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高中数学:希望杯竞赛试题详解(31-40题)


题 31 已知 x、y、z ? R ? ,求函数 u ? x, y, z ? ? xy ? yz 的最大值. x ? y2 ? z2 2 (第九届高二培训题第 61 题) 题 32 已知 a, b ? R ,且 a ? b ? 1 ? 0 ,则 ? a ? 2 ? ? ? b ? 3? 的最小值是 2 2 . (第十届高二培训题第 44 题) 题 33 实数 x ,

y 满足方程 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ,则 2 x ? 3 y 的最大值与最小值的和等于_______. (第十届高二第二试第 17 题) 题 34 线段 AB 的端点坐标是 A ( -1 , 2 ), B ( 2 , -2 ),直线 y=kx+3 与线段 AB 相交的充要条件是 ( ) A、 ? 5 ? k ?1 2 B、 1 ? k ? 5 2 C、 ? 5 ? k ? 1 且 k≠0 2 D、 k ? ? 5 或k ? 1 2 (第八届高二培训题第 2 题) . 题 35 过点 P?1,1? 且与两条坐标轴围成面积为 2 的三角形的直线的条数是 (第十届高二第一试第 18 题) 题 36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产 1 吨甲产品需要原材料 A、B、C、D 的数量分别为 1 吨、 2 吨、2 吨、7 吨;每生产 1 吨乙产品需要原材料 A、B、D 的数量分别为 1 吨、4 吨、1 吨.由于原材料的限制,每 个生产周期只能供应 A、B、C、D 四种原材料分别为 80 吨、80 吨、60 吨、70 吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为 2 百万元和 3 百万元. 要想获得最大利润,应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨,期望的最大利润是 百万元. (第十三届高二第一试第 25 题) 题 37 是 (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)相切或相交 (第七届高二第一试第 5 题) 题 38 过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 的交点的直线方程是 . 点 M ?x0 , y0 ? 是圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ?r ? 0? 内圆心以外的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? r 2 与该圆的位置关系 ( ) (第二届高二第二试第 15 题) y 2 2 题 39 若实数 x 、 y 适合方程 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 , 那么代数式 的取值范围是——. x?2 (第九届高二第一试第 17 题) 题 40 ( ) A、 ?? ?,0? B、 [ 2, ??) C、 [ 2 ?1, ??) D、 [1 ? 2, ??) (第七届高二第一试第 10 题) 圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 上 任 意 一 点 P? x, y ? 都 使 不 等 式 x ? y ? c ? 0 成 立 , 则 C 的 取 值 范 围 是 2 31.解法 1 取待定正数 ?、? ,由均值不等式得 xy ? yz ? ?? x ? ? ?1 ?? ?1 ? y ? ? ?? y?? ? ?? ? z? ? ? 1? 1? 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 x2 ? 2 y 2 ? ? 2 y 2 ? 2 z 2 ? ? ?? 2 x 2 ? ? 2 ? ? 2 ? y 2 ? 2 z 2 ? , 2? ? ? ? ?? ? ? 2? ? 令? ? 2 1 ? 2 ??2 ?

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