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导数的概念及其几何意义


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导数的概念及其几何意义

知识回顾
1. 函数的概念? 设 A、 B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有
) , x ? A .其中, ) 唯一确定的数 f ( x 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y ? f ( x

x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; )x ? A? } 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 ? f ( x

叫做函数的值域. 2. 判断函数的单调性有哪几种方法? 定义法、图象法、复合函数的单调性结论:“同增异减”等.

知识讲解 一、导数的概念
1.函数的平均变化率: 一般地,已知函数 y ? f ( x) , x0 , x1 是其定义域内不同的两点,记 ?x ? x1 ? x0 ,
?y ? y1 ? y0 ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,

则当 ?x ? 0 时,商 变化率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y 称作函数 y ? f ( x) 在区间 [ x0 , x0 ? ?x] (或 [ x0 ? ?x , x0 ] )的平均 ? ?x ?x

注:这里 ?x , ?y 可为正值,也可为负值.但 ?x ? 0 , ?y 可以为 0 . 2.函数的瞬时变化率、函数的导数: 设 函 数 y ? f ( x) 在 x0 附 近 有 定 义 , 当 自 变 量 在 x ? x0 附 近 改 变 量 为 ?x 时 , 函 数 值 相 应 的 改 变
?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) .

如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于一个常数 l (也就是说平均变化率与某个 ? ?x ?x

常数 l 的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数) ,那么常数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. “当 ?x 趋近于零时, “当 ?x ? 0 时,
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 趋近于常数 l ”可以用符号“ ? ”记作: ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? l ”,或记作“ lim ? l ”,符号“ ? ”读作“趋近于”. ? x ? 0 ?x ?x

函数在 x0 的瞬时变化率,通常称为 f ( x) 在 x ? x0 处的导数,并记作 f ?( x0 ) . 这时又称 f ( x) 在 x ? x0 处是可导的.于是上述变化过程,可以记作

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“当 ?x ? 0 时, 3.可导与导函数: 如果 f ( x) 在开区间 ( a , b) 内每一点都是可导的,则称 f ( x) 在区间 ( a , b) 可导.这样,对开区间 ( a , b) 内每 个值 x ,都对应一个确定的导数 f ?( x) .于是,在区间 ( a , b) 内, f ?( x) 构成一个新的函数,我们把这 个函数称 为函数 y ? f ( x) 的导函数.记为 f ?( x) 或 y ? (或 yx? ) . 导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数.
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ”或“ lim ? f ?( x0 ) ”. ?x ?0 ?x ?x

二、导数的几何意义
1.导数的几何意义: 设函数 y ? f ( x) 的图象如图所示. AB 为过点 A( x0 , f ( x0 )) 与
B( x0 ? ?x , f ( x0 ? ?x)) 的 一 条 割 线 . 由 此 割 线 的 斜 率 是
y
D B C A

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化 ? ?x ?x

率.当
O x x0

点 B 沿曲线趋近于点 A 时, 割线 AB 绕点 A 转动, 它的最终位置为
AD ,这条直线 AD 叫做此曲线过点 A 的切线,即 lim
?x ?0

x

直 线

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 切线 AD 的斜率. ?x

由导数意义可知,曲线 y ? f ( x) 过点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率等于 f ?( x0 ) .
2.求曲线的切线方程 若曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 及其附近有意义,给横坐标 x0 一个增量 ? x ,相应的纵坐标也有一个增量
? y ? f ( x0 ?? x) ? f ( x0 ) ,对应的点 Q( x0 ?? x , y0 ?? y) .则 PQ 为曲线 y ? f ( x) 的割线.当 ? x ? 0 时 Q ? P ,如果割

线 PQ

趋近于一确定的直线,则这条确定的直线即为曲线的切线.当然,此时割线 PQ 的斜率

?y 就趋近于切 ?x

线的斜率. 切线的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) .

题型一、导数的概念
4) , (2 , 0) , (6 , 4) , 则 B, C 的 坐 标 分 别 为 (0 , 【例1】 如 图 , 函 数 f ( x) 的 图 象 是 折 线 段 ABC , 其 中 A ,

f ( f ( 0 )? )
y
4 3 2 1

;函数 f ( x) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ?
C



A

O

B
1 2 3 4 5 6

x

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【例2】 求函数 y ? x2 ? 1 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率.

【例3】 求函数 f ( x) ? ? x2 ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,在 x ? ?1 处的瞬时变化率与导数.

【例4】 求 y ? x 在 x ? x0 处的导数.

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题型二、导数的几何意义
1 2) ,用斜率定义求: 上一点 A(1 , x

【例5】 已知曲线 y ? x ?

⑴ 过点 A 的切线的斜率; ⑵ 过点 A 的切线方程.

【例6】 函数 f ( x) 的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
y

O

1

2

3

x

A. 0 ? f ?(2) ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) C. 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2)

B. 0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ? f ?(3)

【例7】 求函数 f ( x) ? ax ?

a (a ? 0) 的图象上过点 A (a , a2 ? 1) 的切线方程. x

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题型三、综合问题 【例8】 已知直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 切于点(1,3),则 b 的值为( A.3 C.5 B.-3 D.-5 )

x 【例9】 曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 B.y=2x-1

)

D.y=-2x-2

【例10】 设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=( A.1 1 C.- 2 1 B. 2 D.-1

)

1 1 【例11】 若函数 f(x)=- x3+ f′(1)x2-f′(2)x+5,则曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 的方程为________. 3 2 π π 【例12】 已知 f1(x)=sinx+cosx,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则 f1( )+f2( )+…+ 2 2 π f2 012( )=________. 2 【例13】 曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________. 【例14】 已知直线 y=kx 与曲线 y=ln x 有公共点,则 k 的最大值为________. 【例15】 设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点 P 纵坐标的取 值范围是________. 【例16】 曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为________. 【例17】 若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 )

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3] ,则点 P 纵坐标的取 【例18】 设 P 为曲线 C : y ? x2 ? x ? 1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 [1 ,

值范围是_______.
0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax2 ? 【例19】 若存在过点 (1 ,

15 x ? 9 都相切,则 a 等于( 4


7 D. ? 或 7 4

A. ?1 或 ?

25 64

B. ?1 或

21 4

7 25 C. ? 或 ? 4 64

【例20】 已 知 函 数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x的 图 象 在 P 点 处 的 切 线 方 程 为 y ? ? x ? 8 , 又 P 点 的 横 坐 标 为 5 , 则 5

f ( 5 )? f ? ( 5? ) ________.

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? 3) 处的切线方程是____. 【例21】 ⑴曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1 , ? 3) 的切线方程是_________. ⑵曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 过点 (1 ,

1 4 4) 的切线方程是_______. 【例22】 已知曲线 y ? x3 ? ,则过点 P (2 , 3 3
? 2) ,则过点 P 可向 s 引切线的条数为_____. 【例23】 已知曲线 s : y ? 3x ? x3 及点 P(2 ,

【例24】 曲线 y ?

1 和 y ? x 2 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是______. x

【例25】 已知直线 y=kx 与曲线 y=ln x 有公共点,则 k 的最大值为________. 【例26】 偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解 析式.

9 【例27】 设有抛物线 C:y=-x2+ x-4,通过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象限. 2 (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标.

【例28】 已知曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线 4 x ? y ? 1 ? 0 ,且点 P0 在第三象限, ⑴ 求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 ,且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

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, f ? ( 1) ) 的切线方程为 【例29】 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的 图 象 过 点 P ( 0, 2 ) , 且 在 点 M (? 1 处

6 x ? y ? 7 ? 0 .求函数 y ? f ( x) 的解析式.

0) 处的切线, l2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ? l2 , 【例30】 已知直线 l1 为曲线 y ? x2 ? x ? 2 在点 (1 ,

(1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1 、 l2 和 x 轴所围成的三角形的面积.

随堂练习
1 ? ?x] 内的平均变化率为( 【练1】 函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 1 在闭区间 [1 ,

) D. 4 ? 2 ? x

A. 1 ? 2 ? x

B. 2 ? ?x

C. 3 ? 2 ? x )

3) 处的切线的倾斜角为( 【练2】 曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 ,

A. 30 ?

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 120?

1) 作曲线 y ? x3 的切线,则切线方程为__________. 【练3】 过点 (1 , b ? R) .若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线 【练4】 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a ,

斜率是 ?3 ,求 a , b 的值.
【练5】 已知曲线 C : y ? 3x4 ? 2x3 ? 9x2 ? 4 ,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程.

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1 【练6】 已知曲线 y= x2-1 与 y=1+x3 在 x=x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值. 6

课后作业
【题1】 若函数

f ( x) ?

2 ,则当 x ? ?1 时,函数的瞬时变化率为( x



A.1
【题2】 已知曲线

B. ?1

C.2

D. ?2

y? x?

1 上一点 ? 5 ? ,用斜率定义求: A? 2 , ? x 2? ?



过点 A 的切线的斜率;

⑵ 过点 A 的切线方程.

【题3】 设函数

f ( x) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2 ,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

⑴求 y ? f ( x) 的解析式; ⑵证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求 此定值.

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