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2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用导学案


宁乡县玉潭中学高中部 数学

科导学案

为每个孩子的终身幸福奠基

3.3.2 等差数列前 n 项和的性质与应用 导学案
设计 年级 高二数 学组 高二 审 核 班 级 高二数 学组 授课人 小 组 课 型 姓 名 新授课

学习课题 使用时间 年 月 日第 节 第 课时 累计 课时

1、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式

学习 目标 学习 重点 学习 难点

2、会解等差数列前 n 项和的最值问题 3、理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an 等差数列前 n 项和的性质及应用;求等差数列前 n 项和的最值

等差数列前 n 项和性质的理解

学 学 习 过





程 备注

程【导、探、议、练】

知识点一:数列中 an 与 Sn 的关系 思考:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,怎样求 a1,an?
2

梳理:对任意数列{an},Sn 与 an 的关系可以表示为 an= ? 知识点二:由数列的 Sn 判断数列的类型

_(n ? 1) ? __________ n ? 2, n ? N ? ) ?______(

n?n-1? d 2 d d 梳理:由于等差数列前 n 项和公式 Sn=na1+ d= n +(a1- )n.令 A= ,B= 2 2 2 2 导 d a1- ,则 Sn=____________,所以 Sn 是关于 n 的常数项为 0 的______函数,反过 2 来,对任意数列{an},如果 Sn 是关于 n 的常数项为 0 的________函数,那么这个数 列也是______________数列. 知识点三:等差数列前 n 项和的最值 思考:我们已经知道当公差 d≠0 时,等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn=

d
2

d n2+(a1- )n,类比二次函数的最值情况,等差数列的 Sn 何时有最大值?何时有最
2 小值?
1

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梳理:等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn} 的最大值. (2)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn} 的最小值. (3)若 a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1 是{Sn}的最小值;若 a1<0,d<0,则{Sn}是 递减数列,S1 是{Sn}的最大值. 类型一:已知数列{an}的前 n 项和 Sn 求 an 1 2 例 1:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n + n,求这个数列的通项公式.这个数列是 2 等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

1 2 引申探究:例 1 中前 n 项和改为 Sn=n + n+1,求通项公式. 2

探-议

跟踪训练 1:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3 ,求 an.

n

类型二:等差数列前 n 项和的最值 2 4 例 2:已知等差数列 5,4 ,3 ,…的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7 7

2

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跟踪训练 2:在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn 的 最小值.

类型三:求等差数列前 n 项的绝对值之和 例 3:若等差数列{an}的首项 a1=13,d=-4,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn.

跟踪训练 3:已知数列{an}中,Sn=-n +10n,数列{bn}的每一项都有 bn=|an|,求 数列{bn}的前 n 项和 Tn 的表达式.

2

A
1.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-1,则 a4 等于( A.7 练 B.8 C.9 ) D.17

2.数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则 λ 的值是 ( ) B.-1 C.0 D.1 ) A.-2

3.已知数列{an}满足 an=26-2n,则使其前 n 项和 Sn 取最大值的 n 的值为( A.11 或 12 B.12
3

宁乡县玉潭中学高中部 数学 C.13

科导学案 D.12 或 13

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4.一个等差数列的项数为 2n,若 a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72, 且 a1-a2n=33,则该数列的公差是( A.3 B.-3 ) C.-2 D.-1

5.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差 d>0,则使得前 n 项和 Sn 取得最小值时 的正整数 n 的值是________. 6.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=1,S5=10,则当 Sn 取得最大值时,n 的值为________. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由. 8.已知等差数列{an}中,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.

B
9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( A.9 B.8 C.7 D.6
2

)

10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于 ( A.3 ) B.4 C.5 D.6

11.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003· a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是________. ?an+1?2 12.数列{an}的各项都为正数,且满足 Sn= (n∈N*),求数列的通项公式 an. 4 1 13.已知数列{an},an∈N*,Sn 是其前 n 项和,Sn= (an+2)2. 8 (1)求证{an}是等差数列; 1 (2)设 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

【课后反思】学完本节课,你在知识、方法等方面有什么收获与感受?请
写下来

4

宁乡县玉潭中学高中部 数学 作业 1.完成课时作业

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5


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