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等差数列


课时提升作业(三十一)
一、选择题 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= ( (A )12 (B)16 (C)20 ( ) (D)2 ( ) (D)24 )

2.等差数列{an}满足 a2+a9=a6,则前 9 项和 S9= (A)-2 (B)0 (C)1

3.(2013·

哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3a4-6,则 S9 等于 (A)25 (B)27 (C)50 (D)54 )

4.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7= ( (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

5.(2013·西安模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =4,则 = (A) (B) (C) (D)4

(

)

6.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( (A)S5>S6 (C)S6=0 (B)S5<S6 (D)S5=S6

)

7.(2013·延吉模拟)等差数列{an}中, (A){1} 二、填空题 ( B){1, }

是一个与 n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为 ( (C){ } (D){0, ,1}

)

8.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S8-S3=10,则 S11 的值为

. . . = ,则

9.(2013·渭南模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4+a10=-10,S3=0,则 Sn 的表达式为 10.(2013·合肥模拟)设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13= 11.( 能力挑战题 ) 设等差数列 {an},{bn} 的前 n 项和分别为 Sn,Tn, 若对任意自然数 n 都有 + 三、解答题 的值为 .

12.已知数列{an}是等差数列,且 a2=-1,a5=5. (1)求{an}的通项 an. (2)求{an}前 n 项和 Sn 的最小值. 13.(2013·南昌模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=-5,S5=-20. (1)求数列{a n}的通项公式. (2)求使不等式 Sn>an 成立的 n 的最小值. 14.(2013·阜新模拟)已知数列{an}中 a1= ,an=2(1)求证数列{bn}是等差数列. (2)若 Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1),是否存在 a 与 b∈Z,使得:a≤Sn≤b 恒成立? 若有,求出 a 的最大值与 b 的最 小值,若没有,请说明理由. 15.(能力挑战题)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n-λ )an(n=1,2,…),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求λ 及 a3 的值. (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.
2

(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足 bn=

(n∈N+).

答案解析 1.【思路点拨】利用首项 a1 与公差 d 的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解. 【解析】选 B.方法一: ∵a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d, ∴a2+a10=a4+a8=16. 方法二:由等差数列的性质得 a2+a10=a4+a8=16. 2.【解析】选 B.由 a2+a9=a6 得 a5+a6=a6,由此得 a5=0,故 S9=9a5=0. 3.【解析】选 B.由 a2=3a4-6,得 a1+d=3(a1+3d)-6,即 a1=-4d+3,S9=9a1+36d= 9(-4d+3)+36d=27.

4.【解析】选 C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知 a3+a5=a4+a4,所以 a4=4.根据等差 数列的性质可知 a1+a2+…+a7=7a4=28,故选 C. 5.【解析】选 A.设公差为 d,则由 =4,得 即 d=2a1. = = = . =4,即 4a1+6d=8a1+4d,

6.【思路点拨】根据已知得到 a3+a9=0,从而确定出 a6=0,然后根据选项即可判断. 【解析】选 D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0, 且 a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0, ∴S5=S6. 【变式备选】(2013 ·聊城模拟)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a17=10,则 S19= ( (A)55 (C)100 (B)95 (D)不能确定 )

【解析】选 B.∵a3+a17=10,∴a10=5,那么 S19=19a10=95. 7.【解析】选 B.等差数列{an}中,设 = 是与 n 无关的常数 m,所以 a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d 对任

意 n 恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0 对任意 n 恒成立, 故 由第一个方程得 d=0 或者 m= .若 d=0,代入第二个方程可得 m=1(因为 a1≠

0);若 m= ,代入第二个方程得 d=a1. 8.【解析】S8-S3=10? ? 5a1+8a8-3a3=20 ? 10a1+50d=20? a1+5d=2? a6=2 ? S11= 答案:22 9.【解析】设等差数列{an}的公差为 d, =11a6=22. =10

由已知条件可得 a1+a2+a3=3a2=0, 即 解得 答案: 10.【解析】由已知,得 即 消去 d,得 -10a1+16=0,解得 a1=2 或 a1=8, 当 a1=2 时,d=3, a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105; 当 a1=8 时,d=-3,不适合题意,舍去. 答案:105 11.【解析】∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ = + = = = + = = = . 故 Sn=n= .

= ,∴ = .

答案: 【方法技巧】巧解等差数列前 n 项和的比值问题 关于等差数列前 n 项和的比值问题,一般可采用前 n 项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时 Sn=na 中,也 可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大帮助:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 前 n 项和分别是 Sn 与 Tn,则 = . ,则使得 为整数的正整数

【变式备选】 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = n 的个数是 ( (A)2 (B)3 ) (C)4 (D)5

【解析】选 D.由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得 = = = = =7+ (n∈N+),

=

=

故 n=1,2,3,5,11 时, 为整数.故选 D. 12.【解析】(1)设{an}的公差为 d,由已知条件, 所以 an=a1+(n-1)d=2n-5. (2)Sn=na1+ d=n2-4n=(n-2)2-4. 解得 a1=-3,d=2.

所以 n=2 时,Sn 取到最小值-4. 【变式备选】在数列{an}中,an=43-3n,则当 n 为何值时,前 n 项和 Sn 取得最大值. 【解析】方法一:∵an=43-3n, ∴an+1-an=[43-3(n+1)]-(43-3n)=-3. 又 a1=40, ∴数列{an}是首项为 40,公差为-3 的等差数列, ∴Sn=na1+ d=40n,

=- n2+ n=- (n- )2+ ∴当 n=14 时,Sn 最大.

方法二:令 an=43-3n≥0,解得 n≤ =14 , 即当 n≤14 时,an>0,当 n≥15 时,an<0, ∴S14 最大,即当 n=14 时,Sn 最大. 13.【解析】(1)设{an}的公差为 d, 依题意,得 a2=a1+d=-5,S5=5a1+10d=-20. 解得 所以 an=-6+(n-1)·1=n-7.

(2)因为 an=n-7,所以 Sn= 令 n= >n-7, .

即 n2-15n+14>0, 解得 n<1 或 n>14. 又 n∈N+,所以 n>14. 所以 n 的最小值为 15. 【变式备选】等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项.

【解析】(1)设数列{an}的公差为 d. 由 2S2= +a2, 可得 2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1(d=-2 舍去), ∴an=n. (2)根据(1)得 Sn= bn= = , =n+ +1. ]上是减少的,在[ ,+∞)上是增加的,

由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 而 3< <4,且 f(3)=3+ = = ,

f(4)=4+ = = , 所以当 n=4 时,bn 取得最小值, 且最小值为 +1= , 即数列{bn}的最小值项是 b4= .

14.【解析】(1)由题意知 bn-1= ∴bn-bn-1= -

,

=1(n∈N+,n≥2). =- ,

∴{bn}是首项为 b1= 公差为 1 的等差数列.

(2)依题意有 Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1) =- 设函数 y= . ,在 x>3.5 时,y>0,y'<0,∴y= 取最小值- . 在(3.5,+∞)上是减少的,

故当 n=3 时,Sn=- 而函数 y= y<0,y'=在 x<3.5 时, <0,

∴其在(-∞,3.5)上也是减少的. 故当 n=2 时,取最大值:S2= . a 的最大值与 b 的最小值分别为-3,2. 1 5.【解析】(1)由于 an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…), 且 a1=1,所以当 a2=-1 时,得-1=2-λ, 故λ=3.从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下: 由 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得 a2=2 -λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3. 于是 a2-a1=1-λ=-2,

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与{an}为等差数列矛盾. 所以 ,对任意λ,{an}都不可能是等差数列.


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