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等比数列1


等比数列
(第1课时)

庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木棒,每日 取其一半,永远也取不完”。

如果将“一尺之棰”视为一份,
则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

看下列数列:
1.1

, 2, 22 , 23 , 24 ,?;

1 1 2 1 3 1 4 3. 10, 10 ? ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) ,10 ? ( ) ,?; 2 2 2 2
4. 10000 ×1.05 , 10000 × 1.052 , 10000 × 1.053 ,?, 10000 × 1.055 ; 5. 3,9,27,81,?;

1 1 1 1 2. 1, , , , , ?; 2 4 8 16

1 1 1 1 6.? , , ? , , ?. 2 4 8 16

它们的共同特点是?

等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的
前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.

这个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q(q≠0)
表示.

an a2 a3 a4 a5 ?q 数学符号表示: ? ? ? ? ? ? a1 a2 a3 a4 a n ?1



an ?q an ?1 an ?1 ?q an

(n ? 2,n ? N )
*

(n ? 1, n ? N )
*

注意:
1.公比是等比数列从第2项起,每一项与它的前一项的
比,不能颠倒. 2.对于一个给定的等比数列,它的公比是同一个常数。 思考: 类比等差数列的通项公式的推导过程,你能推导出 公比是q的等比数列{an } 的通项公式吗?

等差数列通项公式推导:
设公差为 d 的等差数 列{ a n },则有:
a 2 -a 1 = d
a 3 -a 2 = d a 4 -a 3 = d …… + ) a n -a n - 1 = d a n - a 1 = ( n- 1 ) d (n≥2) n-1个

等比数列通项公式推导:
设公比为 q的等比数列{ a n} , 则有: q a
2

叠加法

a1 q a3 ? ___ a2

? ___

叠乘法
n-1个

×)

an ? ___ a n ?1



q

等差数列 { a n } 的首项为 a 1, 公差为 d 的通项公式为 a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N + ________________

an ? q n ?1 (n≥2) a1 首项为 a 1,公比为 q 的等比数 列的通项公式:

a n= a 1 q n-1 (a 1 ≠0 且

q ≠0

n ∈ N +)

等差数列
等差数列通项公式: 首项为 a 1,公差为 d 的通项公式为
+ an = a + ( n - 1 ) d , n ∈ N ________________ 1

等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1,公比为 q 的 的通项公式: a n= a 1 q n- 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)

变形公式:
a n = a m + ( n- m ) d, n ∈N +

变形公式:

an ? am ? q (am ? q ? 0)
但常数列却不一定 是等比数列, 如0,0,0,0,……

n ?m

常数列都是等差数列

等差数列
等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n-1 ) d,n ∈N +

等比数列
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)

等比数列通项公式: a n= a 1 q n- 1

①函数观点; 一次函数形式:
a n = pn + q,n ∈N + d=p a1=p+q ②方程思想. 方程中有四个量,知 三求一,这是公式最 简单的应用.

①函数观点; 指数函数形式:

a n= b c n q=c a1=bc ②方程思想. 方程中有四个量,知 三求一,这是公式最 简单的应用.

等比中项
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后,这 三个数就会成为一个等比数列:
(1)1,±3 ,9 ±6 ,-3 (3)-12, (2)-1,±2 ,-4 (4)1,±1 ,1

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比 数列,那么G叫做a与b的等比中项。 号则有两个等比中项

G ? ? ab

注意:若a,b异号则无等比中项;若a,b同

例1(1)已知 等比数列{an}中,a3 ? a6 ? 36, 1 a4 ? a7 ? 18, an ? ,求 n 2

n?9

(2) 已知 a1 ? 5, 且2an?1 ? ?3an , 求an 3 n ?1 a n ? 5( ? ) 练习: 2 7 14 21 98
1.数列1,3 ,3 ,3 ,??中,3 是这个数列的( (A)第13项 (B)第14项

C

).

(C)第15项

(D)不在此数列中

2.在2与6之间插入n个数,使它们组成等比数列,则这个

数列的公比为(
(A) n

C

).

3

(B)

1
n

(C) n ? 1

3

3

(D) n ? 2

3

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,试判断数列{an}

是否是等比数列?
【审题指导】要判断此数列是否是等比数列,关键是用等 比数列的定义,看其能否满足an与an-1之比为一常数,已知 Sn=2an+1,以此来寻找an与an-1的关系.

【练习】数列{an}的前n项和为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N*),求 数列{an}的通项公式.

1 n a n ? ?3(? ) 4

例3

某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年

剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的半衰期为多长 (精确到1年)?
分析: 时间: 最初 经过1年 经过2年 经过3年 ?? 经过n年 剩留量: 1 a1=0.84 a2=0.842 a3=0.843 ?? an=0.84n

a n ? a1 ? q

n? 1

1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式:

an ? q(q ? 0) ,(n≥2,n ∈N*); a n ?1
2.要会推导等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) ,并掌握其基本应用.


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