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2013届新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第53讲 两直线的位置关系与对称问题


掌握两直线平行与垂直的条件、点到 直线的距离公式、中心对称和轴对称 的概念,能根据直线的方程判断两直 线的位置关系,会求两相交直线的交 点坐标和两平行直线间的距离,能把 握对称的实质,并能应用对称性解题.

1.平面内的两条直线的位置关系 若直线l1:y ? k1 x ? b1或A1 x ? B1 y ? C1 ? 0; 直线l2:y ? k2 x ?

b2或A2 x ? B2 y ? C2 ? 0. 且A2 C1 ? A1C2 ? 0(或B1C2 ? B2C1 ? 0).

?1? l1 //l2 ? ① __________ 且b1 ? b2或② ____ ? 2 ? l1 ? l2 ? ③ __________ 或④ __________. ? 3? l1与l2相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0. ? 4 ? l1与l2重合 ? k1 ? k2且b1 ? b2或A1 B2 ? A2 B1 ? 0

且A1C2 ? A2 C1 ? 0(或B1C2 ? B2C1 ? 0).

2.点与直线的位置关系 设点P( x0,y0 ),直线l:Ax ? By ? C ? 0, 则 ?1?点在直线上:Ax0 ? By0 ? C ? 0.

? 2 ?点在直线外:Ax0 ? By0 ? C ? 0. ? 3?点到直线的距离d ? ⑤ ___________.
特别地,若l1:Ax ? By ? C1 ? 0, l2:Ax ? By ? C2 ? 0, 则l1与l2间的距离d ? ⑥ __________ .

3.中心对称与轴对称

?1?中心对称:求P( x0,y0 )关于点M (a,b)对称
的点P?的基本方法是转化为M 是线段PP?的中 点求,即P? ? 2a ? x0, 2b ? y0 ?. 特例:当a ? 0,b ? 0时,P ( x0,y0 )关于原点的 对称点为P?(? x0, y0 ). ?

? 2 ? 轴对称:求已知点P( x0,y0 )关于已知直线l:
y ? kx ? b的对称点P?( x,y )的基本方法是转化为求方程 ? PP ' ? l ?⑦ 组的解,即由? ?? ' ?线段PP 的中点p0 ? l ?⑧ .

特例:当k ? 0, 1或b ? 0时,分别有以下规律: ? ⅰ P( x,y )关于x轴、y轴对称的点分别为 () P ( x, y ),P2 (? x,y ). ? 1 (ⅱ) P( x,y )关于直线y ? x,y ? ? x对称的点分别 为⑨ __________________. (ⅲ) P( x,y )关于直线y ? x ? b,y ? ? x ? b对称的 点分别为P5 ( y ? b,x ? b),P6 (? y ? b, x ? b). ? (ⅳ) P( x,y )关于直线x ? a,y ? b对称的点分别为 P7 (2a ? x,y ),P8 ? x,2b ? y ?. 注意:当k ? ?1,0时,不具有上述规律.

4.对称变换

?1?曲线C:F ( x,y) ? 0经过上述规律进行变
换f ,得曲线C ',则C '为C关于f 对称的曲线.

? 2 ? 若C '的方程与C的方程相同,则证明曲线
C自身具有对称性.

特例:曲线C:F ( x,y ) ? 0关于x轴、y轴、原点 对称的曲线C ?的方程分别为F ( x, y ) ? 0, ? F (? x,y ) ? 0,F (? x, y ) ? 0;关于直线y ? x, ? y ? ? x,y ? x ? b,y ? ? x ? b对称的曲线C ?的方 程分别是F ( y,x) ? 0,F (? y, x) ? 0, ? F ( y ? b,x ? b) ? 0,F (? y ? b, x ? b) ? 0; ? 关于直线x ? a,y ? b,点M (a,b)对称的曲线C ? 的方程分别为F (2a ? x,y ) ? 0,F ? x, 2b ? y ? ? 0, F ? 2a ? x, 2b ? y ? ? 0.

【要点指南】 ①k1 ? k2;②A1 B2 ? A2 B1 ? 0;③k1k2 ? ?1; | Ax0 ? By 0 ? C | ④A1 A2 ? B1 B2 ? 0;⑤ ; A2 ? B 2 y ? y0 | C1 ? C2 | ⑥ ;⑦ ? k ? ?1; x ? x0 A2 ? B 2 y ? y0 x ? x0 ⑧ ?k? ? b; 2 2 ⑨P3 ( y,x)、P4 (? y, x) ?

1.如果直线 l1:ax+2y+1=0 与直线 l2:x+y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 2 C.-3 1 B.-3 D.-2 )

【解析】方法 1:由 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,求得 a =-2. 方法 2:若两直线垂直且斜率存在,则 k1·2=-1, k a 即(-2)· (-1)=-1,得 a=-2.

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

1 1 【解析】 过点(1,0)且斜率为2的直线方程为 y=2(x-1), 即 x-2y-1=0.

3.不等边△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,且 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列, 则直线 xsin2A+ysinA=a 与直线 xsin2B+ysinC=c 的位 置关系是( A.平行 C.重合 ) B.垂直 D.相交但不垂直

【解析】因为 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列, 所以 sin2B=sinA· sinC. sin2A sin2A sinA a 由正弦定理可知,sin2B=sinA· =sinC=c , sinC 故两直线位置关系是重合,故选 C.

4.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程 是 x+2y-3=0 .

【解析】由已知及对称几何性质可设所求直
?x=1 线的方程为 x+2y+λ=0.又由? , 得 ?x-2y+1=0

点 A(1,1).又点 A 在直线 x+2y+λ=0 上,从而 λ=-3,故对称的直线方程为 x+2y-3=0.

5.方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示的图形恒过定 点 (-2,2) .

?3x+4y-2=0 ?x=-2 【解析】由? ,解得? , ?2x+y+2=0 ?y=2

即方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示的图形 恒过点(-2,2).

一 两条直线的位置关系

【例 1】 已知两条直线 l1: ax-by+4=0 和 l2: (a-1)x +y+b=0,求满足下列条件的 a、b 的值. (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

【解析】 (1)由已知可得 l2 的斜率必存在, 所以 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. 因为 l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 又因为 l1 过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0, 即 b=3a-4=-1≠0(不合题意), 所以此种情况不存在,即 k2≠0.

若 k2≠0,即 k1、k2 都存在. a 因为 k2=1-a,k1=b,l1⊥l2, a 所以 k1·2=-1,即b(1-a)=-1.① k 又因为 l1 过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2.

(2)因为 l2 的斜率存在,l1∥l2, 所以直线 l1 的斜率存在, a 所以 k1=k2,即b=(1-a).③ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等, l1∥l2, 且

4 所以 l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即b=b,④
? 2 ?a=2 ?a= 则联立③④解得? 或? 3 ?b=-2 ?b=2 ?



2 所以 a、b 的值分别为 2 和-2 或3和 2.

【点评】在运用直线的斜截式 y=kx+b 时,要特别 注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式 Ax+By+C=0 时, 要特别注意 A、 为零时的特殊情况. B 另 外求解与两直线平行或垂直有关的问题时, 主要是利用两 直线平行或垂直的充要条件;若出现斜率不存在的情况, 可考虑用数形结合的方法去研究.

素材1

已知两直线 l1: mx+8y+n=0 和 l2: 2x+my-1=0, 试确定 m、n 的值,使: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

【解析】(1)由 m· m-8×2=0,得 m=± 4.
?m=4 ?m=-4 由 8×(-1)-n· m≠0,得? 或? , ?n≠-2 ?n≠2

即 m=4,n≠-2 时,或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2.

(2)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时,l1⊥l2. n 又-8=-1,所以 n=8, 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1.



有关距离问题

【例 2】已知点 P(2,-1). (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程, 最大距离是多少?

【分析】 设出直线方程,利用点到直线的距离 公式求出系数即可.

【解析】 (1)①当 l 的斜率 k 不存在时显然成立,此 时 l 的方程为 x=2. ②当 l 的斜率 k 存在时, 设 l:y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0, |-2k-1| 3 由点到直线的距离公式得, 2 =2,解得 k=4, 1+k 所以 l:3x-4y-10=0. 故所求 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

(2)数形结合可得,过点 P 且与原点 O 距离最大的 直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线. 1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1,所以 kl=-k =2. OP

由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0, 即直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直 |-5| 线,最大距离为 = 5. 5

【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的 距离公式是常用的公式,应熟练掌握.

2.点到几种特殊直线的距离: (1)点 P(x0,y0)到 x 轴的距离 d=|y0|; (2)点 P(x0,y0)到 y 轴的距离 d=|x0|; (3)点 P(x0,y0)到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d=|y0-a|; (4)点 P(x0,y0)到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d=|x0-b|.

素材2

在直线 x+3y=0 上求一点 P,使它到原点的距离与 到直线 x+3y-2=0 的距离相等.

【解析】设点 P 的坐标为(-3t,t), |-3t+3t-2| 则 ?-3t? +t = , 2 2 1 +3
2 2

1 解得 t=± , 5 3 1 3 1 所以点 P 的坐标为(5,-5)或(-5,5).

三 两直线的交点问题
【例 3】求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2: x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程.

【分析】 求 l 的方程: 思路一:求交点,定斜率,用点斜式求解. 思路二:利用直线系方程求解.

?x-2y+4=0 ?x=0 【解析】 方法 1:由方程组? ,解得? , ?x+y-2=0 ?y=2

即 P(0,2). 4 因为 l⊥l3,所以 kl=-3, 4 所以直线 l 的方程为 y-2=-3x,即 4x+3y-6=0.

方法 2:因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, 所以可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. 因为 l 与 l3 垂直, 所以 3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以 λ=11, 所以直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0.

【点评】求与已知两直线的交点有关的问题,可有以 下两种解法: (1)先求出两直线的交点, 将问题转化为过定点的直线, 然后再依其他条件求解.

(2)运用过两直线交点的直线系方程:若两直线 l1: A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 有交点,则过 l1 与 l2 交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y +C2)=0(λ 为待定常数,不包括直线 l2),设出方程后再 利用其他条件求解.

素材3

求经过直线 l1:3x+4y-5=0 和直线 l2:2x-3y+8 =0 的交点 A,且分别满足下列条件的直线方程: (1)过点(1,1); (2)与直线 2x+y+5=0 平行; (3)与直线 2x+y+5=0 垂直.

?3x+4y-5=0 ?x=-1 【解析】由? ,解得? ,即两 ?2x-3y+8=0 ?y=2

直线的交点坐标为 A(-1,2). 2-1 1 (1)直线的斜率为 k= =-2.由点斜式得直线 -1-1 1 方程为 y-1=(-2)(x-1),即 x+2y-3=0.

(2)设所求直线方程为 2x+y+m=0. 将点 A(-1,2)代入,得 m=(-2)×(-1)-2=0,即所 求直线方程为 2x+y=0. (3)设所求直线方程为 x-2y+n=0. 将点 A(-1,2)代入,得 n=2×2-(-1)=5,即所求直 线方程为 x-2y+5=0.



对称问题

【例 4】求直线 l1:2x+y-4=0 关于直线 l:x-y+2=0 对称的直线 l2 的方程.

?2x+y-4=0 【解析】方法 1:解方程组? ,得直线 ?x-y+2=0

2 8 l1 与直线 l 的交点 A(3,3). 在直线 l1 上取一点 B(2,0),设点 B 关于直线 l 对称的 点为 C(x,y),
?x+2 y ? -2+2=0 ? 2 则? ? y ?x-2=-1 ? ?x=-2 ,解得? ,即 C(-2,4). ?y=4

2 8 又直线 l2 过 A(3,3)和 C(-2,4)两点, y-4 x+2 故由两点式得直线 l2 的方程为8 =2 , 3-4 3+2 即 x+2y-6=0.

方法 2:设 M(x0,y0)是直线 l1 上任意一点,它关于直 线 l 的对称点为 N(x,y), x+x0 y+y0 则线段 MN 的中点坐标为( 2 , 2 ),直线 MN 的 y-y0 斜率为 . x-x0
?x+x0 y+y0 ? - 2 +2=0 ? 2 由题意,得? ?y-y0 ?x-x0=-1 ? ?x0=y-2 ,解得? . ?y0=x+2

因为 M(x0,y0)是在直线 l1 上, 所以 2x0+y0-4=0, 即 2(y-2)+(x+2)-4=0. 所以直线 l2 的方程为 x+2y-6=0.

【点评】由平面几何知识知,若直线 l1、l2 关于直线 l 对称, 则有如下性质:①若直线 l1 与直线 l 相交,则交点在直线 l2 上;②若 B 在直线 l1 上,则其关于直线 l 的对称点 C 在 直线 l2 上.本题方法 1 就是利用上述两条性质,找出确定 直线 l2 的两个点(直线 l1 与直线 l 的交点 A 和直线 l1 上的特 殊点 B 关于直线 l 的对称点), 由两点式得到直线 l2 的方程; 方法 2 则是用运动的观点,直接求轨迹方程.把握两点: 线段 MN 的中点在直线 l 上,直线 l 与直线 MN 垂直.

素材4

求直线 l:2x-3y+1=0 关于点 A(-1,-2)对称的 直线 l′的方程.

【解析】因为 l∥l′,所以可设 l′的方程为 2x -3y+C=0(C≠1), 因为点 A(-1, -2)到两直线 l, l′的距离相等, |-2+6+C| |-2+6+1| 所以 2 2 = 2 2 ,得 C=-9, 2 +3 2 +3 所以 l′的方程为 2x-3y-9=0.

备选例题

已知 n 条直线,l1:x-y+C1=0,C1= 2,l2:x-y +C2 =0,l3 :x-y+C3 =0,…,ln :x-y+Cn =0(其中 C1<C2<C3<…<Cn),这 n 条平行直线中,每相邻两条直线 之间的距离顺次为 2、3、4、…、n.

(1)求 Cn; (2)求 x-y+Cn=0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积; (3)求 x-y+Cn-1=0 与 x-y+Cn=0 及 x 轴、y 轴围成 图形的面积.

【解析】(1)原点 O 到 l1 的距离为 1,原点 O 到 l2 的 距离为 1+2,…,原点 O 到 ln 的距离 dn 为 1+2+…+n n?n+1? = 2 , 2n?n+1? 因为 Cn= 2dn,所以 Cn= . 2

(2)设直线 ln:x-y+Cn=0 交 x 轴于 M,交 y 轴于 N, 则△OMN 的面积 n2?n+1?2 1 1 2 S△OMN=2|OM|· |ON|=2Cn= , 4 n2?n+1?2 所以 Sn= (n∈N*). 4

(3)所围成的图形是等腰梯形, n2?n+1?2 ?n-1?2n2 由(2)Sn= 知 Sn-1= , 4 4 n2?n+1?2 ?n-1?2n2 3 所以 Sn-Sn-1= - =n . 4 4 故所求面积为 n3(n≥2,n∈N*).

1.两直线平行与垂直的判定 判断两直线平行或垂直时,不要忘记两条直 线中有一条或两条直线均无斜率的情形.另 外,两直线斜率相等,包括平行或重合两种 情况,应注意区分. 2.两平行线间的距离 A2 ? B 2 时,一定要把x,y项相应系数化成相等的系数. 在运用公式d ? | C1 ? C2 | 求两平行直线间的距离

3.直线系问题 直线系是具有某一共同性质的直线的全体,巧妙 地使用直线系,可以减少运算量,简化运算过程.

?1? 设l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0.若 l1与l2 相交,则方程A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0
表示过l1与l2交点的直线系(不包括l2 ); 若l1 //l2,则上述形式的方程表示与l2 平行的直线系.

? 2 ? 过定点( x0,y0 )的旋转直线系方程为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? (k ? R )(不包括直线x ? x0 ),

斜率为k0的平行直线系方程为y ? k0 x ? b(b ? R ).

4.关于对称问题 关于对称问题,有如下规律:

?1?中心对称(关于某个点对称)
解题方法:中点坐标公式. 特殊地,关于原点对称,是以 ? x代换x, 以 ? y代换y.

? 2 ? 轴对称(关于某直线对称)
?斜率之积等于 ? 1 解题方法: .? ?中点在对称轴上


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