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吉林省吉林市普通中学2016届高三数学第四次调研测试试题 文


吉林市普通中学 2015—2016 学年度高中毕业班第四次调研测试 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考试时间 120 分 钟。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹 清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | ?? ? x ? ? } , B ? { x | x ? ? } ,则 A ? (? U B ) ?

, ?) A. ( ? ?
2. 在复平面内,复数 z ?

, ?] B. ( ? ?
? ? ?i 所对应的点在 ?? i
B.第二象限

?) C. [ ? ,

?) D. ( ? ,

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 已知 a ? ? 且 a ? ? ,则函数 f ( x ) ? a x 与函数 g( x ) ? loga x 的图象可能是
y y y y

1

1 1

1 1

1 1

O

x

O

x

O

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.

?y ?1 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? ? y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 两点的横坐标

-1-

之和为

?? ,则 AB ? ?
B.

A.

13 3

14 3

C. 5

D.

16 3

6. 已知函数 f ( x ) ? ? A.2014

?x ? ?, x ? ? ,则 f ( ? ? ? ?) ? ? f ( x ? ?) ? ? , x ? ?
B. 2015 C.2016 D.2017

7. 已知实数 x ? { ? , ? , ? , ? , ? , ? , ? , ? } ,执行如 图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 ...121 的概率为

开始 输入x

? ? ? B. ? ? C. ? ? D. ?
A.

n=1
n 3?
是 否

x = 3x + 1 n=n+1

输出x 结束

8. 把函数 f ( x) ? sinx cos x ? ? cos? x 的图象向左平 ? (? ? ?) 个单位,得到一个偶函 数,则 ? 的最小值为 A.

? ?

B.

? ?

C.

? ?

D.

? ??

9. 下列命题正确 的个数是 .. 2 ① 对于两个分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有 关系”的把握程度越大; ② 在相关关系中,若用 y? ? c?e
? ?

c? x

拟合时的相关指数为 R? ,用 y ? ? bx ? a 拟合时的

?

相关指数为 R? ,且 R? ? R? ,则 y? 的拟合效果好; ③ 利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ ?a ? ? ? ? ”发生的概率为

?

? ; ?



“ x ? ?? ”是“

? ? ? ? ”的充分不必要条件. x
C. 2 D.

A. 4

B. 3

1
-2-

10. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似 两个扣合(牟合)在一起方形伞(方盖) .其直观图如下左图,图中四边形是为体现其 直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同 时,它的正视图和俯视图分别可能是

a

b

c

d

A. a , b

B. a , c

C. c , b

D. b , d

11. 已知 x ? 1 , y ? 0 ,且 ? y(? ? x ) ? x ? ? ,则 x ? 3 y 的最小值是

A. 8

B. 6

C.

?? ?

D.

?? ?

12. 已知函数 f ( x ) ? x ? ? x ? ? , g( x ) ? ? ? a ,若对任意 x? ? [ ? , ? ] ,存在
x

?

x? ? [ ? , ? ] 使 | f ( x? ) ? g( x ? ) |? ? ,则实数 a 的取值范围是
?] A. [ ?, ?] B. [ ? , ?] C. [ - ? , ?] D. [ ?,

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个题考生都必须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分。 13. 已知 a ? (?, ? ), b ? ( ? , ? ) , c ? ( ? ?, ? ) ,若 ( ? a ? b ) ? c ,则 ? ? 14. 2016 年 1 月 1 日我国全面二孩政策实施后,某中学的一个学生社团组织了一项关于生 育二孩意愿的调查活动。已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中,30 岁以 下的约 2400 人,30 岁至 40 岁的约 3600 人,40 岁以上的约 6000 人。为了了解不同年 龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层抽样的方法从中抽取
-3-

了一个容量为 N 的样本进行调查,已知从 30 至 40 岁的女性中抽取的人数为 60 人, 则N ? 15. 六棱柱 ABCDEF ? A? B?C? D? E? F? 的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,且侧棱 长 等于底面边长,则直线 AE 与 CB? 所成角的余弦植为 16. 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 b sin B ? c sin C ? a ,且△ABC 的面积 S ?

b2 ? c2 ? a 2 ,则 B= 4

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知公差不为零的等差数列 {a n } 中, a ? ? ? , a ? , a ? , a? 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? ( ) n ,设其前 n 项和为 Sn ,求证:
a

? ?

? ? ? Sn ? . ? ?

18.(本小题满分 12 分) 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每 领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续 5 天的售出和收益情况,如下表: 售出水量 x (单位:箱) 收益 y (单位:元) (Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)预测售出 8 箱水的收益是多少元? 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 7 165 6 142 6 148 5 125 6 150

?? b

?x y
i ?1 n i

n

i

?nx y
2

?x
i ?1

? ? y ? bx ? , ,a

2 i

? nx

-4-

参考数据: 7 ? 165 ? 6 ? 142 ? 6 ? 148 ? 5 ? 125 ? 6 ? 150 ? 4420

19.(本小题满分 12 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , 底 面 ABCD 为 梯 形 , AD // BC ,

?ABC ? ?BAD ? ? ?? , AD ? ? BC ? ? , PA ? AB ? ? , E 为 CD 中点.
(Ⅰ)求证:平面 PAE ? 平面 PCD; (Ⅱ)求点 A 到平面 PCD 的距离.
P

A E B C

D

20.(本小题满分 12 分) 已知椭 圆 C : 在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 2 的直线 l,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M、N 时,能 在直线 y ?

? x? y? ? ? ? ?( a ? b ? ? ) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? 1, ) ? ) ,点 A ( ? , 0 ) , F? ( ? , ? ? a b

? 上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q,满足 PM ? NQ ? 若存在, ?

求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
-5-

设函数 f ( x ) ? e x (? ? ln x ) . (Ⅰ)求曲线 f ( x ) 在 (? ,f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ)证明: e f ( x ) ? e ?
?

?e x . x

请考生在 22、23、24 三题中 任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

AD 为 ?BAC 的平分线, CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E , 已知在△ ABC 中, 以 C 为圆心,
交 AD 于点 F ,交 AE 于点 M ,且 ?B ? ?CAE , FE : FD ? 4 : 3 .
A

(Ⅰ)求证: AF ? DF ;
F M
-6-

(Ⅱ)求 ? AED 的余弦值.

23. (本 小 题 满 分 10 分 )选 修 4—4 坐 标 系 与 参 数 方 程 在直角坐标系中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的 极坐标方程为

? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 ,直线 l 的参数方程为 :

? 3 x ? 3? t ? ? 2 ( t 为参数),点 A 的极坐标为 (2 3, ? ) ,设直线 l 与 曲 线 C 相 交 于 P , Q 两 点 . ? 6 ?y ? 3? 1t ? ? 2
( Ⅰ) 写 出 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 和 直 线 l 的 普 通 方 程 ; ( Ⅱ) 求 AP ? AQ ? OP ? OQ 的 值 .

24.

( 本小题 满 分 10 分 ) 选 修 4 — 5: 不 等 式 选 讲

已知函数 f ( x ) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式: f ( x ) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求 证: f (ab) ? a f ( ) .

b a

吉林市普通中学 2015—2016 学年度高中毕业班第四次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有 较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
-7-

一、选择题:每小题 5 分 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A 11 A 12 B

二、填空题:每小题 5 分 13. ?

? ?

14. 200

15.

? ?

16.

?? ?

三、解答题 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ( d ? ? ) 由 已 知 得
? a? ? a ? a?

------------------------------------------------------------------2 分 即 (a? ? d ) ? ? (a? ? d )(a? ? ?d ) 从而 a? ? ? 数列 {an } 的通项公式 a n ? ?n ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ( ) ------------------------------------6 分 ,又 a ? ? ? , d ? ? ,故 d ? ? ---------------4 分

? ?

?n? ?



? ? [? ? ( ) n ] ? Sn ? ? ? ?? ?
------------------------------------------------------------------8 分

? ? ? ? [? ? ( ) n ] ? ? ? ?
------------------------------------------------------------------10 分 又 bn ? ( )



? ?

?n? ?

? ? ,因此 S n ? S? ?

? ?
? ? ? Sn ? ? ?

故 ---------------------------------------- ---------------------------------- 12 分 18.解: (Ⅰ) 由所给数据计算得 x ?

? (? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? ? ?

y?
?

? (? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ) ? ??? ?
? i

?x
i ??

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?

--------------------------------3 分

-8-

?? b

?x y
i ?1 5 i

5

i

?5 x y
2

?x
i ?1

?

2 i

? 5x

4420 ? 5 ? 6 ? 146 40 ? ? 20 182 ? 5 ? 6 ? 6 2

? ? y ? bx ? ? 146 ? 20 ? 6 ? 26 a
? ? ? ?x ? ? ? -------------------------------------8 分 所求回归直线方程为 y
(Ⅱ)将 x ? ? 代入回归方程可预测售出 8 箱水的收益为 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?(元) --------------------------------------------------------12 y 分 19.解: (Ⅰ)连结 AC, AB ? ? , BC ? ? , ?ABC ? ? ? AC ? ? ,所以 AD ? AC ,又 E 为 CD 的中点, 可得 所以 AE ? CD , ------------------------------------------2 分 PA ? CD ? 因为 平面 ABCD, 平面 ABCD 所以 PA ? CD ,又 AE ? PA ? A 故 CD ? 平面 PAE, ----------------------------5 分 而 CD ? 平面 PCD, 故平面 PAE ? 平面 PCD -----------6 分 (Ⅱ)方法一:作 AF ? PE 于 F , 由(Ⅰ)可知, CD ? 平面 PAE 所以 CD ? AF 又 CD ? PE ? E , 故 AF ? 平面 PCD ----------------------------9 分 AF 为点 A 到平面 PCD 的距离
?

由 AD ? 2 , AB ? 3 , BC ? 1 , ?ABC ? 90? 可得 CD ? 2 因此 AC ? AD ? CD ? 2 ,所以 AE ? 所以 PA ? AE 因此 PE ?

?

又 PA ? 平面 ABCD 而 PA ? AE ? 3

6

所以 AF ?

1 6 PE ? 2 2

故 A 到平面 PCD 的距离为

? ?

--------------------------------------------------------12 分

方法二:由 AD ? 2 , AB ? 3 , BC ? 1 , ?ABC ? 90? 可得 CD ? 2 故 S?ACD ? 因此 AC ? AD ? CD ? 2 ,所以 AE ?

?

3 2 ?2 ? 3 4
所以 PA ? AE 因此 PE ?

又 PA ? 平面 ABCD 而 PA ? AE ? 3

6

又由(1)可知, CD ? 平面 PAE ,所以 CD ? PE 所以 S ?PCD ?

1 1 CD ? PE ? ? 2 ? 6 ? 6 2 2

-----------------------------------------------8 分

-9-

设点 A 到平面 PCD 的距离为 d 由 VA? PCD ? VP? ACD 分 得 ------------------------------------------------------10

1 1 S?PCD ? d ? S ?ACD ? PA 3 3
1 1 6 ?d ? 3? 3 3 3
所以 d ?



6 2
------------------------------------------------------12 分

故 A 到平面 PCD 的距离为

? ?

20.解: (Ⅰ)方法一:设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c ? 1 , 因为 A(1,

2 ) 在椭圆 C 上,所以 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 2 2 2

因此 a ?

2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ---------------------5 分 2

方法二:设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c ? 1 , 因为 A(1,

2 ) 在椭圆 C 上, 2

?c ? 1 ?a ? 2 ?1 ? 1 ? x2 所以 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ?b ? 1 故椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 --------------------5 分 2 ?c ? 1 ? a 2b 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? t ,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , P ( x3 , ) , Q( x4 , y4 )

5 3

MN 的中点为 D( x0 , y0 ) ,

? y ? 2x ? t ? 由 ? x2 消去 x ,得 9 y 2 ? 2ty ? t 2 ? 8 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
所以 y1 ? y2 ?

2t 且 ? ? 4t 2 ? 36(t 2 ? 8) ? 0 9
- 10 -



y0 ?

y1 ? y2 t ? 2 9



?3 ? t ? 3

------------------------------------------------------8 分 由 PM ? NQ 知四边形 PMQN 为平行四边 形 而 D 为线段 MN 的中点,因此 D 为线段 PQ 的中点

???? ?

????

5 ? y4 t 所以 y0 ? 3 ? 2 9
又 ?3 ? t ? 3 分 因此点 Q 不在椭圆上, 所以 ?

可得 y4 ?

2t ? 15 9

--------------------------------------------10 分

7 ? y4 ? ?1 3

-------------------------------------------------------11

故不存在满足题意的直线 l . 分 21. 解:

--------------------------------------------------------12

(Ⅰ)因为 f (1) ? e(1 ? 0) ? e ,所以切点坐标为 (1, e) 又 f ?( x) ? e x (1 ? ln x) ?

--------------------- ---------1 分

ex 1 ? e x (1 ? ln x ? ) , x x

----------------------------------------3 分

所以 f ?(1) ? e(1 ? 1 ? 0) ? 2e ,即切线斜率为 2e , ------------------------------------4 分 因此切线方程为 y ? e ? 2e( x ? 1) ,即 2ex ? y ? e ? 0 (Ⅱ)要证 e ? f ( x) ? e ? --------------------------------5 分

?e x 2e x ,即证 e2 ? e x (1 ? ln x) ? e ? x x
2

由于 x ? 0 , e x ? 0 ,所以即证 e ? x(1 ? ln x) ? 设 g ( x) ? e2 ? x(1 ? ln x),(x ? 0) , h( x) ? 则 g ?( x) ? e2 (2 ? ln x) ,

xe ?2 ex

-----------------------------7 分

xe ? 2, ( x ? 0) ex

当 0 ? x ? e?2 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, ; 当 x ? e ?2 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 故 g ( x)min ? g (e ) ? ?1
- 11 ?2

即 g ( x) ? ?1 ,当 x ? e ?2 时等号成立; --------------------------------------------------- 9 分 又 h?( x ) ?

e(1 ? x) , ex

当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0,1) 单调递减 故 h( x)max ? h(1) ? ?1 即 h( x) ? ?1 ,当 x ? 1 时等号成立; 所以 g ( x) ? h( x) 在 (0, ??) 上恒成立, 即 e ? x(1 ? ln x) ?
2

-------------------------------------------------11 分

xe ?2 ex
------------------------------------------------------12 分

故 e ? f ( x) ? e ?

?e x . x

22.(Ⅰ)证明: ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC. ∵∠B=∠CAE, ∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE. ∵∠ADE=∠BAD+∠B, ∴∠ADE=∠DAE. ∴EA=ED. ∵DE 是 半圆 C 的直径, ∴∠DFE=90°. ∴AF=DF (Ⅱ)解:连结 DM, ∵DE 是半圆 C 的直径, ∴∠DME=90°. ∵FE∶FD=4∶3, ∴可设 FE=4x,则 FD=3x. 由勾股定理,得 DE=5x. ∴AE=DE=5x,AF=FD=3x. 由切割线定理的推论,得 AF*AD=AM*AE. ∴3x(3x+3x)=AM*5x. ∴ AM ? . ??????5 分

18 18 7 x . ∴ ME ? AE ? AM ? 5 x ? x ? x . 5 5 5

7 x ME 5 7 在 Rt△DME 中,cos∠AED= ? ? DE 5x 25
2 2

. ??????10 分

23. 解:( Ⅰ) 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 4x ? 1 ? 0 , 即

- 12 -

( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ??????2 分
直 线 l 的 普 通 方 程 为 x ? 3y ? 0 ??????4 分

( Ⅱ) 点 A 的 直 角 坐 标 为 (3, 3) , 设 点 P, Q 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 , t2 , 点 P, Q 的 极 坐 标 分 别 为

( ?1 , ), ( ? 2 , ) 6 6

?

?

? 3 x ? 3? t ? ? 2 ( t 为参数)与 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 联 立 得 : t 2 ? 2 3t ? 1 ? 0 将? ?y ? 3 ? 1 t ? 2 ?
由 韦 达 定 理 得 : t1t2 ? 1 , AP AQ ? 1 将直线的极坐标方程 ? ? ??????6 分

?
6

( ? ? R ) 与 圆 的 极 坐 标 方 程 ? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 联 立 得 :

? 2 ? 2 3? ? 1 ? 0 , 由 韦 达 定 理 得 : ?1?2 ? 1 , 即 OP ? OQ ? 1 ??????8 分
所 以 , AP ? AQ? OP ? OQ ?
1 2

t t? 1? 2 ? 1

??????10 分

??2 x ? 2, x ? ?3 ? ?3 ? x ?1 24. 解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|= ? 4, ?2 x ? 2, x ? 1 ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( ????4 分 ????5 分 ????6 分

b )即|ab-1|>|a-b|. a

因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|. 故所证不等式成立. ????10 分
2 2 2 2 2 2 2 2

- 13 -


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