当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2016年浙江省高中数学竞赛含答案


2016 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案
一、选择题(每题 6 分,共 48 分)
1. 5. . A 2. . C 3. . D 4. . D D. 6. B. 7. B. 8. A. 二、填空题(每题 7 分,12 题 9 分,共 51 分)

9.

36 ? 20 3 .

1

0. b2015 + b2016 = ?22017.

11. a = 2. == 14.

= = 8.

12.

2 4 5 x= ? ,y= ,z = . 13. 9 9 9 =

30 + 3 10 2

[1, 2] ?? 15.

三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 15 分,17、18 每题 18 分,共 51 分) 16.设函数 f ( x) =x 2 ? (k 2 ? 5ak + 3) x + 7( a, k ∈ R ) .已知对于任意的 k ∈ [0, 2] , 若 x1 , x2 满足 x1 ∈ [k , k + a ], x2 ∈ [k + 2a, k + 4a ] ,则 f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) , 求正实数 a 的最大值. ?????????????????? f ( x) =x 2 ? (k 2 ? 5ak + 3) x + 7

x=

k 2 ? 5ak + 3 ,?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?-?¨ 2

3 ·???

?????è?????????????????? k ∈ [0, 2]

5 k 2 ? 5ak + 3 ≥ k + a. ……………………① 2 2
?????????? k ∈ [0, 2]

6 ·???

5a ≤

? k 2 ? 2k + 3 ? k 2 ? 2k + 3 ?? 5a ≤ min ? ? 0≤ k ≤ 2 k +1 ? k +1 ?

9 ·???



k 2 ? 2k + 3 6 6 = (k + 1) + ? 4 ≥ 2 (k + 1) × ? 4 = 2 6 ? 4 ,……………(12 分) k +1 k +1 k +1
? k 2 ? 2k + 3 ? 6 ? 1 时取等号, 故 min ? (15 分) = ? 2 6 ? 4 .…………………… 0≤ k ≤ 2 ? k +1 ? 2 6 ?4 . 5

= k 当且仅当

所以,正实数 a 的最大值为

17. 已知椭圆 C :

16 3 x2 y 2 ,经 过 点 P (3, ) ,离心率为 . 过椭圆 C 的 1( a > b > 0 ) + 2 = 2 5 5 a b

右焦点作斜率为 k 的直线 l ,交椭圆于 A, B 两点,记 PA, PB 的斜率为 k1 , k2 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 k1 + k2 = 0 ,求实数 k . ??????????¨??? ??????

9 256 9 a 2 ? b2 + = = 1, 2 2 2 a 9b a 25
x2 y 2 1 = + = 25 16

= a 2 25, = b 2 16

=

=

0<k <∞

l ??·????? = y k ( x ? 3)

= y k ( x ? 3), ? ? (16 + 25k 2 ) x 2 ? 150k 2 x + 225k 2 ? 400 = 0 ? x2 y 2 1, = ? + ? 25 16
A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ???ò = x1 + x2

=

150k 2 225k 2 ? 400 = x x , .= 1 2 16 + 25k 2 16 + 25k 2

16 16 y1 ? y2 ? 5 ,k 5 , = k1 = 2 x1 ? 3 x2 ? 3
y1 =k ( x1 ? 3), y2 =k ( x2 ? 3)

16 16 ( y1 ? )( x2 ? 3) + ( y2 ? )( x1 ? 3) 5 k1 + k2 = 5 ( x1 ? 3)( x2 ? 3)
=

=

= k1 + k2

1536 ? 2560k = 0, 5(16 + 25 k 2 )( x1 ? 3)( x2 ? 3)

k=

3 5
=

=

k =0

k1 =

2 8 , k2 = ? , 5 5

6 k1 + k2 = ? ≠0 5

k ???????±?????±?±?? k1 , k2 ?ù????????????????.
k= ?ù???? 3 5
=

18. 给定数列 {xn } , 证 明 : 存在唯一分解 x= 其中数列 { yn } 非负, yn ? z n , { zn } 单调不减, n 并且 yn ( zn ? zn ?1 ) = 0 , z0 = 0 . 证明:我们只需证明对任意的正整数 n , 满足

yn ? z n ? x= n ? y (z ? z ) = ? n n n ?1 0 ? yn ≥ 0 ? ? 0 ? zn ? zn ?1 ≥ 0,z0 =
的 ( yn , zn ) 存在且唯一。下面用数学归纳法证明之。

………(*)………………(6 分)

? y =0 ? y1 = x1 y1 z1 =0 ,这样有 ? 1 或? 。 1? 当 n = 1 时, y1 ( z1 ? z0 ) = ? z1 = ? x1 ? z1 = 0
若 x1 ≥ 0 ,则 ?

? y1 = x1 ? y1 = 0 ;若 x1 < 0 ,则 ? .这样,当 n = 1 时命题成立。 (9 分) ? z1 = ? x1 ? z1 = 0

2? 假设当 = n k (k ≥ 1) 时, 命题成立,则当 n = k +1 时,(*)等价于

? yk +1 ? ( zk +1 ? zk ) = xk +1 + zk ? yk +1 ( zk +1 ? zk ) = 0 ? ? yk +1 ≥ 0 ? ? 0 ? ( zk +1 ? zk ) ≥ 0,z0 =
这样有 ?

yk +1 = 0 xk +1 + zk ? y= k +1 或? 。 ?( xk +1 + zk ) 0 ? zk +1 ? zk = ? zk +1 ? zk = ?

……………………(12 分)

进一步, 若 xk +1 + zk ≥ 0 ,则 ?

xk +1 + zk xk +1 + zk ? y= ? y= k +1 k +1 ,即 ? ; 0 ? zk +1 ? zk = ? zk +1 = zk yk +1 = 0 ? yk +1 = 0 ,即 ? 。 ?( xk +1 + zk ) ? zk +1 ? zk = ? zk +1 = ? xk +1 ?

…………(15 分)

若 xk +1 + zk < 0 ,则 ?

故则当 n = k +1 时, 命题成立。

…………………………………………………… (18 分)

3? 由数学归纳法可知,对于任意的自然数 n 命题均成立。
综上,原问题得证。

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分)

= {x ∈ N x 的十进制表示中数码不含 2,0,1,6 } . 证明: 19. 设集合 A
*

∑ x < 3.
x∈ A

1

(注:

∑ x 表示集合 A 中的所有元素的倒数之和)
x∈ A

1

2,0,1,6 ??????6k ?????????×????×??? ????????k ?????????????÷????????????????×? 3,4,5,7,8,9 ???÷?? 6k ?1 = = = =

k ????????
1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 6k ?1 = < + + + + + ∑ 3 ×10k ?1 4 ×10k ?1 5 ×10k ?1 7 ×10k ?1 8 ×10k ?1 9 ×10k ?1 k xn
= 6k ?1 1 1 1 1 1 1 ( + + + + + ) 1 1 k ?0 3 4 5 7 8 9
=

1 ∞ 6 k ?1 1 1 1 1 1 1 < ∑ ( ) ( + + + + + ) < 3. ∑ 0 3 4 5 7 8 9 x∈ A x k= 1 1

=

20.设正整数 n ≥ 2 ,对 2 × n 格点链中的 2n 个结点用红(R) 、黄(Y) 、蓝 ( B)三种颜色 染色,左右端点中的三个结点已经染好色,如图所示. 若对剩余的 2n-3 个结点,要求每个 结点恰染一种颜色,相邻结点异色,求不同的染色方法数.

、黄(Y) 、蓝(B)三种颜色染色,其中左端 解答:对 2 × n 格点链中的 2n 个结点用红(R) 点染红色与黄色,设右端点染色为 P,Q,如图所示。

R

P

Y
记 P= R(或 Y), Q=B 时的着色数目为 an ; 记 P=B, Q=R(或 Y)时的着色数目为 bn ;

Q

记 P=R,Q=Y 或者 P=Y,Q=R 时的着色数目为 Cn 。

我们注意到: (1)若右端没有约束时,每增加一个格子都有 3 种不同的着色方法,则

an +bn + cn = 3n ?1

………………………………(5 分)

(2)由对称性,即将图形上下翻转,并且颜色 R 和 Y 互换,可知

an = bn
(3)考虑相互的递推特征,则

………………………………(10 分)

B

R或Y

Y (R

R(Y

R(Y

B

R(Y

B

= an 2bn ?1 + cn ?1
?an +bn + cn = 3n ?1 ? , n ∈ N* 所以, ? an = bn ? = an 2bn ?1 + cn ?1 ?
这样, an = 2bn ?1 + cn ?1 = an ?1 + bn ?1 + cn ?1 = 3 即为问题所求的不同的染色方法数。
n?2

………………………………(15 分)

………………………………(20 分)

………………………………(25 分)


相关文章:
2016浙江省高中数学竞赛试题及解答
2016浙江省高中数学竞赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016浙江省高中数学竞赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。...
2016年浙江省高中数学竞赛卷
2016年浙江省高中数学竞赛卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛2016 年浙江省高中数学竞赛卷一、选择题(每题 6 分,共 48 分) 1.曲线...
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题及参考答案 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题(1)...
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题及参考答案 2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)...
2016年4月浙江省普通高中数学学业水平考试试卷(有答案)
2016年4月浙江省普通高中数学学业水平考试试卷(有答案)_其它课程_高中教育_教育专区。2016 年 4 月浙江省普通高中学业水平考试 数学试卷选择题一、选择题(本大题...
2016年浙江省高考数学试题及答案
2016年浙江省高考数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2016年浙江省高考数学试题及答案 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(文科)一、选择题(...
2016年浙江高考文科数学试题及答案
2016年浙江高考文科数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙 江卷) 数学(文科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 ...
浙江省2016年10月普通高中学业水平考试数学试卷 Word版含答案
浙江省2016年10月普通高中学业水平考试数学试卷 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。浙江省2016年10月普通高中学业水平考试数学试卷 Word版含答案 ...
2016浙江省数学竞赛模拟试卷3
2016浙江省数学竞赛模拟试卷3_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2016浙江省数学竞赛模拟试卷(也适用于高考) 模拟试卷 (3) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小...
更多相关标签:
2016年浙江省物理竞赛 | 2016年浙江省数学竞赛 | 2016浙江省数学竞赛 | 2016浙江省物理竞赛 | 2016年浙江省化学竞赛 | 2016浙江省生物竞赛 | 2016浙江省微积分竞赛 | 2016年浙江省生物竞赛 |