个方面加强示范。完成计算后,进一步提出问题:此运算过程类似于哪种运算?目的是想让 学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例 2 给出的两个公式,再由学生独立完成证明,一方面 这并不困难,另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例 3 的主要作用是,在继 续巩固性质和运算律的同时,教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直,是平面向量数量积的 基本应用之一,教学时重点给学生分析数与形的转化原理。 为了使学生更好的理解数量积的含义,熟练掌握性质及运算律,并能够应用数量积 解决有关问题,再安排如下练习: 1、 下列两个命题正确吗?为什么? ①、若 a ≠0,则对任一非零向量 b ,有 a · b ≠0. ②、若 a ≠0, a · b = a · c ,则 b = c . 2、已知△ABC 中, AB = a , AC = b ,当 a · b <0 或 a · b =0 时,试判断△ABC 的形状。 安排练习 1 的主要目的是,使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算, 通过练习 2 使学生学会用数量积表示两个向量的夹角,进一步感受数量积的应用价值。 活动六:小结提升与作业布置 1、本节课我们学习的主要内容是什么? 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么? 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究?在运算律的探究过程中,渗透了 哪些数学思想? 4、类比向量的线性运算,我们还应该怎样研究数量积? 通过上述问题,使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识,同时也为下 一节做好铺垫,继续激发学生的求知欲。 布置作业: 1、课本 P121 习题 2.4A 组 1、2、3。 2、拓展与提高:

已知 a 与 b 都是非零向量,且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直, a -4 b 与 7 a -2 b 垂直 求 a 与 b 的夹角。 在这个环节中,我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求,因此安排了一 组教材中的习题,目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用,为后续学习打好基 础。其次,为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展,我又安排了一道有一定难度的问题 供学有余力的同学选做。 六、教学评价设计 评价方式的转变是新课程改革的一大亮点,课标指出:相对于结果,过程更能反映每个学生 的发展变化,体现出学生成长的历程。因此,数学学习的评价既要重视结果,也要重视过程。结合 “课标”对数学学习的评价建议,对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行: 1、 通过与学生的问答交流,发现其思维过程,在鼓励的基础上,纠正偏差,并对其进行定 性的评价。 2、在学生讨论、交流、协作时,教师通过观察,就个别或整体参与活动的态度和表现做出评 价,以此来调动学生参与活动的积极性。 3、 通过练习来检验学生学习的效果,并在讲评中,肯定优点,指出不足。 4、 通过作业,反馈信息,再次对本节课做出评价,以便查漏补缺。 以上是我对本节课的一些思考,不妥之处,敬请各位专家批评指正。谢谢!

《同角三角函数的基本关系》教学设计说明 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1)能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式; (2)掌握同角三角函数的两个基本关系式,并能够根据一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数 值. 2.过程与方法目标 (1)牢固掌握同角三角函数关系式,并能灵活解题,提高学生分析、解决三角函数的思维能力; (2)探究同角三角函数关系式时,体会数形结合的思想;已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三 角函数值时,进一步树立分类思想;解题时,注重化归的思想,将新题目化归到已经掌握的知识点上; (3)通过对知识的探究,掌握自主学习的方法,通过学习中的交流,形成合作学习的习惯. 3.情感、态度、价值观目标 通过教学,使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法,提高学生运 算能力和逻辑推理能力.

二、教材分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书 数学必修 4》第 1.2.2 节,课型为新授课,所用的教材为人 民教育出版社 A 版,课时安排为 1 课时,所用教具主要为多媒体、实物投影仪. 本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义、符号表 示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续,同时为后续进行三角 函数相关内容打下重要基础。因此本节内容具有承前启后的作用.另外,本节内容是三角函数部分的重要内 容,是三角计算的基础.

三、学情分析 本节课的教学对象是高一学生, 时间为高一下学期.学生的数学基础较好, 对学习有着较浓的学习兴趣. 经过长时间的探究性学习和合作性学习的训练,思维比较活跃,平时教学中勇于发表个人观点,课堂讨论 气氛较好.

四、本节课教学的重、难点

教学重点:公式 sin

2

? ? cos

2

? ? 1和

sin ? cos ?

? tan ? 的推导及其应用

教学难点:同角三角函数的基本关系式的变式应用

五、教法特点及预期效果分析 教学模式以启发、诱导发现教学为主.本节教学从抛出问题,引发学生思考,探究知识开始,到公式在 使用时应该注意的问题,再到例题的多种不同解法,直至最后的小结归纳的过程,均由学生通过独立思考 和讨论共同完成,真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中,教师的作用是把握教学重难点、教学 流程,对学生探究的结果进行归纳总结,对学生不同的解法进行提炼,帮助学生理清思维“脉络”. 本节课要求学生多看、多体会、多讨论,学生是演员,是参与者,学生应该有一定兴趣.但另一方面, 因为让学生说得较多,对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此,有可能形成课堂 气氛不够活跃的情况。本节课采取了循序渐进的推进方式,且教学难度不大,对于绝大多数同学应该能较 顺利地接受.

六、教学过程中可能存在的困难 (1)本节课开头出现的引例是想让学生探究“两个公式”但由于学生思考问题角度的差异,学生可 能用其他方法解题,绕过“探究”. (2)本节课练习和例题两个小题均可能出现“一题多解”,展示不同的解法,课堂教学时间可能不 够,不展示又觉得失去对学生认可、让更多学生体会别人不同思路的机会很可惜.最终形成两难的二选一的 境地. (3)“两个公式”探究后辅以及时练习,学生可以及时体会“同角”的重要,但其他应该注意的事 项,学生独立分析时可能有不到位、不全面的情况. (4)教师要抓住学生的不同解法及时提炼出其中蕴含的数学思想和方法,对教师反应要求较高.

七、教学流程 (一) 提问引入 1、 提出问题:已知 sin ? ? ?
3 5

,求 cos ? 、 tan ? 的值.

2、 在解题过程中,让学生自己探索同角的三角函数关系.

(二)探究新知 1. 探究对同角三角函数基本关系

(1)

根据学生探究出的结果,得出结论.引导学生注意“正弦的平方”的表示方法是“ sin

2

a ”,而不

是:“ sin a 2 ”,进而得到符号表达式: sin 2 ? ? c o s 2 ? ? 1 ;开方计算时,注意“分类”的思想在象限角 正负号问题处理时的应用. (2) 探究正弦、余弦和正切函数三者的关系:
sin ? cos ? ? tan ? .

以上的探究由学生自由完成,可以从图形角度,也可以从定义角度加以探究,让学生体会图形语言与 符号语言之间的转换关系,体会两种语言的区别于联系. 为了让学生及时熟悉公式,同时为后续学生归纳“同角”作铺垫,要求学生完成以下的课堂练习: (1) (2)
sin
2

30
2

?

? cos

2

30

?

? _______________;
2

sin

(x ?

?
4

) ? cos

(x ?

?
4

) ? ________________;

sin 45 ?

(3) (4) (3)

cos 45 ?

=_______________
?

sin

2

30

? cos

2

45

?

?.

学生交流、讨论,最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题:
2

sin ①注意 “同角” 指相同的角, 例如:

30

?

? cos

2

45

?

? 1、 sin

2

2 ? ? cos

2

2? ? 1 、 sin

2

?
2

? cos

2

?
2

? 1;

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 等.

sin ? cos ?

? tan ? 中 cos ? ? 0 ,且 tan ? 需有意义

(三)架构迁移 (1)探究上述两个关系式的等价变形式
2 2 教师点明:由等价变形式 sin ? ? 1 ? cos ? 已知余弦值可以求正弦值;由等价变形式

cos

2

? ? 1 ? sin

2

? 已知余弦值可以求正弦值,学生可能得到: sin ? ? ? 1 ? cos

2

? 的结论,此时,应该

2 向学生说明:cos ? 、sin ? 的符号受所在象限的限制, 不是无条件的, 不同于 “由 x ? 1 可以推出 x ? ? 1 ”

?a ? 这种情形,此情况类似于“ | a |? ? ?? a ?

(a ? 0)

”而不是“ | a | ? ? a ”. 等价变形式 sin ? ? tan ? cos ?
(a ? 0)

可以将分式可以化为整式

例 1 已知锐角 ? 满足 tan ? ? 3 ,求(1)

sin ? ? 4 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ?

2 ;(2) sin ? ? 2 sin ? cos ? .

让学生探究第一小题的解法,注意 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 之间的关系的应用,学生的解题方法可能有 很多种,注意每种解法后对数学思想方法的归纳.然后让学生尝试解决第二小题.第二小题较第一小题难度 有所增加,可以让学生采取合作学习的办法,分小组讨论,探究其解题方法.再与第一小题比较,寻找其可 借鉴之处.体会类比、化归思想,化未知为已知.

例 2 化简 (1 ? tan ? ) cos ? .
2 2

本例在时间允许的情况下进行,否则放到下节课解决. 若时间允许,则进行强化练习:

练习 1:已知 cos ? ? ?

4 5

,且 ? 为第三象限角,求 sin ? 、 tan ? 的值.该题与引例配套.
sin ? ? cos ? sin ? ? 2 cos ?

练习 2:已知 sin ? ? 5 cos ? ,求

的值.该题与例 2 配套.

(四)反思升华: 由学生自己反思: “本节课你有些什么收获?”让学生自己总结本节课所学内容,教师从知识层 面和思想方法层面帮助学生整理本节课的小节。 (五)布置作业:课本 P21 A 组第 10、11、12 题;B 组第 3 题

七、板书设计

《集合的含 义与表示》 sin ? ? cos ? ? 1 一.教材分 sin ? 例 2: 析: 集合概念 ? tan ? cos ? 及其基本理 论, 称为集合 及其变形式 论,是近、现 代数学的一 个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集 合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 二.目标分析: 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 教学目标 l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;
同角的三角函数的基本关系
2 2

例 1:

例 3:

(2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 三. 教法分析 1. 教学方法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学 目标. 2. 教学手段:在教学中使用投影仪来辅助教学. 四.过程分析 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:(1)介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。 (2)问题:像“家庭”“学校”“班级”等,有什么共同特征? 、 、 引导学生互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.活动:(1)列举生活中的集合的例子; (2)分析、概括各实例的共同特征 由此引出这节要学的内容。 设计意图:既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫 (二)研探新知,建构概念 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 7 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 7 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出 7 个实例的特征,并 给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母 A,B,C,D,?表示,元素常用小写字母 a , b , c , d ?表示. 设计意图:通过实例让学生感受集合的概念,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神 (三)质疑答辩,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅导,解答学生 疑难.使学生明确集合元素的三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解.

3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由.教师对学生的学 习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同学, b 是高一(4)班的 一位同学,那么 a , b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属 于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . (2)如果用 A 表示 “所有的安理会常任理事国” 组成的集合, 则中国.日本与集合 A 的关系分别是什么? 请用数学符号分别表示. (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相交内容,写出常用数集的记号.并让学生完 成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 设计意图:明确集合元素的三大特性,使学生弄清楚三种表示方式的优缺点,从而突破难点。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? { x ? N | 1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题. 设计意图:使学生及时巩固所学新知,体会三种表示方式存在的必要性和适用对象 (五)归纳小结,布置作业 小结:在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习了哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? 设计意图:通过回顾,对概念的发生与发展过程有清晰的认识,回顾集合元素的三大特性及集合的三种表 示方式。 作业: 1.课后书面作业:第 13 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表示? 请同学们通过预习教材. 五.板书分析

PPT

集合的含义与表示 定义 例1 集合 ××××××× ××××××× ××××××× 元素 ××××××× ××××××× 例2 元素与集合的关系 ××××××× ××××××× ××××××× 作业 ××××××× ×××××××

《单调性与最大(小)值》说课稿

一、教材分析 1.教学内容 本节课内容教材共分两课时进行,这是第一课时,该课时主要学习函数的单调性的的概念,依据函数 图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。 2. 教材的地位和作用 函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点,是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握 本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养学生的抽象思维能力,及分析问题和解决问 题的能力。 3.教材的重点﹑难点﹑关键 教学重点:函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念. 教学难点:领会函数单调性的实质与应用,明确单调性是一个局部的概念。 教学关键:从学生的学习心理和认知结构出发,讲清楚概念的形成过程. 4.学情分析 高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维,并由此向

逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境, 引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看,他们只能根据函数的图象观察出 “随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性,发挥好多 媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中注意加强. 二、目标分析 (一)知识目标: 1.知识目标:理解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解函数单调区间 的概念,并能根据函数图象说出函数的单调区间。 2.能力目标:通过证明函数的单调性的学习,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维 方式,培养学生的观察能力,分析归纳能力,领会数学的归纳转化的思想方法,增加学生的知识联系,增 强学生对知识的主动构建的能力。 3.情感目标:让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动,在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦,以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数 学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。 (二)过程与方法 培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题,以提 高学生的思维品质,通过函数的单调性的学习,掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学 习兴趣,培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。 三、教法与学法 1.教学方法 在教学中,要注重展开探索过程,充分利用好函数图象的直观性、发挥多媒体教学的优势。本节课采 用问答式教学法、探究式教学法进行教学,教师在课堂中只起着主导作用,让学生在教师的提问中自觉的 发现新知,探究新知,并且加入激励性的语言以提高学生的积极性,提高学生参与知识形成的全过程。 2.学习方法 自我探索、自我思考总结、归纳,自我感悟,合作交流,成为本节课学生学习的主要方式。 四、过程分析 本节课的教学过程包括:问题情景,函数单调性的定义引入,增函数、减函数的定义,例题分析与巩 固练习,回顾总结和课外作业六个板块。这里分别就其过程和设计意图作一一分析。 (一)问题情景: 为了激发学生的学习兴趣,本节课借助多媒体设计了多个生活背景问题,并就图表和图象所提供的信 息,提出一系列问题和学生交流,激发学生的学习兴趣和求知欲望,为学习函数的单调性做好铺垫。(祥 见课件) 新课程理念认为:情境应贯穿课堂教学的始终。本节课所创设的生活情境,让学生亲近数学,感受到 数学就在他们的周围,强化学生的感性认识,从而达到学生对数学的理解。让学生在课堂的一开始就感受 到数学就在我们身边,让学生学会用数学的眼光去关注生活。 (二)函数单调性的定义引入

2 y 1. 几何画板动画演示 , 请学生认真观察, 并回答问题: 通过学生已学过的函数 y=2x+4, y ? x , ?

1 x

的图象的动态形式形象出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性有感性认识。,进行比较,分析其变 化趋势。并探讨、回答以下问题: 问题 1、观察下列函数图象,从左向右看图象的变化趋势? 问题 2:你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗? 通过学生的交流、探讨、总结,得到单调性的“通俗定义”: 从在某一区间内当 x 的值增大时, 函数值 y 也增大, 到图象在该区间内呈上升趋势再到如何用 x 与 f(x) 来描述上升的图象? 通过问题逐步向抽象的定义靠拢,将图形语言转化为数学符号语言。几何画板的灵活使用,数形有机结 合,引导学生从图形语言到数学符号语言的翻译变得轻松。 设计意图:①通过学生熟悉的知识引入新课题,有利于激发学生的学习兴趣和学习热情,同时也可 以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识,增强学生自主学习、独立思考,由学会向会学的转
2 化,形成良好的思维品质。②通过学生已学过的一次 y=2x+4, y ? x , y ?

1 x

的图象的动态形式形象地

反映出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性有感性认识。 ③从学生的原有认知结构入手,探讨单调 性的概念,符合“最近发展区的理论”要求。④从图形、直观认识入手,研究单调性的概念,其本身就是 研究、学习数学的一种方法,符合新课程的理念。 (三)增函数、减函数的定义 在前面的基础上,让学生讨论归纳:如何使用数学语言来准确描述函数的单调性?在学生回答的基础 上,给出增函数的概念,同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点。 定义中的“当 x1 ? x2 时,都有 f(x1)< f(x2)”描述了 y 随 x 的增大而增大;它刻画了函数的单调递增的 性质,数学语言多么精练简洁,这就是数学的魅力所在! 注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 让学生自已尝试写出减函数概念,由两名学生板演。提出单调区间的概念。 设计意图:通过给出函数单调性的严格定义,目的是为了让学生更准确地把握概念,理解函数的单调 性其实也叫做函数的增减性,它是对某个区间而言的,它是一个局部概念,同时明确判定函数在某个区间 上的单调性的一般步骤。这样处理,同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法,提高其个性品质。 (四)例题分析 在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。 2.例 2.证明函数 f ( x ) ? ? 3 x ? 1 在区间(-∞,+∞)上是减函数。 在本题的解决过程中,要求学生对照定义进行分析,明确本题要解决什么?定义要求是什么?怎样去 思考?通过自己的解决,总结证明单调性问题的一般方法。 变式一:函数 f(x)=-3x+b 在 R 上是减函数吗?为什么?

变式二:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 变式三:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 错误:实质上并没有证明,而是使用了所要证明的结论 例题设计意图:在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。例 1 是 教材中例题,它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识,进一步加深对概念的理解,同时也 是依托具体问题,对单调区间这一概念的再认识;要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行 观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。例 2 是教材练习题改 编,通过师生共同总结,得出使用定义证明的一般步骤:任取—作差(变形)—定号—下结论,通过例 2 的解决是学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法,强化证题的规范性训练,从而提高学生的推理 论证能力。例 3 是教材例 2 抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性,提高逻辑推理能力,同 时让学生学会一些常见的变形方法。 (五)巩固与探究 1.教材 p36 练习 2,3

2.探究:二次函数的单调性有什么规律? (几何画板演示,学生探究)本问题作为机动题。时间不允许时,就为课后思考题。 设计意图:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种 猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 通过课堂练习加深学生对概念的理解,进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤,达到巩固, 消化新知的目的。同时强化解题步骤,形成并提高解题能力。对练习的思考,让学生学会反思、学会总结。 (六)回顾总结 通过师生互动,回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单 调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断 和证明。 设计意图:通过小结突出本节课的重点,并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识,学会一些解 决问题的思想与方法,体会数学的和谐美。 (七)课外作业 1.教材 p43 习题 1.3 A 组 2.判断并证明函数 f ( x ) ? 1(单调区间),2(证明单调性);
x 在 (0, ? ? ) 上的单调性。

3.数学日记:谈谈你本节课中的收获或者困惑,整理你认为本节课中的最重要的知识和方法。 设计意图:通过作业 1、2 进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念,强化基本技能训练和解题规 范化的训练,并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。新课标要求:不同的学生学习不同的数 学,在数学上获得不同的发展。作业 3 这种新型的作业形式是其很好的体现。 (七)板书设计(见 ppt) 五、评价分析 有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上,,因此在教学设计过程中注意了:第一.教要按 照学的法子来教;第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”;第三.强化了重探究、重交

流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结” 的活动过程,体验了参与数学知识的发生、发展过程 ,培养“用数学”的意识和能力,成为积极主动的 建构者 。 本节课围绕教学重点,针对教学目标,以多媒体技术为依托,展现知识的发生和形成过程,使学生始 终处于问题探索研究状态之中,激情引趣,并注重数学科学研究方法的学习,是顺应新课改要求的,是研 究性教学的一次有益尝试。

课题:§1.2.1 函数的概念 教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系, 同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想. 教学目的:(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础 上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 三、引入课题 六、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 七、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计:





22

23

24

25

26

27

28

29

30

新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 八、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 九、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 四、新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function). 记作: y=f(x),x?A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain);与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域(range). 注意: 1 ○ “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; 2 ○ 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本 P20 例 1 解:(略) 说明: 1 ○ 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例; 2 ○ 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合; 3 ○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 巩固练习:课本 P22 第 1 题 2.判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解:(略) 说明: 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)

2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 巩固练习: 1 ○ 课本 P22 第 2 题 2 ○ 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) ;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) =
2 0

x

2

(3)f ( x ) = x ;f ( x ) = (x + 1) (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (三)课堂练习 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ?
1 x? | x |
1 1? 1 x

2

x

2

(2) f ( x ) ?

(3) f ( x ) ?

? x

2

? 4x ? 5
2

(4) f ( x ) ?

4? x x ?1
x
2

(5) f ( x ) ? (6) f ( x ) ?

? 6 x ? 10
x ? 3 ?1

1? x ?

五、归纳小结,强化思想 从具体实例引入了函数的的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念,介绍了求函 数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 六、作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 1—7 题 (B 组)第 1 题

1.3.2《函数的奇偶性》 一、教材分析 1.教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教 A 版第一章“集合与函数概念”的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节。

奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的





手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构 看,它既是函数概念的拓展和深化,又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此, 本节课起着承上启下的重要作用。 2.学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单 函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来 思考和解决问题. 3.教学目标 基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标: 【知识与技能】 1.能判断一些简单函数的奇偶性。 2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。 从课堂反应看,基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。 几年的教学实践证明,虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌握不全面的学 生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验
f ( ? x ) ? ? f ( x )或 f ( ? x ) ? f ( x )

成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。因此,在介绍奇、偶函数

的定义时,一定要揭示定义的隐含条件,从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此,我把“函数的奇偶

性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解,还特意安排了一道例题,来加强本 节课重点问题的讲解。 难点:奇偶性概念的数学化提炼过程。 由于,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一 定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。 二、教法与学法分析 1、教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师 为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,采用以引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。教学 中,精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题,创设问题情景,诱导学生思考,使学生始终处于主 动探索问题的积极状态,从而培养思维能力。从课堂反应看,基本上达到了预期效果。 2、学法 让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,从 而使学生掌握知识。 三、教学过程 具体的教学过程是师生互动交流的过程,共分六个环节:设疑导入、观图激趣;指导观察、形成概念; 学生探索、领会定义;知识应用,巩固提高;总结反馈;分层作业,学以致用。下面我对这六个环节进行 说明。 (一)设疑导入、观图激趣 由于本节内容相对独立,专题性较强,所以我采用了“开门见山”导入方式,直接点明要学的内容, 使学生的思维迅速定向,达到开始就明确目标突出重点的效果。 用多媒体展示一组图片,使学生感受到生活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图象。通过让学 生观察图片导入新课,既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为学习新知识作好铺垫。 (二)指导观察、形成概念 在这一环节中共设计了 2 个探究活动。
2 探究 1 、2 数学中对称的形式也很多,这节课我们就以函数 f ( x ) ? x 和 f ( x ) =︱x︱以及 f ( x ) ? x

和 f (x) ?

1 x

为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的,由于有图片的铺垫,绝大多

数学生很快就说出函数图象关于 Y 轴(原点)对称。接着学生填表,从数值角度研究图象的这种特征,体 现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示(令 比较 得出等式 , 再令 ,得到 )

让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性, f ( ? x ) ? f ( x ) ( f ( ? x ) ? ? f ( x ) )然后通过 解析式给出严格证明,进一步说明这个特性对定义域内任意一个 都成立。 最后给出偶函数(奇函数)定 义(板书)。 在这个过程中,学生把对图形规律的感性认识,转化成数量的规律性,从而上升到了理性认识,切实经历 了一次从特殊归纳出一般的过程体验。 (三) 学生探索、领会定义 探究 3 下列函数图象具有奇偶性吗?

y ? x , y ? [ ? 4, x 3]
3

y

y ? x , x ? [ ? 3, ] 2
2

?4
O

3

x
?3
O

2

x

设计意图:深化对奇偶性概念的理解。强调:函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。 (突破了本节课的难点) (四)知识应用,巩固提高 在这一环节我设计了 4 道题 例 1 判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x ) ? x

4

   1 x

(2) f ( x) ? x    
5

  f (x) ? x ? (3)

(4) f ( x) ?

1 x
2

 

选例 1 的第(1)及(3)小题板书来示范解题步骤,其他小题让学生在下面完成。 例 1 设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤: (1) 先求定义域,看是否关于原点对称; (2) 再判断 f(-x)=-f(x) 还是 f(-x)=f(x)。 例 2 判断下列函数的奇偶性:

f (x) ? x ? x
2

例 3 判断下列函数的奇偶性:
f (x) ? 0

例 2、3 设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型? 例 4(1)判断函数 f ( x ) ? x ? x 的奇偶性。
3

(2)如图给出函数图象的一部分,你能根据函数的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗? 例 4 设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。 在这个过程中,我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决,学生对函数的奇偶性认 识、理解和应用都能提升很大一个高度,达到当堂消化吸收的效果。 (五)总结反馈 在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式,“问题”贯穿于探究过程的始终,切实体现 了启发式、问题式教学法的特色。 在本节课的最后对知识点进行了简单回顾,并引导学生总结出本节课应积累的解题经验。知识在于积 累,而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、增强错误的预见能力是提高数 学综合能力的很重要的策略。 (六)分层作业,学以致用 必做题:课本第 36 页练习第 1-2 题。

选做题:课本第 39 页习题 1.3A 组第 6 题。 思考题:课本第 39 页习题 1.3B 组第 3 题。 设计意图:面向全体学生,注重个人差异,加强作业的针对性,对学生进行分层作业,既使学生掌握 基础知识,又使学有余力的学生有所提高,进一步达到不同的人在数学上得到不同的发展。

《指数函数及其性质》 一、指数函数及其性质教学设计说明 新课标指出: 学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为主线,在原有 知识的基础上,建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。

数学本质: 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象突破,体会数形结合的思 想。通过分类讨论,通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律,从而 归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出指数函数的一般性质,从 而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用: 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修 1》第二章 2.1 .2 节的内容,研究指数函数的定义, 图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念,将指数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基 本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化,又是今后学习对数函数与幂函数 的基础。因此,在教材 中占有极其重要的地位,起着承上启下的作用。 此外,《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系,尤其体现在细胞分裂、 贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面,因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析: 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况,确定在理解指数函 数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是指数函数图像 和性质的发现过程。 为此,特制定以下的教学目标: 1)知识目标(直接性目标):理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用、能根 据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标):通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类 讨论思想,增强学生识图用图的能力 。 3)情感目标(可持续性目标): 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,用联系 的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。引 导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析: 学生知识储备: 通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习,学生对函数和图象的关系已经构建了一定的 认知结构。 学情分析: 由于我所教学生数学的理解能力、 运算能力、 思维能力等方面有一部分是较好的, 但整体是水平参差不齐。 高一这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,能够勇于表现自我,展现自我,愿意合作交流。但在思维习 惯上与方法上还有待教师引导。 可能存在的问题与策略: 问题 1. 学生能够从具体的问题中抽象出数学的模型但对于指数函数的定义中底数的取值范围和指数函数形式的 判断有困难。 教学策略: 类比着二次函数,对于底数的范围的取值,引导学生回顾指数幂中当指数为全体实数时,底数怎样取值才 能一直有意义,以问题的形式引发学生思考底数能否取负数、正数、0、1?从而得到底数的范围。 学生对: 1)y=-3x 2)y=31/x 3) y=31+x 4) y=(-3)x 5) y=3-x=(1/3) x 几种形式的函数的判断,加强对指数函数形解析式的理解和辨别: 问题 2. 学生初中阶段就接触过函数,但对于学生而言,指数函数是完全陌生的函数。学生列表时,数值的选取上 可能会少取或是数值的选取不能照顾到全体实数,画图时,又容易受以前学过的函数图像的影响,把指数

函数的图像画成已经学过的图像的形象。 教学策略:在列表格时自变量的取值以及如何画出指数函数的图像的问题上,采用启发式教学法,类 比学过的函数图形的画法,引导学生画图,画完图后,又利用实物投影仪展示一位同学的图像,由全班同 学进行提出意见纠错来补充画图的不足。 另外为了让学生增强识图、用图的能力可以让学生根据观察到的指数函数的图像,来画出底数不同取值范 围内的的草图,以便于探究性质。 问题 3. 函数定义给出后,底数 a 如何分类讨论的情况学生难以做到,如果处理不好,这对于指数函数质探究时的 分类讨论有很重要的意义。 教学策略:在定义中对于底数的取值范围的讨论后,得出了底数 a>0 且 a≠1。此时,在数轴上把 a 的范围 表示出来,这样学生很容易从数轴上的区间图看出底数分为两类情况进行讨论。这样为指数函数质探究时 的分类讨论埋下了伏笔。 问题 4 . 通过两个具体的特殊的指数函数图像,来探究得出指数函数的性质。如何使学生能经历从特殊到一般的过 程,这种由特殊到一般再到特殊的思想的领会,如何完成? 教学策略:教师利用几何画板分别画出了底数大于 1 的和底数在 0 到 1 之间的若干个不同的指数函数的 图像,展现不同的底数的变化时图像的不同情况,从而让学生经历由特殊到一般的过程。 问题 5. 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数,学生可能找不到研究问题的 方法和方向. 教学策略:在这部分的安排上,我更注意学生思维习惯的养成,即应从哪些方面,哪些角度去探索一个具 体函数。 问题 6. 学生得到的性质特点可能是杂乱的,如何梳理突出主要的性质? 教学策略:在学生识图、用图、合作探究的过程后,利用两个表格的填写,让学生感受由图象特征来得到 函数的性质的过程。表格主要呈现五个方面的性质与特点。 五、教法分析: 为充分贯彻新课程理念,使教学过程真正成为学生学习过程,让学生体验数学发现和创造的历程,本节课 拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载体,启发学生观察思考,分 析讨论为主,教师适当引导点拨,以动手操作、合作交流,自主探究的方式来让学生始终处在教学活动的 中心。 六、预期效果分析: 1、教学环节环环相扣,层层深入,并充分体现教师与学生的交流互动,在教师的整体调控下,学生通过 动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的生成和发展过程,使学生对知识的理解逐步深入。 2、简单实例的引入,顺利完成了知识的迁移,从得出指数函数的模型,符合学生认知规律的最近发展区。 3、 而作业中完成指数函数性质的探究报告,弥补课堂时间有限探究和展示的局限性,带领学生进 入对指数函数更进一步的思考和研究之中,从而达到知识在课堂以外的延伸。 4、在整个教学过程中,由于学生是自觉主动地发现结果,对所学知识应该能够较快接受。因此, 我认为可以达到预定的教学目标。

2.8 对数函数(第二课时) 3. 教材的本质、地位与作用 对数函数(第二课时)是 2006 人教版高一数学(上册)第二章第八节第二课时的内容,本小节涉及 对数函数相关知识,分三个课时,这里是第二课时复习巩固对数函数图像及性质,并用此解决三类对数比 大小问题,是对已学内容(指数函数、指数比大小、对数函数)的延续和发展,同时也体现了数学的实用 性,为后续学习起到奠定知识基础、渗透方法的作用,因此本节内容起到了一种承上启下的作用. 4. 教学目标 根据教学大纲的要求以及本节课的地位与作用,结合高一学生的认知特点确定教学目标如下: 学习目标: 1、复习巩固对数函数的图像及性质 2、运用对数函数的性质比较两个数的大小 能力目标: 1、 培养学生运用图形解决问题的意识即数形结合能力

2、学生运用已学知识,已有经验解决新问题的能力 3、 探索出方法,有条理阐述自己观点的能力 德育目标: 培养学生勤于思考、独立思考、合作交流等良好的个性品质 5. 教材的重点及难点 对数比大小发挥的是承上启下的作用,对前一是复习巩固对数函数的图像和性质,二是对指数中比 大小问题的数学思想及方法的再次体现和应用,对后为解对数方程及对数不等式奠定基础。所以确定本节 课重点:运用对数函数图像性质比较两数的大小 教学中将在以下 2 个环节中突出教学重点: ...... 2. 利用学生预习后的心得交流,资源共享,互补不足 3. 通过适当的练习,加强对解题方法的掌握及原理的理解 另一方面,学生在预习后上课的情况下,对于课本上知识有了一定的认识,但本节课教师要补充第 三类比大小问题———同真异底型,对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性。 所以确定本节课 难点:同真异底的对数比大小 ...... 教学中会在以下 3 个方面突破教学难点: (4) 教师调整角色,让学生成为学习的主人,教师在其中起引 导作用即可。

(5)小组合作探索新问题时,注重生生合作、师生互动,适时用语言鼓励学生,增强学生参与讨论 的自信。 (6) 本节课采用多媒体辅助教学,节省时间,加快课程进度,增强了直观形象性。 6. 学生学情分析 长处:高一学生经过几年的数学学习,已具备一定的数学素养,对于已学知识或用过的数学思想、 方法有一定的应用能力及应用意识,对于本节课而言,从知识上说,对数函数的图像和性质刚 .. 刚学过,本节课是知识的应用,从数学能力上说,指数比大小问题的解题思想和方法在这可借 .... 鉴,另外数形结合能力、小结概括能力、特殊到一般归纳能力已具备一点。 学生可能遇到的困难:本节课从教学内容上来看,第三类对数比大小是课本以外补充的内容,没有 .... 预习心得,让学生在课堂中快速通过合作探究来完成解题思路的构建,有一定的挑战性,从学 . 生能力上来看,探索出方法,有条理阐述自己观点的能力还需加强锻炼,知识之间的联系认识 ... 上还显不足。 7. 教法特点 新课程强调教师要调整自己的角色,改变传统的教育方式,在教育方式上,以学生为中心,让学生 成为学习的主人,教师在其中起引导作用即可。基于此,本节课遵循此原则重点采用问题探究和启发引导

式的教学方法。从预习交流心得出发,到探索新问题,再到题后的回顾总结,一切以学生为中心,处处体 现学生的主体地位,让学生多说、多分析、多思考、多总结,引导学生运用自己的语言阐述观点,加强理 解,在生生合作,师生互动中解决问题,为提高学生分析问题、解决问题能力打下基础。本节课采用多媒 体辅助教学,节省时间,加快课程进度,增强了直观形象性。 8. 教学过程分析 2. 课件展示本节课学习目标

设计意图:明确任务,激发兴趣 3. 温故知新(已填表形式复习对数函数的图像和性质)

设计意图:复习已学知识和方法,为学生形成知识间的联系和框架建立平台,并为下一步的应用打 下基础。 4. 预习后心得交流 二、 三、 同底对数比大小 既不同底数,也不同真数的对数比大小

以课本例题为例,交流解题思路,题后总结此类型比大小问题的一般方法,而后通过练习加强理解 巩固 设计意图:通过学生的预习,自己总结方法及此方法适用的题型,有条理的阐述自己的学习心得,老 师只需起引导作用,引导学生从题目表面上升到题目的实质,从而找到解决问题的有效方法。 5. 合作探究——同真异底型的对数比大小

以例 3 为例,学生分组合作探究解题方法,预计两种:一是利用换底公式将此类型转化为同底异真 型,利用之前总结的方法解决此问题。二是利用具体对数的大小关系探究出不同底对数函数在同一直角坐 标系中的图像,以此来解决此类型比大小问题。 设计意图:这一部分是本节课的难点,探究中充分发挥学生的主动性,培养主动学习的意识,同时也 锻炼学生各方面能力的很好机会,为以后的探究学习积累经验和方法,充分体现“授之以鱼,不如授之以 渔”的教学理念。另外数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾,即反思,如果没有了 反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。因此,本题解决后,让学生反思明白,要想利用性 质解决问题,关键要做到“脑中有图”,以“形”促“数”。 6. 小结

以学生自主小结的方式总结本节课得收获,教师可引导小结三个方面:所学内容、数学思想、数 学方法 7. 思考题

以 2009 高考题为例,让学生学以致用,增强数学学习兴趣。

8.

作业

包括两个方面:1、书写作业 2、下节课前的预习作业 9. 教学效果分析 通过本节课的教学实例来看,这种通过课本内容预习,而后课堂交流学习成果的方法效果不错,既 能很好的完成教学任务,又能充分发挥学生学习的主动性。在自主探究时,学生分组讨论过程中,我参与 小组讨论,对有能力的小组,在探究出一种方法后,可鼓励完成更多的方法探究,对于能力较弱的小组, 可给予适当的提示,使学生都能动起来,课堂都有所收获,增强学生自信。另外,对于学生的总结回答, 可能会比较慢,我一定会耐心听,及时鼓励,给予学生微笑和语言的鼓励,效果很好。在小结环节中,对 于高一学生自己小结的方法, 是我一直的教学尝试, 由于只训练了半学期, 学生只能达到小结知识的程度, 在以后的训练中还会加入数学思想、数学方法的小结内容,使这些数学名词让学生不再觉得抽象,而是变 成具体的,可操作的、具体的解题工具。

3.1.1 方程的根与函数的零点 一、本课数学内容的本质、地位、作用分析 普通高中课标教材必修 1 共安排了三章内容,第一章是《集合与函数的概念》,第二章是《基本初等 函数(Ⅰ)》,第三章是《函数的应用》。第三章编排了两块内容,第一部分是函数与方程,第二部分是 函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点,正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。 本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据,这两者显然是为下节“用二分法求 方程近似解”这一“函数的应用”服务的,同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见,它起着承上启 下的作用,与整章、整册综合成一个整体,学好本节意义重大。 函数在数学中占据着不可替代的核心地位,根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系,而函 数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。方程本身就 是函数的一部分,用函数的观点来研究方程,就是将局部放入整体中研究,进而对整体和局部都有一个更 深层次的理解,并学会用联系的观点解决问题,为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。 二、教学目标分析 本节内容包含三大知识点: 一、函数零点的定义; 二、方程的根与函数零点的等价关系; 三、零点存在性定理。 结合本节课引入三大知识点的方法,设定本节课的知识与技能目标如下: 1.结合方程根的几何意义,理解函数零点的定义; 2.结合零点定义的探究,掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系; 3.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法. 本节课是学生在学习了函数的性质,具备了初步的数形结合知识的基础上,通过对特殊函数图象的分 析进行展开的,是培养学生“化归与转化思想”,“ 数形结合思想”, “函数与方程思想”的优质载体。 结合本节课教学主线的设计,设定本节课的过程与方法目标如下: 1.通过化归与转化思想的引导,培养学生从已有认知结构出发,寻求解决棘手问题方法的习惯; 2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识;

3.通过习题与探究知识的相关性设置,引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法; 4.通过对函数与方程思想的不断剖析,促进学生对知识灵活应用的能力。 由于本节课将以教师引导,学生探究为主体形式,故设定本节课的情感、态度与价值观目标如下: 1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值; 2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯。 3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。 三、教学问题诊断 学生具备的认知基础: 1.基本初等函数的图象和性质; 2.一元二次方程的根和相应函数图象与 x 轴的联系; 3.将数与形相结合转化的意识。 学生欠缺的实际能力: 1.主动应用数形结合思想解决问题的意识还不强; 2.将未知问题已知化,将复杂问题简单化的化归意识淡薄; 3.从直观到抽象的概括总结能力还不够; 4.概念的内涵与外延的探究意识有待提高。 对本节课的教学,教材是利用一组一元二次方程和二次函数的关系来引入函数零点的。这样处理,主 要是想让学生在原有二次函数的认知基础上,使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单 的函数零点,再来理解其他复杂的函数零点就会容易一些。但学生对如何解一元二次方程以及二次函数的 图象早就熟练了,这样的引入过程使学生感到平淡,激发不起他们的兴趣,他们对零点的理解也只会浮于 表面,也无法使其体会引入函数零点的必要性,理解不了方程根存在的本质原因是零点的存在。 教材是通过由直观到抽象的过程,才得到判断函数 y=f(x)在(a,b)内有零点的一种条件的,如果不 能有效地对该过程进行引导,容易出现学生被动接受,盲目记忆的结果,而丧失了对学生应用数学思想方 法的意识进行培养的机会。 教材中零点存在性定理只表述了存在零点的条件,但对存在零点的个数并未多做说明,这就要求教师 对该定理的内涵和外延要有清晰的把握,引导学生探究出只存在一个零点的条件,否则学生对定理的内容 很容易心存疑虑。 四、本节课的教法特点以及预期效果分析 本节课教法的几大特点总结如下: 2、 以问题为主线贯穿始终; 3、 精心设置引导性的语言放手让学生探究;

4、 注重在引导学生探究问题解法的过程中渗透数学思想; 5、 在探究过程中引入新知识点,在引入新知识点后适时归纳总结,进行探究阶段性成果的应用。 由于所设置的主线问题具有很高的探究价值,所以预期学生热情会很高,积极性调动起来,那整节课 才能活起来; 由于为了更好地组织学生探究所设置的引导性语言,重在去挖掘学生内心真实的想法和他们最真实体 会到的困难,所以通过学生活动会更多地暴露他们在基础知识掌握方面的缺憾,免不了要随时纠正对过往 知识的错误理解; 因为在探究过程中不断渗透数学思想,学生对亲身经历的解题方法就会有更深的体会,主动应用数学 思想的意识在上升,对于主线问题也应该可以迎刃而解; 因为在探究过程中引入新知识点,学生对新知识产生的必要性会有更深刻的体会和认识,同时在新知 识产生后,又适时地加以应用,学生对新知识的应用能力不断提高。

用二分法求方程的近似解 一、本节课内容的数学本质 本节课的主要任务是探究二分法基本原理,给出用二分法求方程近似解的基本步骤,使学生学会借助 计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程,渗透逐步 逼近和无限逼近思想(极限思想),体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。引导学 生用联系的观点理解有关内容, 通过求方程的近似解感受函数、 方程、 不等式以及算法等内容的有机结合, 使学生体会知识之间的联系。 所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处 理问题的算法思想。 二、本节课内容的地位、作用

“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性(定理)”,本节课是上节学习内容《方程的根与函数 的零点》的自然延伸;是数学必修 3 算法教学的一个前奏和准备;同时渗透数形结合思想、近似思想、逼 近思想和算法思想等。 三、学生情况分析 学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系,具备一定的用数形结合思想解决问题的能力,这 为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关 系,对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊,计算器的使用不够熟练,这些 都给学生学习本节内容造成一定困难。 四、教学目标定位 根据教材内容和学生的实际情况,本节课的教学目标设定如下: 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的一种方法,会用二分法 求某些具体方程的近似解,从中体会函数与方程之间的联系,体会程序化解决问题的思想。 借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题 的思想及其重要作用,并为下一步学习算法做知识准备. 通过探究、展示、交流,养成良好的学习品质,增强合作意识。 通过具体问题体会逼近过程,感受精确与近似的相对统一。 五、教学诊断分析 “二分法”的思想方法简便而又应用广泛,所需的数学知识较少,算法流程比较简洁,便于编写计算 机程序;利用计算器和多媒体辅助教学,直观明了;学生在生活中也有相关体验,所以易于被学生理解和 掌握。 但“二分法”不能用于求方程偶次重根的近似解,精确度概念不易理解。 六、教学方法和特点 本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法。 通过分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级而上,并辅以 多媒体教学手段,使学生自主探究二分法的原理。 本节课特点主要有以下几方面: 1、以问题驱动教学,激发学生的求知欲,体现了以学生为主的教学理念。 2、注重与现实生活中案例相结合,让学生体会数学来源于现实生活又可以解决现实生活中的问题。 以李咏主持的幸运 52 猜商品价格来创设情境,不仅激发学生学习兴趣,学生也在猜测的过程中体会 二分法思想。 3、注重学生参与知识的形成过程,使他们“听”有所思,“学”有所获。 本节课中的每一个问题都是在师生交流中产生,在学生合作探究中解决,使学生经历了完整的学习过 程,培养合作交流意识。 4、恰当地利用现代信息技术,帮助学生揭示数学本质。 本节课中利用计算器进行了多次计算,逐步缩小实数解所在范围,精确度的确定就显得非常自然,突 破了教学上的难点,提高了探究活动的有效性。整个课件都以 PowerPoint 为制作平台,演示 Excel 程序求方程的近似解,界画活泼,充分体现了信息技术与数学课程有机整合。 七、预期效果分析 以方程的根与函数的零点知识作基础,通过对求方程近似解的探究讨论,使学生主动参与数学实践活 动;采用多媒体技术,大容量信息的呈现和生动形象的演示,激发学生学习兴趣、激活学生思维,掌握二 分法的本质,完成教学目标。 另外尽管使用了科学计算器,但求一个方程的近似解也是很费时的,学生容易出现计算错误和产生急 躁情绪;况且问题探究式教学跟学生的学习程度有很大关系,各小组的探究时间存在差异,教师要适时指 导。

几类不同增长的函数模型 一.内容和内容解析 本节是高中数学必修 1(人教 A 版)第三章《函数的应用》的起始课.该课将经历运用和选择函数模 型解决实际问题的过程, 从而认识在同为增函数的函数模型中, 各种函数存在增长的差异; 理解直线上升、 指数爆炸、对数增长的含义;认识研究函数增长(衰减)差异的方法;感受数学建模的思想. 对不同函数模型在增长差异上的研究,教材围绕函数模型的应用这一核心,结合具体实例展开讨论, 让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规 律时各自的特点. 教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题,引出函数模型增长情况比较的问题,接着运用信 息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异,说明不同函数类型 增长的含义. 在必修 1 前两章,教材安排了函数的性质以及基本初等函数.本节内容是几类不同增长的函数模型, 在此之后是研究函数模型的应用,因此,从内容上看,本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函 数的性质的综合应用,从思想方法上讲,是对研究函数的方法的进一步巩固和深化,同时,也在为后面继 续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础, 因此本节内容, . 既是第二章基本初等函数知识的延续, 又是函数模型应用学习的基础,起着承前启后的作用. 本节内容所涉及的数学思想方法主要包括:由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模

型化的思想;在解决问题过程中函数与方程的思想. 二.目标和目标解析 本节课的教学任务为: (1)创设一个投资方案的问题情境,让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质,体会 直线上升和指数爆炸; (2)创设一个选择奖励模型的问题情境,让学生在观察和探究的过程中,体会对数增长模型的特点; (3)通过建立和运用函数基本模型,让学生初步体验数学建模的基本思想,发展学生的创新意识和 数学应用意识. 根据内容解析和教学任务,本节课的教学目标确定为: (1)通过实例的解决,运用函数表格、图象,比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增 长,认识它们的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义; (2)通过恰当地运用函数的三种表示方法(解析法、列表法、图象法),表达实际问题中的函数关 系的操作,认识函数问题的研究方法:观察—归纳—猜想—证明; (3)经历建立和运用函数基本模型的过程,初步体验数学建模的基本思想,体会数学的作用与价值, 培养分析问题、解决问题的能力. 这部分内容教科书在处理上,以函数模型的应用这一内容为主线,以几个重要的函数 模型为对象,将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来,使之成为一个整体.因此 教学中应当注意贯彻教材的设计意图,让学生经历函数模型应用的全过程,能在这一过程中认识不同增长 的差异,认识知晓函数增长差异的作用,认识研究差异的思想方法. 结合以上分析本节课的教学重点为:将实际问题转化为数学模型,在比较常数函数、一次函数、指数 函数、对数函数模型增长差异的过程中,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义. 三.教学问题诊断 学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数,但由于指数函数、对数函数和幂函数的 增长变化复杂,这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.因此本节课教学难点确定为:如何结合实际问 题让学生体会不同函数模型的增长差异,以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题. 为了解决这一难点,教科书分三个步骤,创设问题情境,并通过恰点恰时而又层层递进的问题串,让 学生在不断的观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题解决问题的能 力.第一步,教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境,在解决问题的过程中给出了解析式、数表和 图象三种表示,然后提出了三个思考问题,让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸,另一方面也学会 如何选择恰当的表示形式对问题进行分析.第二步,教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境, 让学生在观察和探究的过程中,体会到对数增长模型的特点.第三步,教科书提出了三种函数存在怎样的 增长差异的问题.先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象,从中体会二者的差异;再通过 两个探究问题,让学生对幂函数和对数函数的增长差异,以及三种函数的衰减情况进行自主探究.这样的 安排内容上层次分明,可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动,对典型的问题,多 视点宽角度地进行了研究.对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动.由于本节内容比较丰 富,而且研究问题的方法和途径也比较多,所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题. 四.教学支持条件分析 要让学生较为全面地体会函数模型的思想,特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、 图象等方面处理上的困难,而利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函 数的增长差异.这样,就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法.因此在本节内

容教学的处理上,通过学生收集数据并建立函数模型, 利用计算器和计算机,比较指数函数、对数函数 以及幂函数间的增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 五.教学过程设计 一、创设情境,引入课题 1.介绍第三章章头图,提出问题. 问题 1:澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由 5 只发展到 5 亿只? 澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象:指数增长. 问题 2:在生活中,你还能举出其它增长的例子吗? 2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型. 3.揭示课题:几类不同增长的函数模型. 【设计意图】运用章头图,形成问题情境,产生应用函数的需要,激发学生的学习愿望. 二、分析问题,建立模型 (一)提出问题 例 1.假如你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的 回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问:你会选择哪种投资方式? (二)分析问题 1.引导审题,抓住关键词“回报” 问题 3:你选择的是什么样的回报?怎样比较回报资金的大小? 从解决问题的角度看: (1)比较三种方案的每日回报; (2)比较三种方案在若干天内的累计回报. 2.引导分析数量关系,建立函数模型 仅从日回报的角度引导学生根据数量关系, 归纳概括出相应的函数模型, 写出每个方案的函数解析式. 【设计意图】引发学生思考,经历建立函数基本模型的过程. 【备注】累计回报的本质是数列求和问题,由于学生目前的知识储备还不够,现在仅限于通过对函数 模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择. 三、组织探究,感性体验 1.教师提出问题 问题 4:你会选择哪种投资方案?请用数学语言呈现你的理由. 2.学生分组操作,比较不同增长 从解决问题的方式上: (1)用列表方法来比较; (2)画出函数图象来分析. 【设计意图】保成学生合作探究、动手实践,能借助计算器,利用数据表格、函数图象对三种模型进 行比较、分析,初步感受直线上升和指数爆炸的意义,初步体验研究函数增长差异的方法. 四、成果交流,阶段小结

(一)学生交流 让学生交流小组探究的成果(表格、图象、结论) (二)师生互动 1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象(突出散点图),引导学生关注增长量,感受增长差异. 2.通过教师多媒体动态演示,让学生进一步体会增长差异. 在不同的函数模型下,虽然都有增长,但增长态势各具特点.他们的增长不在同一个“档次”上,当 自变量变得很大时,指数型函数比一次函数增长的速度要快得多. (三)归纳小结 1.通过教师的小结,增强学生对增长差异的认识. 常数函数(没有增长),直线上升(匀速增长),指数爆炸(急剧增长). 2.上述问题的解决,是通过考虑其中的数量关系,把它抽象概括成一个函数问题,用解析式、数据表 格、图象这三种函数的表达形式来研究的. 【设计意图】分享学生成果,达到生生互动、师生互动;借助多媒体展示,帮助学生理解不同增长的 函数模型的增长差异,并且初步体验数学建模的基本思想,认识函数问题的研究方法. 五、深入探究,理性分析 (一)提出问题 例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达 到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增加而增 加, 但奖金总数不超过 5 万元, 同时奖金不超过利润的 25%. 现有三个奖励模型: ? 0 . 25 x y
y ? 1 . 002
x

y ? log

7

x ?1

.其中哪个模型能符合公司的要求?

(二)引导分析 问题 5:你能立刻做出选择吗?选择的依据是什么? 问题 6:公司的要求到底意味着怎样的数学关系? 问题 7:我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件? (三)解决问题 1.通过多媒体演示,发现增长差异; 2.结合限制条件,初步作出选择; 3.通过计算,进一步确认,验证所得结论; 4.体会对数增长模型的增长特征:当自变量变得很大时平缓增长; 5.揭示函数问题的研究方法(观察—归纳—猜想—证明). 【设计意图】让学生在观察和探究的过程中,学会理性分析,体会对数增长模型的特点. 【备注】对判断模型二 y ? lo g 7 x ? 1 是否满足限制条件“ lo g 7 x ? 1 ? 0 .2 5 x ”,考虑到学生现在知识 储备和接受水平,只能采用了直观教学,通过构造新函数,观察新函数的图象来解决(因为该函数单调性 的判定,必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决). 六、拓展延伸,创新设计 这个奖励方案实施以后,立刻调动了员工的积极性,企业发展蒸蒸日上,但随着时间的推移,又出现 了新的问题,员工缺乏创造高销售额的积极性. 问题 8:我们的奖励方案有什么弊端? 问题 9:你能否设计出更合理的奖励模型? 【创新设计】为了实现 1000 万元利润的目标,在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且

奖金 y(单位:万元)随着销售利润 x (单位:万元)的增加而增加,要求如下: 10 万~ 50 万,奖金不超过 2 万;50 万~ 200 万,奖金不超过 4 万;200 万~ 1000 万,奖金不超过 20 万.请选择适当的函数模型,用图象表达你的设计方案.(四人一组,合作完成) 【设计意图】设计开放性问题对例 2 拓展延伸,既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况, 又鼓励学生学以致用,用以致优,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程. 七、归纳总结,提炼升华 问题 10:通过本节课的学习,你有哪些收获?请你从知识、方法、思想方面作一个小结. 1.知识:对函数的性质有了进一步的了解,我们体会到同是增长型函数,但其增长差异却很大:常数 函数(没有增长);一次函数(直线上升);指数函数(爆炸增长);对数函数(平缓增长). 2.方法:函数有三种表示方法(解析法、列表法、图象法);函数问题的一般研究方法(观察—归纳 —猜想—证明) 3.思想: 两个例题都体现了数学建模的思想, 即把实际问题数学化: 面对实际问题, 我们要读懂问题, 运用所学知识,将其转化成数学模型,最终得到实际问题的解. 【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异,提炼数学思想方法,认识数学的应用价值. 八、布置作业,巩固提高 1.课本 98 页课后练习 1,2;课本 107 页习题 3.2(A 组)第 1 题; 2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速度进行比较, 了解函数模型的广泛应用. 【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同 的函数模型来描述;培养学生对数学学科的深刻认识,体会数学的应用价值.

《集合的含义与表示》 一.教材 分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多 重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的数学思想, 在越来越广泛的领域种得到应用。 二.目标 分析: 教学重点.难点 重点 :集合的含义与表示方法. 难点 :表示法的恰当选择. 教学 目标 l.知识 与 技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; 2. 过程 与 方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 三. 教法分析

1. 教学方法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学 目标. 2. 教学手段:在教学中使用投影仪来辅助教学. 四.过程分析 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:(1)介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。 (2)问题:像“家庭”“学校”“班级”等,有什么共同特征? 、 、 引导学生互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.活动:(1)列举生活中的集合的例子; (2)分析、概括各实例的共同特征 由此引出这节要学的内容。 设计意图:既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫 (二)研探新知,建构概念 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 7 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 7 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出 7 个实例的特征,并 给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母 A,B,C,D,?表示,元素常用小写字母 a , b , c , d ?表示. 设计意图:通过实例让学生感受集合的概念,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神 (三)质疑答辩,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅导,解答学生 疑难.使学生明确集合元素的三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由.教师对学生的学 习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合,用 a 表示高一(3)班的一位同学, b 是高一(4)班的 一位同学,那么 a , b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属 于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A .

(2)如果用 A 表示 “所有的安理会常任理事国” 组成的集合, 则中国.日本与集合 A 的关系分别是什么? 请用数学符号分别表示. (3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相交内容,写出常用数集的记号.并让学生完 成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 设计意图:明确集合元素的三大特性,使学生弄清楚三种表示方式的优缺点,从而突破难点。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? { x ? N | 1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题. 设计意图:使学生及时巩固所学新知,体会三种表示方式存在的必要性和适用对象 (五)归纳小结,布置作业 小结:在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习了哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? 设计意图:通过回顾,对概念的发生与发展过程有清晰的认识,回顾集合元素的三大特性及集合的三种表 示方式。 作业: 1.课后书面作业:第 13 页习题 1.1A 组第 4 题. 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表示? 请同学们通过预习教材. 五.板书分析 集合的含义与表示 定义 例1 集合 ××××××× ××××××× ××××××× 元素 ××××××× ××××××× 例2 元素与集合的关系 ××××××× ××××××× ××××××× 作业 ××××××× ×××××××

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课题:§1.2.1 函数的概念 教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系, 同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想. 教学目的:(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础 上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 十、引入课题 四、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 四、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计: 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29 30 新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 四、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 四、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 十一、 新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function). 记作: y=f(x),x?A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain);与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域(range). 注意: 1 ○ “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;

2 ○ 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 四、 构成函数的三要素:

定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本 P20 例 1 解:(略) 说明: 1 ○ 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例; 2 ○ 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合; 3 ○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 巩固练习:课本 P22 第 1 题 2.判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解:(略) 说明: 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。 巩固练习: 1 ○ 课本 P22 第 2 题 2 ○ 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) ;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) =
2 0

x

2

(3)f ( x ) = x ;f ( x ) = (x + 1) (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (三)课堂练习 求下列函数的定义域
x
2

2

(1) f ( x ) ?

1 x? | x |
1 1? 1 x

(2) f ( x ) ?

(3) f ( x ) ?

? x

2

? 4x ? 5
2

(4) f ( x ) ?

4? x x ?1
x
2

(5) f ( x ) ? (6) f ( x ) ?

? 6 x ? 10
x ? 3 ?1

1? x ?

十二、 归纳小结,强化思想 从具体实例引入了函数的的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念,介绍了求函 数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 十三、 作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 1—7 题 (B 组)第 1 题

《单调性与最大(小)值》说课稿

一、教材分析 1.教学内容 本节课内容教材共分两课时进行,这是第一课时,该课时主要学习函数的单调性的的概念,依据函数 图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。 2. 教材的地位和作用 函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点,是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握 本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养学生的抽象思维能力,及分析问题和解决问 题的能力。 3.教材的重点﹑难点﹑关键 教学重点:函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念. 教学难点:领会函数单调性的实质与应用,明确单调性是一个局部的概念。 教学关键:从学生的学习心理和认知结构出发,讲清楚概念的形成过程. 4.学情分析 高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段,而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维,并由此向 逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱,故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境, 引导学生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看,他们只能根据函数的图象观察出 “随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性,发挥好多 媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中注意加强. 二、目标分析 (一)知识目标: 1.知识目标:理解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法;了解函数单调区间 的概念,并能根据函数图象说出函数的单调区间。 2.能力目标:通过证明函数的单调性的学习,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维 方式,培养学生的观察能力,分析归纳能力,领会数学的归纳转化的思想方法,增加学生的知识联系,增 强学生对知识的主动构建的能力。 3.情感目标:让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动,在掌握知识的过程中体会 成功的喜悦,以此激发求知欲望。领会用运动变化的观点去观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数 学思想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。 (二)过程与方法 培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题,以提 高学生的思维品质,通过函数的单调性的学习,掌握自变量和因变量的关系。通过多媒体手段激发学生学 习兴趣,培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力。 三、教法与学法

1.教学方法 在教学中,要注重展开探索过程,充分利用好函数图象的直观性、发挥多媒体教学的优势。本节课采 用问答式教学法、探究式教学法进行教学,教师在课堂中只起着主导作用,让学生在教师的提问中自觉的 发现新知,探究新知,并且加入激励性的语言以提高学生的积极性,提高学生参与知识形成的全过程。 2.学习方法 自我探索、自我思考总结、归纳,自我感悟,合作交流,成为本节课学生学习的主要方式。 四、过程分析 本节课的教学过程包括:问题情景,函数单调性的定义引入,增函数、减函数的定义,例题分析与巩 固练习,回顾总结和课外作业六个板块。这里分别就其过程和设计意图作一一分析。 (一)问题情景: 为了激发学生的学习兴趣,本节课借助多媒体设计了多个生活背景问题,并就图表和图象所提供的信 息,提出一系列问题和学生交流,激发学生的学习兴趣和求知欲望,为学习函数的单调性做好铺垫。(祥 见课件) 新课程理念认为:情境应贯穿课堂教学的始终。本节课所创设的生活情境,让学生亲近数学,感受到 数学就在他们的周围,强化学生的感性认识,从而达到学生对数学的理解。让学生在课堂的一开始就感受 到数学就在我们身边,让学生学会用数学的眼光去关注生活。 (二)函数单调性的定义引入
2 y 1. 几何画板动画演示 , 请学生认真观察, 并回答问题: 通过学生已学过的函数 y=2x+4, y ? x , ?

1 x

的图象的动态形式形象出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性有感性认识。,进行比较,分析其变 化趋势。并探讨、回答以下问题: 问题 1、观察下列函数图象,从左向右看图象的变化趋势? 问题 2:你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗? 通过学生的交流、探讨、总结,得到单调性的“通俗定义”: 从在某一区间内当 x 的值增大时, 函数值 y 也增大, 到图象在该区间内呈上升趋势再到如何用 x 与 f(x) 来描述上升的图象? 通过问题逐步向抽象的定义靠拢,将图形语言转化为数学符号语言。几何画板的灵活使用,数形有机结 合,引导学生从图形语言到数学符号语言的翻译变得轻松。 设计意图:①通过学生熟悉的知识引入新课题,有利于激发学生的学习兴趣和学习热情,同时也可 以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识,增强学生自主学习、独立思考,由学会向会学的转
2 化,形成良好的思维品质。②通过学生已学过的一次 y=2x+4, y ? x , y ?

1 x

的图象的动态形式形象地

反映出 x、y 间的变化关系,使学生对函数单调性有感性认识。 ③从学生的原有认知结构入手,探讨单调 性的概念,符合“最近发展区的理论”要求。④从图形、直观认识入手,研究单调性的概念,其本身就是 研究、学习数学的一种方法,符合新课程的理念。 (三)增函数、减函数的定义

在前面的基础上,让学生讨论归纳:如何使用数学语言来准确描述函数的单调性?在学生回答的基础 上,给出增函数的概念,同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点。 定义中的“当 x1 ? x2 时,都有 f(x1)< f(x2)”描述了 y 随 x 的增大而增大;它刻画了函数的单调递增的 性质,数学语言多么精练简洁,这就是数学的魅力所在! 注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 让学生自已尝试写出减函数概念,由两名学生板演。提出单调区间的概念。 设计意图:通过给出函数单调性的严格定义,目的是为了让学生更准确地把握概念,理解函数的单调 性其实也叫做函数的增减性,它是对某个区间而言的,它是一个局部概念,同时明确判定函数在某个区间 上的单调性的一般步骤。这样处理,同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法,提高其个性品质。 (四)例题分析 在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。 2.例 2.证明函数 f ( x ) ? ? 3 x ? 1 在区间(-∞,+∞)上是减函数。 在本题的解决过程中,要求学生对照定义进行分析,明确本题要解决什么?定义要求是什么?怎样去 思考?通过自己的解决,总结证明单调性问题的一般方法。 变式一:函数 f(x)=-3x+b 在 R 上是减函数吗?为什么? 变式二:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 变式三:函数 f(x)=kx+b (k<0)在 R 上是减函数吗?你能用几种方法来判断。 错误:实质上并没有证明,而是使用了所要证明的结论 例题设计意图:在理解概念的基础上,让学生总结判别函数单调性的方法:图象法和定义法。例 1 是 教材中例题,它的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识,进一步加深对概念的理解,同时也 是依托具体问题,对单调区间这一概念的再认识;要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行 观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。例 2 是教材练习题改 编,通过师生共同总结,得出使用定义证明的一般步骤:任取—作差(变形)—定号—下结论,通过例 2 的解决是学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法,强化证题的规范性训练,从而提高学生的推理 论证能力。例 3 是教材例 2 抽象出的数学问题。目的是进一步强化解题的规范性,提高逻辑推理能力,同 时让学生学会一些常见的变形方法。 (五)巩固与探究 1.教材 p36 练习 2,3

2.探究:二次函数的单调性有什么规律? (几何画板演示,学生探究)本问题作为机动题。时间不允许时,就为课后思考题。 设计意图:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种 猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 通过课堂练习加深学生对概念的理解,进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤,达到巩固, 消化新知的目的。同时强化解题步骤,形成并提高解题能力。对练习的思考,让学生学会反思、学会总结。

(六)回顾总结 通过师生互动,回顾本节课的概念、方法。本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单 调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断 和证明。 设计意图:通过小结突出本节课的重点,并让学生对所学知识的结构有一个清晰的认识,学会一些解 决问题的思想与方法,体会数学的和谐美。 (七)课外作业 1.教材 p43 习题 1.3 A 组 2.判断并证明函数 f ( x ) ? 1(单调区间),2(证明单调性);
x 在 (0, ? ? ) 上的单调性。

3.数学日记:谈谈你本节课中的收获或者困惑,整理你认为本节课中的最重要的知识和方法。 设计意图:通过作业 1、2 进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念,强化基本技能训练和解题规 范化的训练,并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价。新课标要求:不同的学生学习不同的数 学,在数学上获得不同的发展。作业 3 这种新型的作业形式是其很好的体现。 (七)板书设计(见 ppt) 五、评价分析 有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上,,因此在教学设计过程中注意了:第一.教要按 照学的法子来教;第二在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”;第三.强化了重探究、重交 流、重过程的课改理念。让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结” 的活动过程,体验了参与数学知识的发生、发展过程 ,培养“用数学”的意识和能力,成为积极主动的 建构者 。 本节课围绕教学重点,针对教学目标,以多媒体技术为依托,展现知识的发生和形成过程,使学生始 终处于问题探索研究状态之中,激情引趣,并注重数学科学研究方法的学习,是顺应新课改要求的,是研 究性教学的一次有益尝试。

1.3.2《函数的奇偶性》 一、教材分析 1.教材所处的地位和作用 “奇偶性”是人教 A 版第一章“集合与函数概念”的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节。

奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的





手,从特殊到一般,从具体到抽象,注重信息技术的应用,比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构 看,它既是函数概念的拓展和深化,又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此, 本节课起着承上启下的重要作用。 2.学情分析 从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单 函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来 思考和解决问题. 3.教学目标 基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标: 【知识与技能】 1.能判断一些简单函数的奇偶性。 2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。 【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。 从课堂反应看,基本上达到了预期效果。 4、教学重点和难点 重点:函数奇偶性的概念和几何意义。 几年的教学实践证明,虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌握不全面的学 生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验
f ( ? x ) ? ? f ( x )或 f ( ? x ) ? f ( x )

成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。因此,在介绍奇、偶函数

的定义时,一定要揭示定义的隐含条件,从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此,我把“函数的奇偶 性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解,还特意安排了一道例题,来加强本 节课重点问题的讲解。 难点:奇偶性概念的数学化提炼过程。 由于,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一 定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

二、教法与学法分析 1、教法 根据本节教材内容和编排特点,为了更有效地突出重点,突破难点,按照学生的认知规律,遵循教师 为主导,学生为主体,训练为主线的指导思想,采用以引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。教学 中,精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题,创设问题情景,诱导学生思考,使学生始终处于主 动探索问题的积极状态,从而培养思维能力。从课堂反应看,基本上达到了预期效果。 2、学法 让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中,自主参与知识的发生、发展、形成的过程,从 而使学生掌握知识。 三、教学过程 具体的教学过程是师生互动交流的过程,共分六个环节:设疑导入、观图激趣;指导观察、形成概念; 学生探索、领会定义;知识应用,巩固提高;总结反馈;分层作业,学以致用。下面我对这六个环节进行 说明。 (一)设疑导入、观图激趣 由于本节内容相对独立,专题性较强,所以我采用了“开门见山”导入方式,直接点明要学的内容, 使学生的思维迅速定向,达到开始就明确目标突出重点的效果。 用多媒体展示一组图片,使学生感受到生活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图象。通过让学 生观察图片导入新课,既激发了学生浓厚的学习兴趣,又为学习新知识作好铺垫。 (二)指导观察、形成概念 在这一环节中共设计了 2 个探究活动。
2 探究 1 、2 数学中对称的形式也很多,这节课我们就以函数 f ( x ) ? x 和 f ( x ) =︱x︱以及 f ( x ) ? x

和 f (x) ?

1 x

为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的,由于有图片的铺垫,绝大多

数学生很快就说出函数图象关于 Y 轴(原点)对称。接着学生填表,从数值角度研究图象的这种特征,体 现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示(令 比较 得出等式 , 再令 ,得到 )

让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性, f ( ? x ) ? f ( x ) ( f ( ? x ) ? ? f ( x ) )然后通过 解析式给出严格证明,进一步说明这个特性对定义域内任意一个 都成立。 最后给出偶函数(奇函数)定 义(板书)。 在这个过程中,学生把对图形规律的感性认识,转化成数量的规律性,从而上升到了理性认识,切实经历 了一次从特殊归纳出一般的过程体验。 (三) 学生探索、领会定义 探究 3 下列函数图象具有奇偶性吗?
y ? x , y ? [ ? 4, x 3]
3

y

y ? x , x ? [ ? 3, ] 2
2

?4
O

3

x
?3
O

2

x

设计意图:深化对奇偶性概念的理解。强调:函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。 (突破了本节课的难点)

(四)知识应用,巩固提高 在这一环节我设计了 4 道题 例 1 判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x ) ? x

4

   1 x

(2) f ( x) ? x    
5

  f (x) ? x ? (3)

(4) f ( x) ?

1 x
2

 

选例 1 的第(1)及(3)小题板书来示范解题步骤,其他小题让学生在下面完成。 例 1 设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤: (1) 先求定义域,看是否关于原点对称; (2) 再判断 f(-x)=-f(x) 还是 f(-x)=f(x)。 例 2 判断下列函数的奇偶性:

f (x) ? x ? x
2

例 3 判断下列函数的奇偶性:
f (x) ? 0

例 2、3 设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型? 例 4(1)判断函数 f ( x ) ? x ? x 的奇偶性。
3

(2)如图给出函数图象的一部分,你能根据函数的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗? 例 4 设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。 在这个过程中,我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决,学生对函数的奇偶性认 识、理解和应用都能提升很大一个高度,达到当堂消化吸收的效果。 (五)总结反馈 在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式,“问题”贯穿于探究过程的始终,切实体现 了启发式、问题式教学法的特色。 在本节课的最后对知识点进行了简单回顾,并引导学生总结出本节课应积累的解题经验。知识在于积 累,而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、增强错误的预见能力是提高数 学综合能力的很重要的策略。 (六)分层作业,学以致用 必做题:课本第 36 页练习第 1-2 题。 选做题:课本第 39 页习题 1.3A 组第 6 题。 思考题:课本第 39 页习题 1.3B 组第 3 题。 设计意图:面向全体学生,注重个人差异,加强作业的针对性,对学生进行分层作业,既使学生掌握 基础知识,又使学有余力的学生有所提高,进一步达到不同的人在数学上得到不同的发展。

《指数函数及其性质》 一、指数函数及其性质教学设计说明 新课标指出: 学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为主线,在原有 知识的基础上,建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质: 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象突破,体会数形结合的思 想。通过分类讨论,通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律,从而 归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出指数函数的一般性质,从 而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用: 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修 1》第二章 2.1 .2 节的内容,研究指数函数的定义, 图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念,将指数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基 本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化,又是今后学习对数函数与幂函数 的基础。因此,在教材 中占有极其重要的地位,起着承上启下的作用。

此外,《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系,尤其体现在细胞分裂、 贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面,因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析: 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况,确定在理解指数函 数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是指数函数图像 和性质的发现过程。 为此,特制定以下的教学目标: 1)知识目标(直接性目标):理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单应用、能根 据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标):通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形结合和分类 讨论思想,增强学生识图用图的能力 。 3)情感目标(可持续性目标): 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系,用联系 的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。引 导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析: 学生知识储备: 通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习,学生对函数和图象的关系已经构建了一定的 认知结构。 学情分析: 由于我所教学生数学的理解能力、 运算能力、 思维能力等方面有一部分是较好的, 但整体是水平参差不齐。 高一这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,能够勇于表现自我,展现自我,愿意合作交流。但在思维习 惯上与方法上还有待教师引导。 可能存在的问题与策略: 问题 1. 学生能够从具体的问题中抽象出数学的模型但对于指数函数的定义中底数的取值范围和指数函数形式的 判断有困难。 教学策略: 类比着二次函数,对于底数的范围的取值,引导学生回顾指数幂中当指数为全体实数时,底数怎样取值才 能一直有意义,以问题的形式引发学生思考底数能否取负数、正数、0、1?从而得到底数的范围。 学生对: 1)y=-3x 2)y=31/x 3) y=31+x 4) y=(-3)x 5) y=3-x=(1/3) x 几种形式的函数的判断,加强对指数函数形解析式的理解和辨别: 问题 2. 学生初中阶段就接触过函数,但对于学生而言,指数函数是完全陌生的函数。学生列表时,数值的选取上 可能会少取或是数值的选取不能照顾到全体实数,画图时,又容易受以前学过的函数图像的影响,把指数 函数的图像画成已经学过的图像的形象。 教学策略:在列表格时自变量的取值以及如何画出指数函数的图像的问题上,采用启发式教学法,类 比学过的函数图形的画法,引导学生画图,画完图后,又利用实物投影仪展示一位同学的图像,由全班同 学进行提出意见纠错来补充画图的不足。 另外为了让学生增强识图、用图的能力可以让学生根据观察到的指数函数的图像,来画出底数不同取值范 围内的的草图,以便于探究性质。 问题 3. 函数定义给出后,底数 a 如何分类讨论的情况学生难以做到,如果处理不好,这对于指数函数质探究时的 分类讨论有很重要的意义。 教学策略:在定义中对于底数的取值范围的讨论后,得出了底数 a>0 且 a≠1。此时,在数轴上把 a 的范围

表示出来,这样学生很容易从数轴上的区间图看出底数分为两类情况进行讨论。这样为指数函数质探究时 的分类讨论埋下了伏笔。 问题 4 . 通过两个具体的特殊的指数函数图像,来探究得出指数函数的性质。如何使学生能经历从特殊到一般的过 程,这种由特殊到一般再到特殊的思想的领会,如何完成? 教学策略:教师利用几何画板分别画出了底数大于 1 的和底数在 0 到 1 之间的若干个不同的指数函数的 图像,展现不同的底数的变化时图像的不同情况,从而让学生经历由特殊到一般的过程。 问题 5. 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数,学生可能找不到研究问题的 方法和方向. 教学策略:在这部分的安排上,我更注意学生思维习惯的养成,即应从哪些方面,哪些角度去探索一个具 体函数。 问题 6. 学生得到的性质特点可能是杂乱的,如何梳理突出主要的性质? 教学策略:在学生识图、用图、合作探究的过程后,利用两个表格的填写,让学生感受由图象特征来得到 函数的性质的过程。表格主要呈现五个方面的性质与特点。 五、教法分析: 为充分贯彻新课程理念,使教学过程真正成为学生学习过程,让学生体验数学发现和创造的历程,本节课 拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载体,启发学生观察思考,分 析讨论为主,教师适当引导点拨,以动手操作、合作交流,自主探究的方式来让学生始终处在教学活动的 中心。 六、预期效果分析: 1、教学环节环环相扣,层层深入,并充分体现教师与学生的交流互动,在教师的整体调控下,学生通过 动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的生成和发展过程,使学生对知识的理解逐步深入。 2、简单实例的引入,顺利完成了知识的迁移,从得出指数函数的模型,符合学生认知规律的最近发展区。 3、 而作业中完成指数函数性质的探究报告,弥补课堂时间有限探究和展示的局限性,带领学生进 入对指数函数更进一步的思考和研究之中,从而达到知识在课堂以外的延伸。 4、在整个教学过程中,由于学生是自觉主动地发现结果,对所学知识应该能够较快接受。因此, 我认为可以达到预定的教学目标。

2.8 对数函数(第二课时) 6、 教材的本质、地位与作用 对数函数(第二课时)是 2006 人教版高一数学(上册)第二章第八节第二课时的内容,本小节涉及 对数函数相关知识,分三个课时,这里是第二课时复习巩固对数函数图像及性质,并用此解决三类对数比 大小问题,是对已学内容(指数函数、指数比大小、对数函数)的延续和发展,同时也体现了数学的实用 性,为后续学习起到奠定知识基础、渗透方法的作用,因此本节内容起到了一种承上启下的作用. 7、 教学目标 根据教学大纲的要求以及本节课的地位与作用,结合高一学生的认知特点确定教学目标如下: 学习目标: 1、复习巩固对数函数的图像及性质 2、运用对数函数的性质比较两个数的大小 能力目标: 1、 培养学生运用图形解决问题的意识即数形结合能力 2、学生运用已学知识,已有经验解决新问题的能力 3、 探索出方法,有条理阐述自己观点的能力 德育目标: 培养学生勤于思考、独立思考、合作交流等良好的个性品质 8、 教材的重点及难点 对数比大小发挥的是承上启下的作用,对前一是复习巩固对数函数的图像和性质,二是对指数中比 大小问题的数学思想及方法的再次体现和应用,对后为解对数方程及对数不等式奠定基础。所以确定本节

课重点:运用对数函数图像性质比较两数的大小 教学中将在以下 2 个环节中突出教学重点: ...... 9. 利用学生预习后的心得交流,资源共享,互补不足 10. 通过适当的练习,加强对解题方法的掌握及原理的理解

另一方面,学生在预习后上课的情况下,对于课本上知识有了一定的认识,但本节课教师要补充第 三类比大小问题———同真异底型,对于学生以小组为单位自主探究有一定的挑战性。 所以确定本节课 难点:同真异底的对数比大小 ...... 教学中会在以下 3 个方面突破教学难点: 4. 教师调整角色,让学生成为学习的主人,教师在其中起引 导作用即可。

5. 小组合作探索新问题时,注重生生合作、师生互动,适时用语言鼓励学生,增强学生参与讨论的 自信。 6. 本节课采用多媒体辅助教学,节省时间,加快课程进度,增强了直观形象性。 9、 学生学情分析 长处:高一学生经过几年的数学学习,已具备一定的数学素养,对于已学知识或用过的数学思想、 方法有一定的应用能力及应用意识,对于本节课而言,从知识上说,对数函数的图像和性质刚 .. 刚学过,本节课是知识的应用,从数学能力上说,指数比大小问题的解题思想和方法在这可借 .... 鉴,另外数形结合能力、小结概括能力、特殊到一般归纳能力已具备一点。 学生可能遇到的困难:本节课从教学内容上来看,第三类对数比大小是课本以外补充的内容,没有 .... 预习心得,让学生在课堂中快速通过合作探究来完成解题思路的构建,有一定的挑战性,从学 . 生能力上来看,探索出方法,有条理阐述自己观点的能力还需加强锻炼,知识之间的联系认识 ... 上还显不足。 10、 教法特点 新课程强调教师要调整自己的角色,改变传统的教育方式,在教育方式上,以学生为中心,让学生 成为学习的主人,教师在其中起引导作用即可。基于此,本节课遵循此原则重点采用问题探究和启发引导 式的教学方法。从预习交流心得出发,到探索新问题,再到题后的回顾总结,一切以学生为中心,处处体 现学生的主体地位,让学生多说、多分析、多思考、多总结,引导学生运用自己的语言阐述观点,加强理 解,在生生合作,师生互动中解决问题,为提高学生分析问题、解决问题能力打下基础。本节课采用多媒 体辅助教学,节省时间,加快课程进度,增强了直观形象性。 11、 教学过程分析 3. 课件展示本节课学习目标

设计意图:明确任务,激发兴趣

4.

温故知新(已填表形式复习对数函数的图像和性质)

设计意图:复习已学知识和方法,为学生形成知识间的联系和框架建立平台,并为下一步的应用打 下基础。 5. 预习后心得交流 1) 同底对数比大小 2) 既不同底数,也不同真数的对数比大小 以课本例题为例,交流解题思路,题后总结此类型比大小问题的一般方法,而后通过练习加强理解 巩固 设计意图:通过学生的预习,自己总结方法及此方法适用的题型,有条理的阐述自己的学习心得,老 师只需起引导作用,引导学生从题目表面上升到题目的实质,从而找到解决问题的有效方法。 6. 合作探究——同真异底型的对数比大小

以例 3 为例,学生分组合作探究解题方法,预计两种:一是利用换底公式将此类型转化为同底异真 型,利用之前总结的方法解决此问题。二是利用具体对数的大小关系探究出不同底对数函数在同一直角坐 标系中的图像,以此来解决此类型比大小问题。 设计意图:这一部分是本节课的难点,探究中充分发挥学生的主动性,培养主动学习的意识,同时也 锻炼学生各方面能力的很好机会,为以后的探究学习积累经验和方法

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