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【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第05章数列5.2等差数列及其前n项和Word版含解析


第 2 课时

等差数列及其前 n 项和

1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应 的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

[对应学生用书 P83]

【梳理自测】 一、等差数列的概

念 1.在等差数列{an}中,已知 a1=1,a2+a3=14,则 a4+a5+a6 等于( )

A.40 C.43 D.45

B.51

2.在等差数列{an}中,a1+a2=4,a7+a8=28,则数列的通项公式 an 为(

)

A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+2
3.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=( )

A.18 B.20 C.22 D.24
4.若等差数列{an}的前三项依次为 a,2a+1,4a+2,则它的第五项为________. 答案:1.B 2.C 3.B 4.4

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列

就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示,定义的表达式为 an
+1

-an=d. (2)等差中项 a+b 如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项且 A= . 2 (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么通项公式为 an=a1+(n-1)d,n∈N . (4)前 n 项和公式:Sn=na1+ 二、等差数列的性质 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7 等于( )
*

n(n-1)d (a1+an)n
2 = 2



A.14 B.21 C.28 D.35
2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 答案:1.C 2.60

◆以上题目主要考查了以下内容: (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N ). (3)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. 【指点迷津】 1.一个常数 an-an-1=d(n≥2 且 n∈N )恒成立,d 为常数即公差. 2.一个中项 a+b 任何两个数 a 与 b 有且只有一个等差中项 A= . 2 3.二个函数 an=dn+(a1-d)(d≠0)是关于 n 的一次函数. d 2 d * Sn= n +(a1- )n(d≠0)是关于 n 的二次函数.(n∈N ). 2 2 4.两种设法 ①定义法:a,a+d,a+2d,…; ②对称法:…,a-d,a,a+d,…或…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…. 5.4 种方法——等差数列的判断方法 ①定义法;②等差中项法;③通项公式法;④前 n 项和公式法.
* * *

[对应学生用书 P83]

考向一

等差数列基本量的计算

(1)(2014·郑州市高三质检)等差数列{an}的前 7 项和等于前 2 项和, 若 a1=1, ak+a4=0,则 k=________. (2)(2014·石家庄市高三质检)已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn =100,则 n 的值为( )

A.8 C.10 D.11
【审题视点】

B.9

在等差数列{an}的 an,Sn,a1,d,n 的五个量中,知其三,求其二. 7×6 d=2+d,解得 d=- 2

【典例精讲】 (1)设数列{an}的公差为 d,依题意得 7×1+ 1 1 ,则 ak+a4=2+(k+2)×(- )=0,由此解得 k=6. 4 4

n(a2+an-1) (2)由 Sn-Sn-3=51 得,an-2+an-1+an=51,所以 an-1=17,又 a2=3,Sn= 2 =100,解得 n=10,选择 C. 【答案】 (1)6 (2)C ①此类问题的通法是把条件转化为 a1 与 d 的方程(组),进而可求其它

【类题通法】 问题.

②结合性质求解,可简化计算.

1.(2014·荆州市高三调研)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,且 S10=60,则 S20=( )

A.80 B.160 C.320 D.640
2a4 2 2 解析:选 C.设数列{an}的公差为 d,d≠0,则 a4=a3a7=(a4-d)(a4+3d),d= = (a1 3 3 2 10(a1+a10) 2 +3d),∴d=- a1,∵S10= =5(2a1+9d)=10a1+45(- a1)=-20a1=60,∴ 3 2 3

a1=-3,d=2,∴S20=320. 考向二 等差数列的判定或证明

2 (2014·江南十校联考)若数列{an}满足:a1= ,a2=2,3(an+1-2an+an-1)= 3 2. (1)证明:数列{an+1-an}是等差数列; 1 1 1 1 5 (2)求使 + + +…+ > 成立的最小的正整数 n. a1 a2 a3 an 2 【审题视点】 【典例精讲】 由题设条件构造(an+1-an)-(an-an-1)的值,并累加求和. (1)证明:由 3 (an+1-2an+an-1)=2 可得

2 2 an+1-2an+an-1= ,即(an+1-an)-(an-an-1)= , 3 3 4 2 ∴数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的等差数列. 3 3 4 2 2 (2)由(1)知 an+1-an= + (n-1)= (n+1), 3 3 3 2 1 于是累加求和得:an=a1+ (2+3+…+n)= n(n+1), 3 3 1 1 1 ∴ + +…+ = a1 a2 an 1 ?? ??1 1? ?1 1? ?1 3?? - ?+? - ?+…+? - ?? ??1 2? ?2 3? ?n n+1?? 1 ? 5 ? =3·?1- > n + 1? ? ? 2 ∴n>5 n 的最小值为 6. 【类题通法】 等差数列的判断方法

(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an-an-1 为同一常数; (2)等差中项法:验证 2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N )都成立; (3)通项公式法:验证 an=pn+q; (4)前 n 项和公式法:验证 Sn=An +Bn. 注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
2 *

Sn * 2.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,bn= (n∈N ).求证:数列{bn}是等差数列. n 证明:设等差数列{an}的公差为 d,

1 则 Sn=na1+ n(n-1)d, 2

Sn 1 ∴bn= =a1+ (n-1)d. n 2
1 1 d 法一:bn+1-bn=a1+ nd-a1- (n-1)d= (常数), 2 2 2 ∴数列{bn}是等差数列. 1 1 法二:bn+1=a1+ nd,bn+2=a1+ (n+1)d, 2 2 1 1 ∴bn+2+bn=a1+ (n+1)d+a1+ (n-1)d 2 2 =2a1+nd=2bn+1. ∴数列{bn}是等差数列. 考向三 等差数列的性质及应用
3

(1)(2014·辽宁省五校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知(a4-1) +2 013(a4-1)=1,(a2 010-1) +2 013(a2 010-1)=-1,则下列结论中正确的是( A.S2 013=2 013,a2 010<a4 B.S2 013=2 013,a2 010>a4 C.S2 013=2 012,a2 010≤a4 D.S2 013=2 012,a2 010≥a4
3

)

(2)(2014·武汉市高三联考)已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6= 99,{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 达到最大的 n 是( A.18 C.20 D.21 (1)S2 013= 2 013×(a1+a2 013) 2 B.19 )

【审题视点】 =

2 013×(a4+a2 010) . 2

(2)求 Sn 为 n 的二次函数,求最值. 【典例精讲】 (1)设 f(x)=x +2 013x,显然 f(x)为奇函数和增函数,由已知得 f(a4 -1)=-f(a2 010-1),所以 f(a4-1)=f(-a2 010+1),a4-1=-a2 010+1,a4+a2 010=2,S2 013 2 013(a1+a2 013) = =2 013,显然 1>-1,即 f(a4-1)>f(a2 010-1),又 f(x)为增函数, 2 故 a4-1>a2 010-1,即 a4>a2 010. (2)a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,则{an}的公差 d=33-35=-2,
3

a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当 Sn 取得最大值时,n=20.

【答案】

(1)A

(2)C (1)本题的解题关键是将性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 与前 n 项和 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.

【类题通法】 公式 Sn= 2

n(a1+an)

(2)等差数列的最值的处理方法: ①利用 Sn=an +bn 转化为二次函数最值时要注意 n 的取值. ②若{an}是等差数列,求其前 n 项和的最值时, (ⅰ)若 a1>0,d<0,且满足?
? ?an≥0, ?an+1<0, ? ?an≤0 ? ? ?an+1>0
2

前 n 项和 Sn 最大.

(ⅱ)若 a1<0,d>0,且满足?

,前 n 项和 Sn 最小.

3.(2014·深圳市高三调研)等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项 和 Sn 的最大值为( )

A.S7 B.S6 C.S5 D.S4
?a4+a7=a5+a6<0 ?a5>0 ? ? 解析:选 C.∵? ,∴? , ? ? ?a5>0 ?a6<0

∴Sn 的最大值为 S5.

[对应学生用书 P85]

有关等差数列的规范答题 (2013·高考浙江卷)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2 +2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【审题视点】 (1)用 a1,d 把 a2,a3 表示出来,利用 a1,2a2+2,5a3 成等比数列列方

程即可解出 d, 进而根据等差数列的通项公式写出 an.(2)根据(1)及 d<0 确定数列的通项公 式,确定 an 的符号,以去掉绝对值符号,这需要对 n 的取值范围进行分类讨论. 【思维流程】 由等差数列建立关于 d 的方程,求 d. 当 n≤11 时,an≥0,是原等差数列求和. 当 n≥12 时,是两个等差数列求和 总结 Sn 公式. 【规范解答】
2

(1)由题意得,a1·5a3=(2a2+2) ,由 a1=10,{an}为公差为 d 的等差

2

数列得,d -3d-4=0, 2分 解得 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11(n∈N )或 an=4n+6(n∈N ).4 分 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11, 所以当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn 1 2 21 =- n + n;8 分 2 2 1 2 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n - n+110.12 分 2 2 综上所述, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 21 ? ?-2n + 2 n, n≤11, =? 14 分 1 21 ? ?2n - 2 n+110,n≥12.
2 2 * *

【规范建议】

(1)不能盲目认为|a1|,|a2|,…|an|是等差数列,要分段研究.

(2)当 n≤11 时,是求 Sn,而不是求 S11. (3)讨论 n≤11 和 n≥12 后,要有总结结论.

1. (2013·高考安徽卷)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S8=4a3, a7=-2, 则 a9=(

)

A.-6 C.-2 D.2

B.-4

解析:选 A.借助等差数列前 n 项和公式及通项公式的性质,计算数列的公差,进而得 到 a9 的值.

8(a1+a8) 由等差数列性质及前 n 项和公式,得 S8= = 2 4(a3+a6)=4a3,所以 a6=0. 又 a7=-2,所以公差 d=-2,所以 a9=a7+2d=-6. 2.(2013·高考全国新课标卷)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0, Sm+1=3,则 m=( )

A.3 B.4 C.5 D.6
解析:选 C.可以先求出首项和公差,再利用等差数列的求和公式和通项公式求解. ∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. m(a1+am) m(a1+2) 又 Sm= = =0, 2 2 ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5. 3.(2013·高考广东卷)在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 解析:可以利用通项公式,把 a3+a8,3a5+a7 都用 a1,d 表示出来,进行整体代换;也 可以利用 an=am+(n-m)d 把 a3+a8,3a5+a7 都用 a3,d 表示出来,进行整体代换. 方法一:a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d =2(2a1+9d)=2×10=20. 方法二:a3+a8=2a3+5d=10,3a5+a7=4a3+10d =2(2a3+5d)=2×10=20. 答案:20 4.(2013·高考全国大纲卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2,且 S1,S2,S4 成等比数列,求{an}的通项公式. 解析:设{an}的公差为 d. 由 S3=a2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得,S2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d) =(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d =-2d ,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d) =(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.
2 2 2 2 2 2 2 2


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