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2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(9)函数图象及性质的综合应用)


课时作业(九) [第 9 讲 函数图象及性质的综合应用]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.[2011· 郑州模拟] 若函数 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象经过点 A(0,3),B(3, -1),则不等式|f(x+1)-1|<2 的解集是( ) A.{x|0<x≤2}

B.{x|0≤x<2} C.{x|-1<x<0} D.{x|-1<x<2} 2.[2011· 山东卷] 函数 y=2x-x2 的图象大致是( )

图 K9-1 1 3. 已知方程 2x+x=0 的实根为 a,log2x=2-x 的实根为 b,log x=x 的实根为 c, 则 a, 2 b,c 的大小关系为( ) A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c π 4.[2011· 豫南九校联考] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位,若所得的 2 图象与原图象重合,则 ω 的值不可能等于( ) A.4 B.6 C.8 D.12 能力提升 5.[2011· 湖南“六校联考”] 已知图 K9-2①是函数 y=f(x)的图象,则图 K9-2②中的 图象对应的函数可能是( )

图 K9-2 A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 6.[2011· 哈密模拟] 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 K9-3,则 b 的取值 范围为( )

图 K9-3 A.b<0 B.b>0 C.b≤0 D.b≥0 7.[2011· 淮南一模] 已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如图 K9-4 所示, 则函数 g(x)=ax+b 的图象是( )

图 K9-4

图 K9-5 x+3 8.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点( ) 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 9.已知定义域为 R 的函数 f(x)在[2,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数, 则( ) A.f(-1)<f(0)<f(2)<f(3) B.f(-1)<f(3)<f(0)<f(2) C.f(-1)<f(0)<f(3)<f(2) D.f(2)<f(3)<f(0)<f(-1) 2 2 10.[2011· 郑州模拟] 如图 K9-6,正方形 ABCD 的顶点 A?0, ?,B? ,0?,顶点 2 2 ? ? ? ? C、D 位于第一象限,直线 l:x=t(0≤t≤ 2)将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左 侧阴影部分的面积为 f(t),则函数 S=f(t)的图象大致是________(填序号).

图 K9-6

图 K9-7 11.[2011· 宁化质检] 已知定义在[0,+∞)上的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图 K9 -8 所示,则不等式 f(x)· g(x)>0 的解集是________.

图 K9-8 12. 从今年的 x(x∈[1,8)年内起, 小李的年薪 y(单位万元)与年数 x 的关系是 y=2+0.2x, 小马的年薪与年数 x 的关系是 y=0.5+1.2x,大约经过________年,小马的年薪超过小李. 1 13.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时均有 f(x)< ,则实数 a 的取值范围 2 是________.

14.(10 分)如图 K9-9,在第一象限内,矩形 ABCD 三个顶点 A,B,C 分别在函数 y 2 1 1 5 =log x,y=x ,y=- x2+ x 的图象上,且矩形的相邻的边分别与两坐标轴平行.若 A 2 2 8 8 点的纵坐标是 2,求顶点 D 的坐标.

图 K9-9

15.(13 分)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x) =x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间,f(x)的解析式(不必写推导过程).

难点突破 16.(12 分)已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=2x 平行,且 y=g(x)在 x= g?x? -1 处取得最小值 m-1(m≠0).设函数 f(x)= . x (1)若曲线 y=f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值; (2)k(k∈R)如何取值时,函数 y=f(x)-kx 存在零点,并求出零点.

课时作业(九) 【基础热身】 1.D [解析] 化简原不等式得-1<f(x+1)<3,又∵f(x)的图象经过 A(0,3),B(3,-1), ∴f(0)=3,f(3)=-1,∴f(3)<f(x+1)<f(0),∵函数 f(x)为减函数,∴0<x+1<3,-1<x<2. 1 2.A [解析] 设 f(x)=2x-x2,f(-1)=- <0,f(0)=1>0,f(3)=-1<0,f(5)=7>0,故 2 函数 y=2x-x2 至少在区间(-1,0),(0,3),(3,5)内有三个变号零点,综合各个选项可知只有 选项 A 符合这个性质.故选 A. 3.A [解析] 利用图象确定函数交点. ωπ π ? 4.B [解析] 函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位得到 f(x)=sin? ?ωx+ 2 +φ? 2 ωπ =sin(ωx+φ)的图象,与原图象重合,故 =2kπ,k∈Z,故 ω 不可能是 6. 2 【能力提升】 5.C [解析] 由题图②知,图象对应的函数是偶函数,且当 x<0 时,对应的函数是 y =f(x),故选 C.对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称 性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参 数的关系. 6.A [解析] 解法一:观察 f(x)的图象,可知函数 f(x)的图象过原点,即 f(0)=0,得 d =0,又 f(x)的图象过点(1,0),∴a+b+c=0①,又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0②,①+ ②得 b<0. 解法二:由图象知 f(x)=0 有三根 0,1,2,∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3 -3ax2+2ax,∴b=-3a,∵a>0,∴b<0. 7.A [解析] 设 f(x)的零点为 a,b,由图可知 0<a<1,b<-1,则 g(x)是一个减函数, 可排除 C、D,再根据 g(0)=1+b<0,可排除 B,故正确选项为 A. 8.C [解析] 变换函数的解析式为 y=lg(x+3)-1,只要把函数 y=lgx 的图象上所有 的点向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度即可.答案为 C. 9.C [解析] 函数 y=f(x+2)为偶函数,图象关于 y 轴对称,把这个函数图象向右平移 2 个单位即得到函数 y=f(x)的图象,即函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称.由函数 f(x) 在[2,+∞)上为减函数,则函数 f(x)在(-∞,2]上为增函数.由 f(3)=f(4-3)=f(1),故 f(- 1)<f(0)<f(3)<f(2),正确选项为 C. 2 1 2 1 10.③ [解析] 当 0<t≤ 时,f(t)= · t· 2t=t2,当 <t≤ 2时,f(t)=1- · ( 2-t)· 2( 2 2 2 2 2 2 2 -t)=-t2+2 2t-1,即函数 f(t)在?0, ?上是开口向上的抛物线,在? , 2?上是开口 2? ? ?2 ? 向下的抛物线,故填③. ? ? 1 1 0<x< 或1<x<2或x>2? [解析] 由题图可知,当 0<x< 时,f(x)>0,g(x)>0; 11.?x? 2 ? 2 ? ? 1 当 <x<1 时,f(x)>0,g(x)<0; 2 当 1<x<2 时,f(x)<0,g(x)<0; 当 x>2 时,f(x)>0,g(x)>0. ? ? 1 0<x< 或1<x<2或x>2?. 因此 f(x)· g(x)>0 的解集是?x? 2 ? ? ? 12.6 [解析] 画出函数图象,从图象上观察知道在这 8 年内先是小马的年薪低,中间 超过了小李.令函数 f(x)=2+0.2x-0.5-1.2x=1.5+0.2x-1.2x,则 f(5)=2.5-2.48832>0, f(6)=2.7-1.26=2.7-2.98598<0,根据函数的零点定理,存在 x0∈(5,6),当 x>x0 时,0.5+ 1.2x>2+0.2x,由于 x 是正整数,故在第 6 年小马的年薪超过小李的年薪.

1 1 13. ≤a<1 或 1<a≤2 [解析] 由题意可知 ax>x2- 在(-1,1)上恒成立,令 y1=ax,y2= 2 2 1 x2- , 2 由图象知:

a ≥?-1? - , ? 2 ? ?a ≥1-1 , 2 ? ?a>0且a≠1,
-1

2

1

1

1 ∴ ≤a<1 或 1<a≤2. 2 14. [解答] 显然, D 点的横坐标与 A 点的横坐标相等, 纵坐标与 C 点的纵坐标相等. 由 2 1 2 于 A 点在 y=log x 的图象上,其纵坐标为 2,所以横坐标为 x=? ?2= .要求 C 点的纵坐 2 ?2? 2 标,需要求其横坐标,而它的横坐标等于 B 点的横坐标.因为 B 点的纵坐标 yB=yA=2,所 1 1? 1 以 xC=xB=4,从而 yD=yC= ,故 D? ?2,2?. 2 15.[解答] (1)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,从而得 f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x), 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

1 ? 当-4≤x≤4 时, 设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 则 S=4S△OAB=4×? ?2×2×1? =4. (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈ Z),
? ?x-4k?4k-1<x≤4k+1?, f(x)=? ?2+4k-x?4k+1<x≤4k+3? ? =1-|x-(4k+1)|(4k-1<x≤4k+3,k∈Z).

【难点突破】 16.[解答] (1)设 g(x)=ax2+bx+c,则 g′(x)=2ax+b, 又 g′(x)的图象与直线 y=2x 平行, ∴2a=2,a=1. b 又 g(x)在 x=-1 处取最小值,∴- =-1,b=2. 2 ∴g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1,c=m. g?x? m f(x)= =x+ +2,设 P(x0,y0), x x m?2 m2 2 2 2 ? x + 则|PQ|2=x2 + ( y - 2) = x + = 2 x + +2m≥2 2m2+2m, 0 0 0 0 ? 0 x0? x2 0 ∴2 2m2+2m=2,∴m=-1± 2. m (2)由 y=f(x)-kx=(1-k)x+ +2=0, x 得(1-k)x2+2x+m=0,(*) m m 当 k=1 时,方程(*)有一解 x=- ,函数 y=f(x)-kx 有一个零点 x=- ; 2 2 1 当 k≠1 时,方程(*)有两解?Δ=4-4m(1-k)>0,若 m>0,k>1- , m -2± 4-4m?1-k? 1± 1-m?1-k? 函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= = ; 2?1-k? k-1 1 若 m<0,k<1- , m -2± 4-4m?1-k? 1± 1-m?1-k? 函数 y=f(x)-kx 有两个零点 x= = ; 2?1-k? k-1 1 当 k≠1 时,方程(*)有一解?Δ=4-4m(1-k)=0,k=1- ,函数 y=f(x)-kx 有一个零 m 1 点 x= . k-1


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