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石家庄市2013~2014学年度第一学期期末高二数学理答案


石家庄市 2013~2014 学年度第一学期期末考试试卷

高二数学(理科答案)
一.选择题: 1-5AABDB 6-10 DBCBA 二.填空题: 13. 11-12BB 15. y ?

1 6

14. 2.6

1 2 x 8

16. 3 ? 1

r />三.解答题: 17.解: (Ⅰ)平均值: 方差为:

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 21 ? 23 ? 25 ? 30 ? 22 , 8

(1 7 ? 22 2) ?
57 4

(1 ?9

2

2? 2)

2 ? (20 ? 2 2 ) ? (2 2 1? 2 2? ) 8

2

(2 ?1

2? 22 )

? ( 22 3) ?22 2 (3 ) 0? (2 22 5 ? )2 2

?

……………………5 分

(Ⅱ)在所取样本中有 3 人加工零件个数超过样本均值 22, 故优秀工人的频率为

3 , 8 3 ? 6 名优秀工人.………………10 分 8

根据样本情况估计总体中有 16 ?

18.方法一:如图建立空间直角坐标系,

a a 3 A(0, ? , 0) , B( a, 0, 0) , C(0, , 0) , 2 2 2 a a 3 A1 (0, ? , z 0 ) , B1 ( a, 0, z0 ) , C1 (0, , z 0 ) , 2 2 2 3 a M( a, , 0) .………………………………2分 4 4 ???? ? 3 3 a, a,0) (Ⅰ) AM ? ( 4 4 ????? 3 1 MC1 ? (? a, a, z 0 ) 4 4 ???? ? ????? 3 3 AM ?MC1 ? ? a ? a ? 0 16 16 ? AM ? MC1 ………………………………4分
则 (Ⅱ)? ?AMC1 为等腰直角三角形 ∴由(Ⅰ)可知 | AM |?| MC1 | 即

???? ?

?????

3 2 9 2 3 2 a2 a ? a ? a ? ? z0 2 16 16 16 16

a2 2 2 z0 ? a ………………………………6分 2 设平面 AMC1 的法向量 n ? ( x, y, z ) z0 2 ?

? 3 3 ???? ? ? ax ? ay ? 0 ? n ? AM ? 0 ? ? 4 ? ? 4 ? ????? ? ?? 3 ax ? 1 ay ? 2 az ? 0 ?n?MC1 ? 0 ? ? 4 4 2 令 n ? ( 3, ?1, 2) ………………………………8分 ???? ? 3 a CM ? ( a, ? , 0) 4 4 3 a ???? ? a? CM ?n 4 ? 6a 所以点 C 到平面 AMC1 的距离 h ? ? 4 |n| 6 3 ?1? 2
所以点 C 到平面 AMC1 的距离为 方法二: (Ⅰ)

6 a .………………………………12分 6

? ? ABC 为正三角形, CC1 ? 平面 ABC ,点 M
∴ AM ? BC , AM ? CC1 ∴ AM ? 平面 BCC1B1 ∴ AM ? MC1 ………………………………4分 (Ⅱ)过 C 作 CH ? C1M ,交 C1M 于 H

是 BC 的中点

? AM ? 平面 BCC1B1 ∴ AM ? CH ∴ CH ? 平面 AMC1
所以 CH 的长度即为所求.…………………………8分

AM ? C1M ?

1 3 a , CM ? a 且 CC1 ? BC 2 2

3 2 1 2 2 a ? a ? a ………………………………10分 4 4 2 1 2 a? a CM ? CC1 2 6 2 ? ? a ∴ CH ? C1M 6 3 a 2 6 a . ………………………………12分 ∴点 C 到平面 AMC1 的距离为 6
∴ CC1 ?

19. 解: Rt ? PQR 的面积为 2,………………………………2 分 分别以 P , Q , R 为圆心,1 为半径的三个扇形的面积分别为

? 2 ?? ,………………………………8 分 12 ? , 4 ?? 12 ? , 4 ?? 12 ? 2? 4 2? 8 2? 8 ? ? ? ? 三个扇形的面积和为 ? ? ? ………………………………10 分 4 8 8 2
?
设 第 四 个 弹 孔 与 前 三 个 弹 孔 的 距 离 都 超 过 1 的 事 件 为 A ,

?

?

?

?

P ? A?=

2?

2 ? 1 ? ? .………………………………12 分 2 4

?

20.解: (Ⅰ)设圆心 C (a,b) ,半径为 r ,

3 1 ?2 ? 3 ? ?1 , PQ 中点坐标为 ( , ) , 2 2 4 ? (?1) 1 3 线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y ? ? x ? , 2 2 即 y ? x ? 1 ,所以 b ? a ? 1 .①………………………………2 分
由题意可知 k PQ ? 又因为在 y 轴上截得的线段长为 4 3 , 知 (a+ 1)2+(b-3)2= 12+a2 .②

1 , b=0 或 a=5 , b=4 .………………………………4 分 由①②得: a=

1 , b=0 时, r = 13 当 a=
当 a=5 , b=4 时, r =37 ,不合题意,舍去. 故圆 C 的方程为 ( x- 1) +y = 13 . ………………………………6 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=-x+m ,
2 2
2

2

A( x1,m-x1 ) , B( x2,m-x2 ) , ??? ? ??? ? OB ? 0 , 由题意可知 OA ? OB ,即 OA? ∴ x1 x2 ? (m? x1 )(m? x 2 ) ? 0 .
整理得 m2-m( x1+x2 )+2x1x2= 0 ………………………………8 分 将 y=-x+m 代入 ( x- 1) +y = 13 可得 2x -2(m+ 1) x+m - 12=0 .
2 2 2 2

m2 ? 12 ∴ x1+x2=+ ,………………………………10 分 1 m , x1 x2 ? 2 2 即 m -m· (1 +m)+m2- 12=0 , ∴ m=4 或 m=-3 , ∴ y=-x+4 或 y=-x-3 . ………………………………12 分
21.解:如图建立空间直角坐标系,则 A(2, 0, 0) , B(0, 0, 0) , C (1, 3,0) , D(0,0, z1 ) ,

E(2,0, z2 )
(Ⅰ)平面 ABDE 的法向量 n ? (0,1,0)

??? ? CD ? (?1, ? 3,z1 ) ………………………………2 分
CD 与平面 ABDE 所成角的正弦值为

??? ? ??? ? CD?n cos ? CD, n ? ? ??? ? ? CD ?n

? 3 4 ? z12

?

3 4 ? z12

?

6 4

解得 z1 ? 2 ………………………………4 分

1 3 ,1) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 3 EF ? (? , ,1 ? z 2 ) , BC ? (1, 3,0) , BD ? (0,0, 2) 2 2 ? EF ? 平面 BCD ??? ? ??? ? ∴ EF ?BD ? 0 即 2(1 ? z2 ) ? 0 解得 z2 ? 1 ??? ? ??? ? 经验证, z2 ? 1 符合 EF ?BC ? 0 . ??? ? 即 AE ? 1
即 D(0,0, 2) , F ( , 所以线段 AE 长为 1 时,使得 EF ? 平面 BCD .………………………………6 分 (Ⅱ) E (2, 0,1) , 从而, BE ? (2,0,1) , EC ? (?1, 3, ?1) , DE ? (2,0, ?1) , 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 BCE 的法向量,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ?2 x1 ? z1 ? 0 3 ?n1 ?BE ? 0 ? ?? ? n1 ? (1, ? , ?2) ,……………………………8 分 ? ? ??? 3 ?n1 ?EC ? 0 ? ?? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 CDE 的法向量, ???? ? ?n2 ?DE ? 0 ? ?2 x2 ? z2 ? 0 ?? ? n2 ? (1, 3, 2) ,………………………………10 分 ? ? ??? ?n2 ?EC ? 0 ? ?? x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0 ?

cos ? n1 , n2 ??

?4 6 , ?? 4 8 6 3
6 .………………………………12 分 4
2

故二面角 D ? EC ? B 的余弦值为
2 2

? 22.解: (Ⅰ)由 PF1 ? F1 F2 ? 2 PF1 F1 F2 cos 30 ? PF2 ……………………………2 分

得 PF1 ? 2 3 PF1 ? 4 ? PF2 又? PF1 ? 2 PF2

2

2

? PF2 ?

2 3 4 3 , PF1 ? , 3 3

………………………………4 分

? 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 3, a ? 3

?b ? 2

椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………6 分 3 2

(Ⅱ)联立 ?

? y ? kx ? m
2 2 ?2 x ? 3 y ? 6

得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 6 ? 0 设 A( x1, y1 ) B( x2 , y2 )

?6km 3m2 ? 6 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ………………………………8 分 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
直线与圆相切 ?

m 1? k 2

?

6 ,5m2 ? 6k 2 ? 6 ………………………………10 分 5
=

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (k 2 ?1)x1x2 ? km(x1 ? x2 ) ? m2
5m2 ? 6k 2 ? 6 ? 0 ??AOB ? 90? ………………………………12 分 2 ? 3k 2
附加题: 解:令 x ? 0 ,则 y = k 2 + k - 2, \ A(0, k 2 + k - 2). 令 y ? 0 ,得 ?x ? (k ? 1)??x ? (k ? 2)? ? 0

\ x = k - 1, 或x = k + 2
又因为曲线与 x 轴的左半轴交于 B 点, \ B(k - 1, 0) 又? - 2 < k < 1 ,

\ k - 1 < 0,

k 2 ? k ? 2 ? 0.

\ SDAOB =

1 1 1 - k ) . - k 2 - k + 2 = (k 3 ? 3k ? 2) ( 2 2

(

)

3 \ S ' = (k 2 - 1) 2

\ 当 -2 < k < - 1 时, S ' > 0 ,\ 当 -1 < k < 1 时, S ' < 0 ,

( ? 2, ?1 ) ( ? 1,1 ) 为增函数,在 上为减函数。 ? 函数在

? 在 k ? ?1 处取极大值即最大值为 2.


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