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【名校专题攻略】2012高考专题复习第二部分 6天 数列、极限与数学归纳法


已知S 易忽略n= 的情况 的情况. 已知 n求an时,易忽略 =1的情况.

1 [例 1] 数列 n}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1= Sn, 数列{a 的前 例 , 3 则数列{an}的通项公式 的通项公式____________________. 则数列 的通项公式 .
[答案 答案] 答案 = ) ?1 (n=1) ? an=?1 4 n-2 (n≥2) ≥ ) ?3×(3) ?

项和时, 你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时,需 a1(1-qn) - 要分类讨论.(q=1 时,Sn=na1;q≠1 时,Sn= 要分类讨论. = ≠ ). . 1-q -
[例 2] 例 (2010·天津高考 已知 n}是首项为 1 的等比数列, 天津高考)已知 天津高考 已知{a 是首项为 的等比数列, 1 Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 a }的前 5 项和 则数列{ 的前 的前 项和, n 为 A. 15 5 8或 31 B. 或 5 16 C. 31 16 ( D. 15 8 )

[答案 答案] 答案

C

在等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列, 在等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列, 在等比数列中, 若 在等比数列中, a1>0 且 q>1 或 a1<0 且 0<q<1, , 则数列为递增 数列. 数列. 在等差数列中, 的最大(小 值 其思路是找出某一项, 在等差数列中,求 Sn 的最大 小)值,其思路是找出某一项,使 这项及它前面的项皆取正(负)值或 0,而它后面各项皆取负 正) 这项及它前面的项皆取正 负 值或 ,而它后面各项皆取负(正 值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当 a1>0, 则从第一项起到该项的各项的和为最大 小 . ,
?an≥0 ? d<0,解不等式组? , ? ?an+1≤0

的值; 可得 Sn 达最大值时的 n 的值;当

?an≤0 ? a1<0,d>0,解不等式组? , , ?an+1≥0 ?

的值. 可得 Sn 达最小值时的 n 的值.

[例3] 已知 n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+ 例 已知{a 为等差数列 为等差数列, , a6=99,以Sn表示 n}的前 项和,则使得 n达到最大值的 表示{a 的前 项和,则使得S 的前n项和 , n是 是 A.21 . [答案 B 答案] 答案 B.20 . C.19 . ( D.18 . )

会利用等差(或等比 中项公式判断等差 或等比) 会利用等差 或等比)中项公式判断等差 或等比 或等比 中项公式判断等差(或等比 数列,要注意等比中项的符号. 数列,要注意等比中项的符号. [例4] “b2=ac”是“ a、b、c成等比数列”的( 例 成等比数列” ” 、 、 成等比数列 A.充分非必要条件 . C.充要条件 . [答案 B 答案] 答案 B.必要非充分条件 . D.既非充分也非必要条件 . )

等差数列中的重要性质: 若 + = + , 等差数列中的重要性质:(1)若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq;(2)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列. 成等差数列. 等比数列中的重要性质: 若 + = + , 等比数列中的重要性质:(1)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq; (2)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列. 成等比数列.

[例 5] 例

在等比数列{a 中 在等比数列 n}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5, , , ( 6 B. 5 2 C. 3 ) 3 D. 2

a5 则a 等于 7 5 A. 6

[答案 D 答案] 答案

等差数列的一个性质: 是数列{a 的前 项和, 的前n项和 等差数列的一个性质:设Sn是数列 n}的前 项和, {an}为等差数列的充要条件是 n=an2+bn(a,b为常数 其公 为等差数列的充要条件是S 为常数)其公 为等差数列的充要条件是 , 为常数 差是2a. 差是 [例6] 若数列 n}的前 项和 n=n2-10n(n=1,2,3,…), 例 若数列{a 的前 项和S 的前n项和 = , , 则数列{na 中数值最小的项是第 中数值最小的项是第________项. 则数列 n}中数值最小的项是第 项 [答案 3 答案] 答案

其中{a 是等差数列 {b 是等比数列 是等差数列, 是等比数列, 若 cn=anbn 其中 n}是等差数列, n}是等比数列, 求 {cn} 的 前 n 项 的 和 , 利 用 错 位 相 减 法 ; 常 见 裂 项 有 1 1 1 1 1 1 (1) = - ; (2) = ( - n(n+1) n n+1 ( + ) + (2n-1)( +1) 2 2n-1 - )(2n+ ) - )( 1 ). . 2n+1 +

[例7] (2010·新课标全国卷 设数列 n}满足 1=2,an+1-an 例 新课标全国卷)设数列 满足a 新课标全国卷 设数列{a 满足 , +
- =3·22n-1.

(1)求数列 n}的通项公式; 求数列{a 的通项公式 的通项公式; 求数列 (2)令bn=nan,求数列 n}的前 项和 n. 令 求数列{b 的前 项和S 的前n项和
[答案 答案] 答案 (1)an=2
2n-1

1 + ;(2)Sn= [(3n-1)·22n 1+2] - · 9

(理)极限的运算法则只对有限项运用,而对无限不 理 极限的运算法则只对有限项运用 极限的运算法则只对有限项运用, 再适用. 再适用.

[例 8] 例

lim [ 1 + 1 +…+ 1 ]=________. = 2 2 2 n→∞ →∞ 2 -1 4 -1 (2n) -1 )

1 [答案 2 答案] 答案

(理)函数的在某一点左右极限不一定相等. 理 函数的在某一点左右极限不一定相等 函数的在某一点左右极限不一定相等.
?x-1, ? - , f(x)=? = ?2-x, ? - ,

[例 9] 例



0<x≤1, ≤ , 1<x≤3. ≤

的极限是否存在? 则在点 x=1 处 f(x)的极限是否存在? = 的极限是否存在

[答案 不存在 答案] 答案

(理)函数 在点 0处连续必须具备以下三个条件: 理 函数 在点x 处连续必须具备以下三个条件: 函数f(x)在点 在点x= 处有定义; ①函数f(x)在点 =x0处有定义; 函数 在点 在点x= 处有极限; ②函数f(x)在点 =x0处有极限; 函数 在点 在点x= 处的极限值等于在这一点x 处的函数值, ③函数f(x)在点 =x0处的极限值等于在这一点 0处的函数值, 函数 在点
lim 即 x → x f(x)=f(x0). = .
0

[例10] 在例 的条件下,f(x)在点 =1处是否连续? 例 在例9的条件下 的条件下, 在点 在点x= 处是否连续 处是否连续? [答案 不连续 答案] 答案

(理)数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的 理 数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的 一种重要方法,其步骤有两个: 证明对于第一个正整数 一种重要方法,其步骤有两个:(1)证明对于第一个正整数 命题成立,(2)假设对正整数 不小于第一个正整数)命题成 命题成立, 假设对正整数k(k不小于第一个正整数 命题成 假设对正整数 不小于第一个正整数 时命题也成立. 立,证明n=k+1时命题也成立.其中第二个是关键步骤, 证明 = + 时命题也成立 其中第二个是关键步骤, 归纳假设是证明n= + 时命题成立的已知条件 时命题成立的已知条件, 归纳假设是证明 =k+1时命题成立的已知条件,所以在使 用数学归纳法时要注意归纳假设的利用. 用数学归纳法时要注意归纳假设的利用.

[例 11] 例

1 1 1 利用数学归纳法证明不等式 1+2+3+…+ n + 2 -1

<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程中,由 n=k 到 n=k+1 时,左 ≥ , ∈ 的过程中 的过程中, = = + 边增加了 A.1 项 . C.2k-1 项 .


( B.k 项 . D.2k 项 .

)

[答案 D 答案] 答案


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