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2015年高中数学新课标一轮复习12


十二 函数模型及其应用
1.(2014· 佛山模拟)抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内剩下的 空气少于原来的 0.1%, 则至少要抽(参考数据: lg 2=0.301 0, lg 3=0.477 1)( A.15 次 C.9 次 [答案] [解析] D 抽 n 次后容器剩下的空气为(40%)n. B.14 次 D.8 次 )

由题意知,(40%)n<0.1%,即 0.4n<0.001, ∴nlg 0.4<-3, 3 3 ∴n> = ≈7.54, 1-2lg 2 1-2×0.301 0 ∴n 的最小值为 8. 故应选 D. 2.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是 月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关 系如图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( )

A.10 元 C.30 元 [答案] [解析] A

B.20 元 40 D. 3 元

由题意可设 sA(t)=kt+20,sB(t)=mt,

又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, ∴k-m=-0.2,

∴sA(150)-sB(150)=150k+20-150m=150×(-0.2)+20=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 故应选 A. 3. 某学校制定奖励条例, 对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励, 其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的. 奖励公 式为 f(n)=k(n)(n-10), n>10(其中 n 是任课教师所在班级学生的该任课教师所教 学 科 的 平 均 成 绩 与 该 科 省 平 均 分 之 差 , f(n) 的 单 位 为 ( 元 ) 而 k(n) =

? ?100,10<n≤15, ?200,15<n≤20, 300,20<n≤25, ? ?400,n>25.
0,n≤10,

现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学

平均分超出省平均分 18 分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分,则乙所得奖励比甲所得奖励多( A.600 元 C.1 600 元 [答案] [解析] D k(18)=200, ) B.900 元 D.1 700 元

∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元). 又∵k(21)=300, ∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元), ∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元). 故应选 D. 4. 如果在今后若干年内, 我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长 9% 的水平,那么要达到国民经济生产总值比 1995 年翻两番的年份大约是 (lg 2= 0.301 0,lg 3=0.477 1,lg 109=2.037 4,lg 0.09=-2.954 3)( A.2015 年 [答案] [解析] B 设 1995 年国民经济生产总值为 a,经过 x 年翻两番, B.2011 年 C.2010 年 ) D.2008 年

则 a· (1+9%)x=4a.

2lg 2 ∴x=lg 1.09≈16. 5.某杂志每本原定价 2 元,可发行 5 万本,若每本提价 0.20 元,则发行量 减少 4 000 本, 为使销售总收入不低于 9 万元, 需要确定杂志的最高定价是( A.2.4 元 C.2.8 元 [答案] [解析] B 设每本定价 x 元(x≥2),销售总收入是 y 元,则 B.3 元 D.3.2 元 )

x-2 ? ? y=?5×104- x=104· x(9-2x)≥9×104. ×4×103?· 0.2 ? ? 3 ∴2x2-9x+9≤0?2≤x≤3, 故应选 B. 6.(2014· 济南模拟)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一, 交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/ml.如果 某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到 0.8 mg/ml,在停止喝酒后, 血液中酒精含量就以每小时 50%的速度减少, 则他至少要经过________小时后才 可以驾驶机动车.( A.1 C.3 [答案] [ 解析 ] B 据题意知, x 小时后的酒精含量为 0.8×(1 - 50%)x ,∴ 0.8(1 - ) B.2 D.4

?1? 1 50%)x<0.2,∴?2?x<4, ? ? 解之得 x>2. 即至少要经过 2 小时后才能驾驶机动车. 7.某汽车销售公司在 A、B 两地销售同一种品牌的汽车,在 A 地的销售利 润(单位:万元)为 y1=4.1x-0.1x2,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2=2x, 其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售 16 辆这种品牌汽车,则能 获得的最大利润是( A.10.5 万元 ) B.11 万元

C.43 万元 [答案] C [解析] -x)辆, 所以可得总利润

D.43.025 万元

设公司在 A 地销售该品牌汽车 x 辆,则在 B 地销售该品牌汽车(16

y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52 +32,又 x∈[0,16],且 x∈N, 所以当 x=10 或 11 时,总利润 ymax=43 万元. 故应选 C. 8.(2014· 济南模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此 外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元, 年产量为 x(x∈N+)件. 当 x≤20 时, 年销售总收入为(33x-x2)万元;当 x>20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工 厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y(万元)与 x(件)的函数关系式 为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销 售总收入-年总投资). [答案] [解析]
2 ?-x +32x-100,0<x≤20,x∈N y=? ?160-x,x>20,x∈N+

16

当 0<x≤20 时,

y=33x-x2-100-x=-x2+32x-100, 当 x>20 时,y=260-100-x=160-x, ∴所求的函数关系式为
2 ?-x +32x-100,0<x≤20,x∈N+, y=? ?160-x,x>20,x∈N+.

当 0<x≤20,x∈N+且 x=16 时,ymax=156, 当 x>20,x∈N+时,ymax<160-20=140, 故年产量为 16 件时,所得年利润最大. 9.某市有两家乒乓球俱乐部,其收费标准不同,A 俱乐部每张球台每小时 5 元;B 俱乐部按月收费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超 过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.某学校准备下个月从这两家中的一家租 一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时.

(1)设在 A 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用为 f(x)元(15≤x≤40); 在 B 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用为 g(x)元(15≤x≤40), 试求 f(x)和 g(x). (2)问选择哪家比较合算?为什么? [解析] (1)由题意可得 f(x)=5x(15≤x≤40);

当 15≤x≤30 时,g(x)=90, 当 30<x≤40 时,g(x)=90+(x-30)×2=2x+30. ?90,15≤x≤30, ∴g(x)=? ?2x+30,30<x≤40. (2)当 5x=90,即 x=18 时,f(x)=g(x), ∴当 15≤x<18 时,f(x)=5x<90,g(x)=90, ∴f(x)<g(x), 当 18<x≤30 时,g(x)=90, 而 f(x)=5x>5×18=90, ∴f(x)>g(x), 当 30<x≤40 时,g(x)=2x+30≤2×40+30=110, 而 f(x)=5x>5×30=150, ∴f(x)>g(x). 因此,当 15≤x<18 时,选择 A 俱乐部比较合算, 当 x=18 时,两俱乐部都可以, 当 18<x≤40 时,选择 B 俱乐部比较合算. 10.(2014· 沧州七校联考)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一 直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线 段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h) 内沙尘暴所经过的路程 s(km).

(1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;

(3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否 会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会, 请说明理由. [解析] (1)由图象可知:当 t=4 时,v=3×4=12,

1 ∴s=2×4×12=24. 1 3 (2)当 0≤t≤10 时,s=2· t· 3t=2t2; 1 当 10<t≤20 时,s=2×10×30+30(t-10)=30t-150; 1 1 当 20<t≤35 时, s=2×10×30+10×30+(t-20)×30-2×(t-20)×2(t-20) =-t2+70t-550. 32 ? ?2t , t∈[0,10], 综上可知,s=?30t-150, t∈?10,20], ? ?-t2+70t-550, t∈?20,35]. 3 (3)∵t∈[0,10]时,smax=2×102=150<650, t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, ∴当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650. 解得 t1=30,t2=40. ∵20<t≤35,∴t=30,∴沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.


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